带电粒子在电场中运动的三个处理方法

◇ 杨宗礼

带电粒子在电场中的运动问题涉及较多的概念和规律，是一个综合性很强的考点，也是学生学习的难点.带电粒子在电场中的运动对空间想象能力、分析综合能力、应用数学知识处理物理问题的能力有较高的要求，是高考考查考生多项能力极好的载体.分析近几年的高考物理试题可知，带电粒子在电场中的运动是高考的热点内容，每年高考都会考查到，复习时要对这部分知识格外重视，同时要掌握好带电粒子在电场中运动的处理方法.

1 用运动的分解思想处理

分解思想是高中物理有效处理复杂运动问题的重要手段，在处理带电粒子在匀强电场或电场与重力场组成的复合场中做曲线运动的问题时，运动的合成与分解法比较常见，一般将粒子比较复杂的曲线运动分解为沿电场方向和垂直于电场方向的两个分运动来求解，紧抓运动的独立性特征，巧借分运动化难为易，化繁为简.

例1如图1所示，一质量为m、电荷量为q(q＞0)的液滴，在电场强度大小为、方向水平向右的匀强电场中运动，运动轨迹在竖直平面内.A、B为其运动轨迹上的两点，已知该液滴在A点的速度大小为v0，方向与竖直方向的夹角为30°；它运动到B点时速度方向与竖直方向的夹角为60°.求A、B两点间的电势差.

图1

本题液滴在水平方向受电场力作用，竖直方向受重力作用，这两个力均为恒力，液滴做匀变速曲线运动，因此可以用正交分解法处理.先将复杂的运动分解为两个相互垂直的直线运动，再根据运动合成的观点去求复杂运动的有关物理量.

【高考真题赏析1】(2019年全国卷Ⅲ)空间存在一方向竖直向下的匀强电场，O、P是电场中的两点.从O点沿水平方向以不同速度先后发射两个质量均为m的小球A、B.A不带电，B的电荷量为q(q＞0).A从O点发射时的速度大小为v0，到达P点所用时间为t；B从O点到达P点所用时间为.重力加速度为g，求：

(1)电场强度的大小；

(2)B运动到P点时的动能.

(1)设电场强度的大小为E，小球B运动的加速度为a.根据牛顿第二定律、运动学公式和题给条件，有

(2)设B从O点发射时的速度为v1，到达P点时的动能为Ek，O、P两点的高度差为h，根据动能定理

本题中不带电小球做平抛运动，带电小球做类平抛运动.两种运动均属于匀变速曲线运动，处理方法均为分解法，均可分解为沿初速度方向的匀速直线运动和沿合外力方向且初速度为零的匀加速直线运动.

2 用能量观点处理

由于电场力做功与粒子在电场中运动的路径无关，只取决于始、末位置的电势差，即WAB＝qUAB，因此用功能关系法处理粒子在匀强电场或非匀强电场中的直线运动或曲线运动问题都是有效的.

例2如图2所示，在O点放置一个正电荷，在过O点的竖直平面内的A点，自由释放一个带正电的小球，小球的质量为m、电荷量为q.小球落下的轨迹如图中虚线所示，它与以O为圆心、R为半径的圆(图中实线表示)相交于B、C两点，O、C在同一水平线上，∠BOC＝30°，A距离OC的竖直高度为h.若小球通过B点的速度为v，试求：

图2

(1)小球通过C点的速度大小.

(2)小球由A到C的过程中电势能的增加量.

(1)因B、C两点电势相等，小球由B到C只有重力做功，由动能定理得

(2)由A到C应用动能定理得

由电势能变化与电场力做功的关系得

1)对于类似本题受变力作用的带电体的运动，必须借助能量观点来处理.即使都是恒力作用的问题，用能量观点处理通常也更简捷.

2)电场中功能关系问题的分析方法：

a)受力情况分析和运动情况分析.

b)分析各力做功的情况，做正功还是负功.

c)分清有多少种能量参与，哪种能量增加，哪种减少.

d)选择动能定理或能量守恒定律列出方程式.

3 运用等效思想处理

等效类比法是物理学中的常用方法.用等效类比的方法，可将复杂的物理情境转化为简单、熟悉的情境.在匀强电场中的带电体除受到电场力外，一般还会受到重力等其他外力的作用，这类问题应用等效重力法，即将重力和电场力的合力看成一等效重力，然后运用类比法，通常都能较简捷地解决问题.运用等效的观点对物理过程进行分析，不仅有利于我们对物理问题的解答，还有助于知识的灵活运用，对促进知识和能力的迁移、思维的拓展，都有很大的帮助.

例3如图3所示，空间有一水平向右的匀强电场，半径为r的绝缘光滑圆环固定在竖直平面内，O是圆心，AB是竖直方向的直径.一质量为m、电荷量为＋q(q＞0)的小球套在圆环上，并静止在P点，OP与竖直方向的夹角θ＝37°.不计空气阻力.已知重力加速度为g，cos 37°＝0.8.若要使小球从P点出发能做完整的圆周运动，求小球初速度的大小应满足的条件.

图3

当小球静止在P点时，小球的受力情况如图4所示，先求出重力与电场力的合力F，将这个合力视为一个“等效重力”，

图4

1)带电粒子在匀强电场和重力场组成的复合场中做圆周运动的问题，是高中物理教学中一类重要而典型的题型.对于这类问题，若采用常规方法求解，过程复杂，运算量大.若采用“等效法”求解，则能避开复杂的运算，过程比较简捷.

2)把握三点，正确解答该类问题.

a)把电场力和重力合成一个等效力，称为等效重力，将视为“等效重力加速度”.

b)等效重力的反向延长线与圆轨迹的交点为带电体在等效重力场中运动的最高点.等效最“高”点与最“低”点的寻找：确定重力和电场力的合力的大小和方向，然后过圆周圆心作等效重力作用线的反向延长线，反向延长线交圆周上的那个最高点即为圆周的等效最“高”点，延长线交圆周的那个最低点为等效最“低”点.

c)将物体在重力场中的运动规律迁移到等效重力场中分析求解.

4 三法并用

解答一道复杂的带电粒子在电场中运动的习题或高考题目，往往三种方法要同时运用.

例4如图5所示，半径R＝0.8 m的光滑绝缘导轨固定于竖直平面内，加上某一方向的匀强电场时，带正电的小球沿轨道内侧做圆周运动.圆心O与A点的连线与竖直方向成一角度θ，在A点时小球对轨道的压力FN＝120 N，此时小球的动能最大.若小球的最大动能比最小动能多32 J，且小球能够到达轨道上的任意一点(不计空气阻力).则：

图5

(1)小球的最小动能是多少?小球受到重力和电场力的合力是多少?

(2)现小球在动能最小的位置突然撤去轨道，并保持其他量都不变，若小球在0.04 s后的动能与它在A点时的动能相等，求小球的质量.

(1)小球在电场和重力场的复合场中运动，因为小球在A点具有最大动能，所以复合场的方向由O指向A，在AO延长线与圆的交点B处小球具有最小动能EkB.设小球在复合场中所受的合力为F，则有

带电小球由A运动到B的过程中，重力和电场力的合力做功，根据动能定理有－F·2R＝EkBEkA＝－32 J.由此可得F＝20 N，EkB＝8 J，即小球的最小动能为8 J，重力和电场力的合力为20 N.

(2)带电小球在B处时撤去轨道后，小球做类平抛运动，即在BA方向上做初速度为零的匀加速运动，在垂直于BA方向上做匀速运动.设小球的质量为m，则

1)第(1)问中，带电小球在匀强电场和重力场组成的复合场中做圆周运动，将重力和电场力的合力看成等效重力，根据小球的动能最大确定等效最低点的位置，合力的方向确定等效最高点的位置，然后根据动能定理求解.在第(2)问中用正交分解法处理，带电小球在复合场中做类平抛运动，带电小球在B处时撤去轨道后，在BA方向上做初速度为零的匀加速运动，在垂直于BA方向上做匀速运动.

2)本题综合运用了等效重力法、正交分解法、动能定理求解，避开了复杂的运算，较简捷地解决了问题.

【高考真题赏析2】(2020年全国卷Ⅰ)在一柱形区域内有匀强电场，柱的横截面积是以O为圆心，半径为R的圆，AB为圆的直径，如图6所示.质量为m，电荷量为q(q＞0)的带电粒子在纸面内自A点先后以不同的速度进入电场，速度方向与电场的方向垂直.已知刚进入电场时速度为零的粒子，自圆周上的C点以速率v0穿出电场，AC与AB的夹角θ＝60°.运动中粒子仅受电场力作用.

图6

(1)求电场强度的大小；

(2)为使粒子穿过电场后的动能增量最大，该粒子进入电场时的速度应为多大?

(3)为使粒子穿过电场前后动量变化量的大小为mv0，该粒子进入电场时的速度应为多大?

(1)由题意知在A点速度为零的粒子会沿着电场线方向运动，由于q＞0，故电场线由A指向C，根据几何关系可知xAC＝R.所以根据动能定理有

(2)根据题意可知要使粒子动能增量最大，则沿电场线方向移动距离最多，做AC垂线并且与圆相切，切点为D，即粒子要从D点射出时沿电场线方向移动距离最多，粒子在电场中做类平抛运动，根据几何关系有x＝Rsin 60°＝v1t，而电场力提供加速度qE＝ma.

图7

(3)因为粒子在电场中做类平抛运动，粒子穿过电场前后动量变化量大小为mv0，即在电场方向上速度变化为v0，过C点作AC的垂线会与圆周交于B点，故由题意可知粒子会从C点或B点射出.

当粒子从C点射出时初速度为0；当从B点射出时由几何关系有.电场力提供加速度有qE＝ma.

1)第(1)问中根据动力学条件确定由静止开始运动的带电粒子仅在恒定电场力作用下一定做匀加速直线运动，AC就是运动路径，应用动能定理即可求得电场强度的大小.第(2)问中使粒子动能增量最大，电场力对带电粒子做功最多，则在电场力方向的投影距离最大，应用类平抛运动规律求解.第(3)问中要用分解思想处理粒子穿过电场前后动量变化量，带电粒子在电场中做类平抛运动，初速度方向上动量不变，粒子穿过电场前后动量变化量大小为mv0，即在电场方向上速度变化为v0，过C点作AC的垂线会与圆周交于B点，故由题意可知粒子会从C点或B点射出.

2)本题作为压轴题，计算量并不大，但对学生物理思维的深刻性要求较高，着重考查学生对规律的灵活运用，有利于学生终身发展的关键能力的培养，着力提升学生物理学科核心素养.