结构力学静定拱内力的矩阵化求解方法

袁良健，王 子

（1.中铁第四勘察设计院集团有限公司，湖北 武汉 430063；2.东南大学 土木工程学院，江苏 南京 210096）

1 概述

静定拱结构通常可分为三铰拱和带拉杆的拱，根据铰的位置不同亦可分为平拱和斜拱，如图1所示。三铰拱在实际工程运用中通常作为承压构件，其受力特点为在竖向荷载作用下，拱趾将产生水平推力。与相同跨度的简支梁相比，由于水平推力的存在，拱各截面的弯矩通常较小，而截面的轴力值较大，因而能跨越更大的跨度，曲线优美，采用砖、砌块、混凝土等材料建成的拱结构通常能更好地发挥材料的特性。此外，拱的矢跨比（矢高与跨度的比值）对其受力有重大影响，实际工程中拱的矢跨比通常为1/10～1。

图1 静定拱的分类

2 内力矩阵方程的建立

欲求截面K的内力值，截取AK部分为隔离体，如图2（b）所示，假设FNK与x轴的夹角为α（此处规定x轴沿着逆时针转动到与FNK重合时所转过的角度为α，故左半拱0°≤α≤90°，右半拱的90°≤α≤180°），则FSK与y轴的夹角为α，对该部分隔离体分别由∑Fx=0、∑Fy=0和∑MK=0得：

将式（1）～式（3）写成矩阵形式：

同理，若欲求解右半拱截面D的内力，如图2（c）所示，相应的内力矩阵方程如下：

图2 三铰拱算例

综上，式（4）为拱的内力矩阵方程，式（6）为该矩阵方程的解。

3 矩阵化求解的一般步骤

（1）根据拱轴线方程及几何信息，确定待求截面的几何坐标参数，建立坐标矩阵[T]；

（2）建立待求的内力列向量[Fi]；

（3）对结构整体或局部隔离体建立平衡方程，求解结构的支反力和某些拉杆的内力值。

（4）截取待求截面处相连的隔离体，建立综合外荷载列向量[FP]；

（5）建立内力矩阵方程并求解待求的内力。

4 参数化分析和实例验证

静定拱结构在某特定荷载作用下，各个截面的内力变化主要体现在坐标矩阵和综合外荷载向量的不同。例如在计算机软件Matlab中输入拱的轴线方程，可计算出任意截面位置x处的sinα和cosα的值。在特定荷载作用下，综合外荷载列向量呈现分段的规律分布，可建立其关于位置坐标参数x的函数表达式，从而建立坐标矩阵和综合外荷载列向量之间关于x的对应关系，实现参数化分析和求解。

以静定带拉杆的拱为例，如图3所示，验证前述方法。假设拱的轴线方程为，其中f=4m，L=18m。截面K距离坐标原点的水平距离xK=3m，代入轴线方程可得yK=20/9m，sinα=0.51，cosα=0.86，易求得支座A的水平反力FAx=0，竖向反力FAy=90kN（↑）。截取AFDC部分为隔离体，由∑MC=0得：FNFG=135kN；取节点G由∑Fx=0得：FNFA=136.86kN。故可建立方程式如下：

求解方程得：

图3 验证实例