强基计划校考数学备考策略

◇ 甘志国(特级教师)

1 强基计划介绍

2020年1月14日，教育部发布《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》，文件指出决定自2020年起，在部分高校开展基础学科招生改革试点(也称强基计划).同时，在部分“一流大学”建设高校范围内遴选高校开展试点.教育部将按照“一校一策”的原则，研究确定强基计划招生高校、专业和规模.2020年起，不再组织开展高校自主招生工作.

2 强基计划校考介绍

很多考生对强基计划试题的难度不太了解，这里进行一个粗略的对比.各科综合起来的大致情况是高考的中档题相当于强基计划校考的简单题，高考的难题相当于强基计划校考的中档题，也相当于竞赛的简单题，强基计划校考的难题相当于竞赛的中档题.

可以说，强基计划校考中65%的题属于课内范围，35%的题属于超纲范围(竞赛题难度).所以，有人说强基计划校考试题的难度介于高考和竞赛之间是有道理的.

较为细致地来说，也可以把强基计划校考试题分为下面三部分：

(1)有的题是课内常见的，这类题检查同学们学习的基础情况，一般熟练掌握高考内容的同学都能比较容易拿到分；

(2)有的题是在高考考纲边缘附近，这类题保留了一定数量的高考核心考点，但着力点和区分度主要放在高考自然延伸出的一些知识和方法上；

(3)有的题是超出高考考纲的，这类题涉及课内没有学过的知识、公式(比如反三角函数、极限)，或者是竞赛联赛中的方法、技巧.

强基计划校考没有考纲，由大学教授、专家或数学界知名人士命题，所以有超纲内容是正常的(当然教授是有出题原则的，应当说，名校强基计划校考题都是好题，对高考和数学竞赛的复习备考也有重要参考价值).

3 强基计划校考数学试题特点

目前，高中生在数学思维和数学素养方面表现出诸多不足，比如解题思路不清晰，对题目的分析不周全，难以准确识别模型以尽快将其转化为相应的数学问题；学生普遍知识面狭窄(如对复数等许多基本知识都不了解)；运算能力较低等.尤其是高中生创新意识和动手操作能力较差.

针对以上情形，强基计划校考数学试题具有如下特点.

3.1 强基计划校考数学试题突出考查考生的数学思维与数学素养

强基计划的目的是选拔顶尖的人才，所以试题必然会突出这一选拔功能.

例1(2020年上海交通大学)已知甲、乙、丙三人的职业是A，B，C之一，且每两个人的职业均不相同.若乙的年龄比C的年龄大，丙的年龄与B的年龄不同，B的年龄比甲的年龄小，则甲、乙、丙三人的职业分别是( ).

A.A，B，CB.C，A，B

C.C，B，AD.B，C，A

答案A.

例1考查逻辑推理知识(判断命题的真假)，相应的知识、方法都是考生需要具备的数学素养.

3.2 强基计划数学试题突出考查思维的广阔性(如发散思维)、深刻性与灵活性

例2(2020年复旦大学)的展开式中的常数项为_____.

答案 12 600.

例2是需要用二项展开式的通项解决四项展开式的通项问题，充分考查了学生思维的广阔性、深刻性与灵活性.

3.3 许多强基计划校考数学试题有深刻背景，可以引申推广

例3(2020年北京大学)已知椭圆与圆x2＋y2＝4，若从圆上的动点A作椭圆的切点弦，则所有的切点弦所在的直线围成曲线的面积是( ).

可设动点A(2cosθ，2sinθ)，可得切点弦所在的直线方程是xcosθ＋2ysinθ＝1.

例3的背景是《高等几何》中的“曲线是切线的包络”：曲线可由“点动成线”来生成；也可由曲线上点的切线围成，即“曲线是切线的包络”.由例3的解法，还可得到其一般结论，即过圆上的动点作椭圆的切点弦，所有的切点弦围成的曲线是椭圆.

3.4 强基计划校考数学试题覆盖面广

强基计划校考没有明确的考试大纲，试题的覆盖面很广，很多题的难度超出高考，甚至涉及高等数学知识，需要考生“见多识广”.

例4(2020年复旦大学)若函数f(x)＝3x－3－x的反函数为y＝f－1(x)，则y＝f－1(x－1)＋1在[－3，5]上的最大值与最小值的和为( ).

A.0 B.1 C.2 D.4

答案C.

例6(2020年中国科学技术大学)双曲线y＝的离心率是______.

答案

例7(2020年北京大学)方程19x＋93y＝4xy整数解的个数是( ).

A.4 B.8

C.16 D.前三个答案都不对

答案B.

解答例4要用到反函数知识，解答例5要用到反三角函数知识，例6涉及平面直角坐标系的旋转变换，例7涉及不定方程知识.这些知识在现行高中数学教材中均未出现，但属于强基计划的命题范围.

3.5 部分强基计划校考数学试题运算量较大，或有较强的技巧性

例8(2020年中国科学技术大学)求函数y＝3sin2x－2sin 2x＋2sinx－cosx(0≤x≤)的值域.

答案

例9(2020年中国科学技术大学)已知函数f(x)＝x3＋ax2－x＋1－a，若∀x∈[－1，1]，|f(x)|≥|x|，求实数a的取值范围.

答案

例10(2020年北京大学)下面函数的最大值是( ).

解答例8 需要用到较强的凑配技巧：先得y＝(2sinx－cosx)2＋(2sinx－cosx)－1，再用换元法求解(这与高中三角函数题的常规解法不同)；例9是所在试卷(共11道试题)中难度最大的一道试题，其常规解法需用到二次讨论，比较复杂；例10是三角函数问题，但还要用三角换元法来求解.

3.6 强基计划校考数学试题注重引导培养考生创新意识和动手操作能力

毫无疑问，这是强基计划招生考试的主旨与方向.

例11(2020年上海交通大学)单位正方体的六边形截面周长的最小值是_________.

答案

例11是用正方体的平面展开图来求解，还可得到结论：若点E，F，G，H，I，J分别在单位正方体的棱AB，BB′，B′C′，C′D′，D′D，DA(包括端点)上，则HI＋IJ＋JE＋EF＋FG＋GH的最小值是

3.7 部分强基计划校考数学试题解法简捷新颖

例12(2020年北京大学)若P是单位正方体ABCD-A1B1C1D1上或其内部的点，则PA1＋PC1的最小值是( ).

解例12只需用到线段公理“两点之间，线段最短”.

3.8 强基计划校考数学试题的最大特点是原创性

由于强基计划校考试题的命题人多是大学教授、专家或知名学者，他们视野开阔，经常站在数学学科和社会发展的前沿思考问题，因此校考试题都令人耳目一新、难以捉摸.但仔细分析强基计划校考数学试题，还是可以看出一些特点的，而且原创性是其最明显的特点.

4 强基计划数学试题的来源

4.1 源于教材

教材是命题的基本依据，不少强基计划校考试题都有教材背景，是教材上例题、习题、定义、定理的组合改编，甚至有时就是原题.

例13(2020年北京大学)已知函数f(x，y，z)＝，x，y，z∈(0，＋∞)，则函数f(x，y，z)( ).

A.既有最大值也有最小值

B.有最大值但无最小值

C.有最小值但无最大值

D.前三个答案都不对

答案D.

例13源于全日制普通高级中学教科书(必修)《数学2》第12～13页的“例2 已知a，b，m都是正数，并且a＜b，求证.这就是大家熟悉的“糖水不等式”.

4.2 源于高考试题

许多稍难的高考试题适合更高层次的选拔考试，所以这样的高考试题就被改编成了(或直接作为)强基计划校考试题.

例14(2020年上海交通大学)与两两异面的三条直线均相交的直线条数是________.

答案无数.

例14与2008年高考辽宁卷中的一道题目的实质相同.

题目(2008 年辽宁卷)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线( ).

A.不存在 B.有且只有两条

C.有且只有三条 D.有无数条

4.3 源于历年的强基计划(或自主招生)数学试题

例15(2020年上海交通大学)若实数a，b满足(a＋b)59＝－1，(a－b)60＝1，则

答案0.

例16(2020 年复旦大学)定义fM(x)＝已知集合(x－3)＞0}，则A⊗B＝_________.

答案(－∞，－1]∪[0，1)∪(3，＋∞).

例17(2020年中国科学技术大学)若＝1，则|z＋1|－|z－i|的取值范围是_________.

答案

例18(2020年中国科学技术大学)点集{(x，y)||5x＋6y|＋|9x＋11y|≤1}覆盖的面积是_________.

答案2.

例15～18分别与下面的自主招生试题如出一辙.

题目1(2008年复旦大学千分考)若实数a，b满足(a＋b)59＝－1，(a－b)60＝1，则＝( ).

A.－121 B.－49

C.0 D.23

题目2(2016年清华大学夏令营数学试题)对于集合M，N定义{x|fM(x)·fN(x)＝－1}，已知集合A＝{1，2，3，…，2 016}，B＝{2，4，6，…，4 032}.

(1)求fA(2 016)和fB(2 016)的值；

(2)设Card(X)表示集合X的元素个数，求m＝Card(XΔA)＋Card(XΔB)的最小值.

题目3(2017年中国科学技术大学)函数f(x)＝的值域是_________.

题目4(2019年中国科学技术大学)满足|x＋2y|＋|3x＋4y|≤5(x，y∈R)的点(x，y)所构成的区域的面积是________.

例18是线性规划问题(但难于作出图象)，可由题中的点集表示的图形是平行四边形，由公式S＝求解(或先通过分类讨论去掉绝对值符号后再求解).

4.4 源于各级各类竞赛试题

例19(2020年北京大学)方程的实根个数是( ).

A.1 B.2

C.3 D.前三个答案都不对

答案D.

例19源于下面的两道题，一道是竞赛试题，一道是自主招生的试题.

题目1(2010年浙江省高中数学竞赛试卷)满足方程的所有实数解为________.

题目2(2012年北京大学自主招生数学试题第2题)求1的实数根的个数.

4.5 源于某些初等数学研究成果

例20(2020年中国科学技术大学)已知a1，a2，…，an是1，2，…，n的一个排列，若i＜j且ai＜aj，则称(ai，aj)为排列a1，a2，…，an的一个顺序对.设X为排列a1，a2，…，an的顺序对的个数，则E(X)＝______.

答案

例20的背景是《高等代数》中排列的顺序数、逆序数.

4.6 源于高等数学

前面已述，例3源于《高等几何》中“曲线是切线的包络”的知识，例20源于《高等代数》中排列的顺序数、逆序数.

例21(2020年复旦大学)已知点P为直线上一点，且点P到点A(2，5)和点B(4，3)的距离相等，则点P的坐标为_________.

答案(1，2).

例21源于《高等代数》中的行列式，属于高等数学的内容.

5 强基计划数学备考策略

考生在日常学习中应该重新审视高考中“不常考”的知识和方法，并进行必要的拓展，增强对数学问题的探究意识，注重数学思想方法的学习和创造性思维的培养，细述如下.

5.1 夯实基础，尤其要自觉加强基本运算能力的训练

“千里之行，始于足下.”强化基本功训练，是拓展知识与快速提高素养的资本.

解答强基计划校考数学试题用到的思想、方法和知识，大部分也都在高考范围之内，因而，准备高考和准备强基计划校考应该是相辅相成、互相补充的.

5.2 注重知识的延伸与拓展

例22(2020年复旦大学)已知向量数列{an}满足若则当Sn取最大值时，n的值为( ).

A.8 B.7 C.6 D.6或7

解由题设，可得

所以当且仅当n＝6或7时，Sn取最大值，故选D.

例22仅仅是把考生在高中阶段学习的2个、3个向量的和推广到n个向量的和而已.在日常学习中，不能仅仅局限于教材.

强基计划校考试题的风格与难度，和高考还是有较大的不同，同时强基计划也会考一些在高考范围边缘处的知识.如果没有接触过竞赛，又没有准备过强基计划的裸考考生最终很可能无法取得好成绩.备考需注意以下两个方面.

1)注重不同的知识及时延伸与拓展

比如学习函数时，不仅要学习函数的定义、基本性质及各类基本初等函数，还要及时学习函数与方程的思想方法.这有助于将函数理解得更深刻，在更为高级的层面上构建知识结构和认知结构.

2)关注AP课程及其他多种形式的学习

AP课程中的许多内容和方法已经进入强基计划校考，如极限理论中的数列收敛准则、夹逼定理、函数极限存在定理、迫敛性定理、两个重要极限、洛必达法则等，微积分中的罗尔定理、拉格朗日中值定理、积分中值定理、牛顿－莱布尼茨公式等.

5.3 多做强基计划(自主招生)数学真题，注重数学思想方法的领会与运用

例23(2020年复旦大学)已知f(x)＝a sin 2πx＋b cos 2πx＋c sin 4πx＋d cos 4πx，若f(x)＝f(2x)，则 在a，b，c，d中能确定的参数是_________.

答案a，b，c，d.

例23的解法是赋值法，其理论依据是“特殊与一般思想”.解答例23还要用到等价转化思想与分类讨论思想，这些思想方法都是考生必备的数学素养.

5.4 培养推广与探究的意识

学习的重要方法：解一题，知一类.

例24(2020年复旦大学)方程3x＋4y＋12z＝2 020的自然数解的组数为________.

考生应当通过推广与探究，理解隔板法是解决一次不定方程正整数、自然数解组数的通性通法.

5.5 留心跨界科学与学科知识的交会

例25(2020年复旦大学)Which number that number 5 is the cubic root of?

A.3 B.5 C.25 D.125

答案D.

解答本题时，考生数学专业的英语词汇(立方根等)要过关.复旦大学的强基计划试题重视通识教育.

5.6 培养自主学习能力

例26 (2020年上海交通大学)若△ABC的三个顶点的坐标分别是A(3，4)，B(6，0)，C(－5，2)，则∠A的平分线所在的直线方程是______.

解7x－y－17＝0.设，可得，即与(1，7)平行.所以∠A的平分线所在直线的一个方向向量是(1，7)，因而该直线的斜率是7，进而可得该直线的方程是y－4＝7(x－3)，即7x－y－17＝0.

例26还可用三角形的角平分线性质定理或解三角形知识求解，或先得出∠BAC＝90°再进行求解，但运算量都要大一些.实际上，该解法也是通性通法，但该通法在资料中并不多见，教师也很可能不会讲，需要考生通过自学获得.

考生应当时刻培养自主学习能力，21世纪最重要的个人能力首推自主学习能力，有了过硬的自学能力和意识，就可与时俱进，也可从容应对很多新问题.

6 强基计划校考数学备考规划

考生要想如愿考上顶尖名校，参加强基计划是一条“捷径”.笔者认为，强基计划会持续受到家长及学生、学校(高中、高校)、社会的高度关注.经过以上论述，读者(考生)可能对强基计划及其数学试题有比较全面深入的了解，考生一定要提前做好规划、及时行动、充分应变，并在做中体味、修正、总结、提高.