射影几何调和点列作图与阿波罗尼斯圆的联系

赵临龙

（安康学院数学与统计学院，陕西安康 725000）

1 问题背景

在射影几何中，调和点列是最基本也是最重要的概念，是射影几何理论建立及其研究的重要工具. 如利用调和点列形成的极点与极线概念，是研究二次曲线内在结构的重要工具. 因此，调和点列的几何作图成为人们讨论的热点.

在《高等几何》［1］中，关于调和点列的几何作图，先后给出欧式几何的圆中作图、仿射几何的平行线作图、射影几何的完全四边形作图和射影对应作图等.

现对于仿射几何的平行线作图进行讨论.

命题1 如图1. 已知点列A、B、C，求其调和点列D 满足（AB，CD）=-1.

作法 如图1. 在直线AB异侧过点C作直线A′B′，使A′C=CB′；连接AA′×BB′=S；过点S 作SD//A′B′交直线AB 于点D. 则点D为所求点，即（AB，CD）=-1.

图1 调和点列的作图Fig.1 Mapping of harmonic points

方程（3）的几何意义是以CD为直径的圆，该圆在欧式几何中叫作阿波罗尼斯圆.

命题2［2］（阿波罗尼斯圆）已知两点A、B，C、D分别为线段AB的定比λ（λ≠1）的内外分点，则以CD为直径的圆上任意点到A、B两点的距离之比为λ.

2 问题讨论

阿波罗尼斯（Apolloning，约公元前260—170）是古希腊著名的数学家，与欧几里得、阿基米德一起被称为亚历山大时期的数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要的研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一［2］.

推论3 已知两点A、B，C、D 分别为线段AB 的定比λ（λ≠1）的内外分点，且交点S=AA′×BB′，则点S 在阿波罗尼斯圆上的充分必要条件是AA′∶BB′=λ.

此时，当直线AS 为阿波罗尼斯圆的切线（S 为切点）时，则由圆直径的对称性，得到该阿波罗尼斯圆的切线AS′（S′为切点），于是SS′是极点A 关于该阿波罗尼斯圆的极线，则该阿波罗尼斯圆心与极点的连线AB⊥SS′［3］.

推论4 如图2，已知两点A、B，C、D分别为线段AB的定比λ（λ≠1）的内外分点，关于阿波罗尼斯圆过点B 作垂直于直径的弦SS′，则AS、AS′为该圆的切线.

图2 阿波罗尼斯圆的切线作图Fig.2 The tangents of Apolloning circle

3 理论应用

3.1 几何作图题

例1 已知两点A、B，C、D分别为线段AB的定比λ（λ＞1）的内外分点，作出阿波罗尼斯圆.

作法1 对于线段AB，直接作出其定比为λ（λ＞1）的内外分点C、D，则以CD 为直径即可作出阿波罗尼斯圆.

证明 如图2，设AB=2a，则

得到以CD为直径的阿波罗尼斯圆.

推论5 对于（AB，CD）=-1，过阿波罗尼斯圆外点A作该圆的切线AS（S为切点），则切点S与该圆直径直线ACD构成的直线SC，SD分别为∠ASB的内、外角平分线.

注 在例1中，对于0＜λ＜1，只需将点A、B位置互换即可. 另外，作法2较作法1麻烦，但正是利用了调和点列性质，充分反映了事物的本质.

例2 已知点P及圆O，作过点P关于该圆O的切线.

①当点P为圆O上点S.

作法 如图2，过点S作SS′垂直圆O的直径CD于B，作出点列D、C、B的调和点A，连接AS，则AS为已知圆O的切线.

证明 如图2，由于（AB，CD）=-1，且CD 为直径的圆O为阿波罗尼斯圆. 此时，SS′⊥CD=B，由推论3，得到AS为已知圆O的切线.

②当点P为圆O外点A.

作法 如图2，作出点列A、D、C 调和点B，过点B 作与圆O 直径CD 垂直的弦SS′，连接AS、AS′，则AS、AS为已知圆O的切线.

证明 如图2，由于（AB，CD）=-1，且直径为CD 的圆O 为阿波罗尼斯圆. 此时，SS′⊥CD=B，由推论3，则AS、AS′为已知圆O的切线.

注 在例2 中，其做法较一般的欧式几何作法麻烦，但利用调和点列将两种作法统一起来，充分揭示其内在联系，这正是数学研究所追求的.

图3 竞赛题图示Fig.3 Chart of contest question

3.2 问题答题

由于阿波罗尼斯圆的趣味性，它成为研究相关问题的重要方法，尤其在相关高考题研究中，文献不少［4-21］.

例3（2001年中国西部数学奥林匹克题） 如图3，过圆O 外一点A 作其切线AS、AT，OA 与圆O 和ST 分别交于点C、B，EF为过B的任意弦. 求证：C为ΔAEF的内心.

证明 如图3，由于阿波罗尼斯圆上任意点E到线段AB 两端点满足EA∶EB=λ=AC∶CB，则EC 为ΔEAB 的内角平分线；同理FC 为ΔFAB 的内角平分线，即点C 为ΔAEF的内心.

推论6 如图3，在阿波罗尼斯圆中，对于（AB，CD）=-1，过点B作不与CD重合的弦EF，则AB平分∠EAF.

图4 高考题图示Fig.4 Chart of the University Entrance Examination question

推论7 如图3，在阿波罗尼斯圆中，对于（AB，CD）=-1，过点B作不与CD重合的弦EF，则点C、D分别是ΔAEF的内心和外心.

例4（2019年江苏省高考数学专题应用题） 如图4，一缉私艇巡航至距领海边界线l（一条南北方向的直线）3.8 n mile的A处，发现在其北偏东30°方向相距4 n mile的B处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击.已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍. 假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行.

1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；

2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截，并说明理由.

解法 1）略.

2）如图4. 建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（2，2 3），设缉私艇在P（x，y）处成功拦截到走私船，因为缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍，即PA∶PB=3.