生活原型在数学概念教学中的应用

陈延

概念是思维的核心，是推理的基础。概念结构一般包含概念名称、概念定义、概念属性和概念例证四部分。

《圆的认识》是人教版数学教材六年级上册的图形概念课。几何学中对圆的定义如下：

1. 平面上到定点O的距离等于定长r的全体点组成一条曲线称为以点O为圆心、以r为半径的圆周，简称圆，记为⊙O或⊙O（r）;

2. 到定点的距离等于定长的动点的轨迹称为圆;

3. 给定一条线段，使其绕着它的一个固定的端点在平面内旋转一周，其另一个端点所经过的封闭曲线称为圆。

图形特征和定义有着紧密的联系。以圆的半径数量为例，正是因为圆是无数个到定点距离相等的点的集合，而半径是连接圆心到圆上任意一点的线段，因此圆的半径有无数条。

考虑学生年龄特点，小学阶段的教材并没有要求学生掌握圆的准确定义。但如果学生不能真正理解圆的形成过程、画圆的原理以及圆的特征的来源，仅停留在对知识进行机械记忆，不利于学生推理能力的提升和数学思维的发展。

借助生活原型，可以将抽象的定义以更直观的方式呈现在学生面前，帮助学生更深刻地理解圆的特征和画圆的原理。

一、从生活中“引出圆”

问题：套圈游戏这样站公平吗？为什么？如果有更多人想加入可以站哪里？满足到目标距离是2m的点有几个？

结合学生说理，PPT动态演示，首先把人和目标抽象成点（图1），再把每人到定点距离调整到相等，最后动态出现点（图2），直至围成圆（图3）。

以“套圈游戏”进行导入，学生比较感兴趣，而且熟悉规则——每个人到定点的位置必须相等才公平。再通过动画演示，将有限的点演变成无限，直至引出圆。在这一环节中，借助学生熟悉的生活原型，结合多媒体演示，成功渗透圆的第一个定义，初步让学生感受到“圆上任意一点到圆心距离相等”的特征，为之后的学习做铺垫。

二、利用生活经验“创造圆”

活动：回忆套圈游戏，根据圆“由无数个点组成的，它们到目标点的距离相等”的特点，利用硬纸条、回形针、圆规来画圆。

学生小组合作尝试，并进行展示（图4）。

对比三种画法，学生发现：虽然运用不同的工具，但画的时候是有共同之处的：都有固定的点、都要旋转一周。然后出示反例（图5），引导学生思考，画不好的原因可能是什么？强调画圆时除“定点”外，“定长”同样重要，引出“圆心”“半径”。

数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志，学生要对圆的形成有更加感性的认识，就必须尝试自己动手“创造圆”。在以往的教学及教材中，往往会出现“拓印”以及使用圆规两种画圆方法。对比圆规画圆，拓印是直接使用已有物体进行复制，虽然方便，但并不利于学生感悟圆的形成。如果只用圆规画圆，会导致学生形成错觉，是因为有圆规才有圆，而事实是圆规是根据圆的定义所创造的一种作图工具。

本课的教学中，我舍弃了“拓印”，而改为使用跟圆规相同原理的另外两种工具画圆，先让学生联系“套圈游戏”，再对比不同工具尝试画圆，然后找出共性，能更加深刻地感悟到“圆上任意一点到圆心距离相等”的特征，理解圆规画图的原理;也了解到“定点”“定长”对圆形成的重要性，引出圆心、半径;同时也能更好地渗透圆的第二、第三个定义。

三、结合生活情景“认识圆”

承接上一环节，介绍圆心、半径及其字母表示方法后，PPT动态出示圆的五条半径（图6）。引导学生观察并发现其相同点：半径连接圆心和圆上一点;半径是一条线段。然后引导学生概括出半径的定义：半径是连接圆心和圆上任意一点的线段。再让学生结合圆的定义、套圈游戏和画圆活动（图7），尝试说明圆的半径的特征。

然后再以相同的思路教学直径，并在过程中得出同一圆中，直径和半径的关系。

概念教学的一个常规做法，就是通过丰富的例子，对比概括出其本质。圆的半径和直径定义方式都是属于“属加种差”。以半径为例，线段是邻近的属，而“连接圆心和圆上任意一点”则是其种差。在本课中，我首先给出同一圆中的五条半径，让学生进行观察，找出相同点并尝试概括，学生很容易就会找出它们的共同点：连接圆心和圆上任意一点。但由于学生之前缺乏概括定义的经验，因此学生在概括的时候一般只能说出共性，而没有表达出完整概念，这时就需要教师加以引导。半径是一条线段，结合教师的引导，学生就能完整概括半径的概念，并真正理解其本质。

在教学半径和直径的特征时，我也选择了从定义出发，结合生活情景和画图经验，引导学生进行推理：圆上各点到圆心距离相等，所以半径也相等。在教学直径特征时，学生发现，同一圆内，直径长度是半径两倍，因为同圆内半径长度相等，所以直径长度也相等。这样的教学能让学生再次深化对圆的特征的认识，顺势突破教学难点，有效提升学生的推理能力，发展学生数学思维。

四、回归生活“应用圆”

问题：如果把车轮做成正三角形、正方形和橢圆，哪辆车行驶起来更平稳？车轮为什么要做成圆的呢？如果把车轮做成这样（图8），汽车行驶起来会怎样，为什么？

学生带着问题和思考观看微课，理解圆形车轮中的数学原理。然后教师趁势追问，当“定点”不在圆心时（不同长），汽车行驶起来会怎样，为什么？引导学生思考，然后通过动画让学生直观感受。

“车轮为什么设计成圆形”是圆特征应用的经典例子。课前我设置了两个问题让学生进行调查。

1. 平地行驶时，车轮应该做成什么形状？

2. 如果把车轮造成正三角形、正方形和椭圆，你认为哪辆车行驶起来更颠簸，为什么？

对于问题1，学生有充足的生活经验，知道车轮是圆的。但在问题2中，95%以上的学生认为椭圆车轮行驶起来会相对平稳，原因是椭圆没有角。观看实验视频后，学生发现事实和他们的判断明显不同，椭圆才是最颠簸的，引起他们的强烈探究欲望。

而在学习圆的特征之后，大部分学生都能将该例子和圆的特征联系起来，再通过观察、比较和思辨，学生发现：圆心到圆上任意一点距离相等，车轴安装在圆心，能保证车身到地面的距离相等，车子行驶起来才会平稳。

理解其背后所隐藏的数学原理后，我趁势追问：是否只要车轮是圆的就可以，如果车轴不安装在圆心上呢？通过反例再次说明车轴在圆心位置的重要性，也再一次增强学生对圆的特征的理解。

借助生活原型进行教学，能让学生在观察、想象中形成概念，在对比和思辨中，更深刻地理解概念，进而运用概念。这样的教学方式，有效地帮助学生内化数学知识，自主建构概念，提升推理能力，发展数学思维。

责任编辑   罗 峰