动作与语言齐飞，形象共抽象一色

蒋依宝

【教学内容】  人教版《义务教育教科书·数学》四年级上册第105页。

【教学目标】

1.通过探究，认识解决问题策略的多样性，初步形成寻找解决问题最优化方案的意识。

2.通过实验，积累活动经验，初步体会运筹思想在解决问题中的应用。

3.经历操作、观察、思考等系列探究过程，尝试用数学的方法来解决实际问题，形成烙饼问题的规律，初步培养应用意识和解决实际问题的能力。

4.体验探索和合作的乐趣，感受数学与生活的密切联系，逐渐养成合理安排时间的良好习惯。

【教学重点】  在解决问题中体会优化思想和方法策略。

【教学难点】  形成烙3张饼的最佳方案。

【教学过程】

一、创设情境，导入新课

呈现课本主题图。

师：图中的阿姨在干什么？你见过这样的情境吗？

生1：这个阿姨在烙饼。我在老朱麦饼店里看到过烙饼。

生2：我外婆会烙饼，她把饼放在平底锅中，先烙好一面，再翻过来烙第二面，还要添上一些菜油什么的。

师：这些都是生活中的烙饼，这节数学课我们用数学方法来研究“烙饼问题”（板书课题）。

二、自主探索，探究烙法

1.解读信息，理解规则

呈现信息：每次最多只能烙两张饼，两面都要烙，每面要烙3分钟。

师：“每次最多只能烙两张饼”是什么意思？

生1：指锅里最多同时能放下两张饼。如果只有一张了，锅里只放一张也是可以的。

生2：也就是说，一张、两张都可以放，三张就放不下了。

师：“两面都要烙”又是什么意思？

生：就是每一张饼的正面要烙，反面也要烙，这样才能把饼烙熟。

2.比较烙一张与两张饼所用的时间

（1）烙1张饼

师：如果要烙1张饼，需要几分钟？

生：先正面烙一次，再反面也烙一次，一共要2次，2次需要6分钟。

师板书：1张饼，正——反，2次，6分钟

（2）烙2张饼

师：如果要烙2张饼，最少需要烙几次，需要几分钟？请先想一想该怎么烙，再把你的双手当成饼，动手烙一烙，可要记住你的烙饼过程哦。

学生各自操作，教师巡视。待操作基本完成，教师让一学生上台演示并说操作过程。

生：我把两张饼都放在锅里，先同时烙两张饼的正面，再翻转过来同时烙这两张饼的反面。这样就烙了2次，需要6分钟。

师板书：2张饼，1正2正——1反2反，2次，6分钟

（3）比较烙法和所用时间，明确同时烙省时

师：烙1张饼用了6分钟，烙2张饼也用了6分钟，这很奇怪！为什么饼的张数不同，所用时间却是相同的？

生1：烙2张饼时，因为这2张是同时放在一起烙的，烙2张饼的正面才用了3分钟，烙这2张饼的反面也只用了3分钟，所以只用了6分钟。

生2：烙1张饼时，是3分钟才烙一个面;而烙2张饼时，是3分钟同时烙了两个面，不让锅空着，就节省了时间。

生3：前面说“每次最多只能烙两张饼”，现在把2张饼同时放到锅里，充分利用了锅的空间。

生4：也就是说，烙2张饼，把2张饼放在同一个锅里，锅放满了;烙1张饼，锅里只放了1张，锅里有空隙。

师：那烙1张饼时，这个空隙能避免吗？

生4：不能避免，除非有两面可以同时烙的双面机器，我在电视里看过这种机器，但是这个锅不能两面同时烙。

生5：所以呀，烙1张饼，只能一面一面地烙，要烙2次，需要6分钟。烙2张饼，要2张同时烙，一次就烙了2个面，节省时间，只要烙2次，只要6分钟。

生6：我在烙饼之前想了又想，烙2张有两种方法：第一种是一张一张烙，烙第一张就要6分钟，烙第二张也要6分钟，一共要烙4次，要用12分钟;第二种是把2张放在一起同时烙，一共只烙2次，只要6分钟。题目里说“最少需要烙几次”，我就把2张放在一起烙，不让锅空着，就能节省时间，最少要2次，最少需要6分钟，但是不能再少了。

师：你这是先想后做，这是一种很好的学习习惯！在动手做之前，我们要先思考怎么做，然后再去做，这样就可以少走弯路。

3.探究3张饼的最优烙法

（1）探究烙3张饼

提出问题：如果要烙3张饼，最少需要烙几次，需要几分钟？

师：先独立思考，你准备怎么烙？再同桌合作，把两本数学书和一本作业本当成3张饼，进行实验操作，并互相说一说操作过程。

同桌合作烙餅，教师巡视。

指两组上台分别烙饼：由一生说过程，另一生操作，教师板示记录。

小组一：1正2正——1反2反——3正——3反

小组二：1正2正——1反3正——2反3反

师：请观察记录下的烙饼过程，这两种方法，是否都把饼烙熟了？

生：每个饼都烙了2次，也就是正反面都烙了，肯定是烙熟了。

（2）比较两种烙法，研究怎样把锅放满，从而节省时间

师：同样烙3张饼，第一组烙了4次，第二组只烙了3次就完成了，这是什么原因？

生1：第二组把锅放满了，每次都有2张;第一组开始有2张，到后来就没有把锅放满。

生2：第一组在前两次，是把锅放满了的，后来两次加起来也只烙了一张，一共4次，比第二组多1次。

师：（问第一组同学）你们当时是怎么想怎么做的？请再介绍一下。

生：我们想，两张同时烙省时间，所以一开始就把第一、二两张一起烙，两张烙好了，只剩下一张，只好把这一张正面烙一次，反面也烙一次。

师：（问第二组同学）你们当时又是怎么想怎么做的？也请再介绍一下。

生：我们也想省时间，开始两张同时烙，要2次;还剩下一张，也要2次，这两次锅里都有空隙。我想锅里有空隙肯定不好，就调整烙饼顺序，调成功了，每次锅里都没有空隙。第一次不变，还是烙第一张和第二张的正面;第二次，把第二张取出来放到外面，把第三张换进来，第二次就烙第一张反面和第三张正面;两次以后，第一张就烙好了，第二张和第三张的反面都还没有烙，所以第三次就烙第二张和第三张的反面。

生（第一组）：他们小组开始也出了问题，后来重新安排，每次锅里都有2张饼。我们小组没有调整，所以失败了。现在知道，烙3张不能只想着前面的2张，这样就会出问题。要把3张合起来安排，烙第二次时把第二张取出来放在外面，把第三张换进去，这样每次都有2张饼。

师：请各小组将你们的方法与第二组对照，如有不同，再烙一遍。

师：用实验操作法解决问题，实验前要思考，实验中要观察，如果发现出了问题，要静下心来思考，调整解决问题的思路。烙3张饼，最关键的是思考第二次怎么烙，用调换的方法，把第二张取出来放到外面，把第三张拿进来，这样就解决这个难题，使锅里每次都有两张饼，保证锅里都不会空，我们把这种方法叫做交替烙饼法（板书）。

师：请大家回想用交替法烙3张饼的顺序，在头脑中再烙一遍。

学生在脑中烙饼。

（3）验证有没有比烙3次更少的方法，抽象提升

师：我们继续研究，要烙3张饼，烙3次是不是最少的次数？2次行吗？

生1：交替烙饼，每次都把锅放满，已经把锅充分利用了，烙3次是最少的，2次肯定不行！

生2：3张饼有6个面，因为每次最多只能烙2个面，所以至少要烙3次。

师：你能用算式来表示吗？

生2：3×2=6（面），6÷2=3（次）。

生1：交替烙饼需要调来调去，就是为了保证每次锅里都有两张饼。现在用计算法更省心，先算出共有几面，再除以2就是次数。

师：对呀！动手操作与列式计算是有联系的。动手实验，调来调去，这是对烙饼方法的最优化，目的是保证每次锅里都要有2张饼，每次都能烙2个面，所以有人说：“烙饼，烙饼，其实就是烙面。”列算式就是计算一共有几个面，最少需要烙几次。

4.总结方法，探究规律

（1）比较烙3张与烙2张的方法

师：我们回头看烙3张与烙2张的方法，它们有什么不同？

生：烙2张是把2张一起放进锅里，先烙好正面，再烙反面，不需要调来调去。烙3张要用交替法，需要调来调去，这样才能保证每次烙2个面。

（2）探究4张饼的烙法

师：4张饼怎么烙？至少要几次？

生1：因为4等于2加2，所以可以2张2张烙。先烙2张，要2次;再烙2张，也要2次。一共要4次。

生2：算式是4×2÷2=4（次）。

师：烙4张是2张2张地烙，还有那些张数也可以这样烙？

生：2、4、6、8、10……都是双数，它们都可以用2张2张的方法烙，算法都一样：次数=2×张数÷2。（师板书：次数=2×张数÷2）

（3）探究5张饼的烙法

师：5张饼怎么烙？

生1：先烙2张，再烙2张，最后烙1张。

生2：这样不行，要6次了。因为5等于2加3，所以要先烙2张，再烙3张。2张一起烙要2次，3张交替烙要3次，一共5次。

生3：5张有10个面，每次烙2个面，需要5次。第二个同学是对的。

师：烙5张是把2张同时烙与3张交替烙结合在一起，这样每次都烙2个面，次数最少，节省时间。还有哪些张数可以这样烙？

生1：因为7=3+2+2，9=3+2+2+2，11=3+2+2+2+2……所以，这些张数的饼，是先把3张拿来交替烙，再两张两张烙。

生2：5、7、9、11……都是单数，先拿3张交替烙，剩下的张数是双数，就两张两张烙。计算方法都一样：次数=2×张数÷2。

生3：9=3+3+3，9张分成3个3张，都用交替法烙。12、15、18……也都这样烙。

师：比较烙9张的两种方法，你们有什么想说的？

生1：这两种方法都是对的。

生2：后面的方法不好，全部用交替法了。两张两张同时烙方便，三张交替烙有时候会弄错，在没有办法时，只好用交替法。

师：分析得有道理，两种方法都能用。当能两张两张烙时，就尽可能两张两张烙。

（4）饼的张数和烙的次数的关系

师：通过操作与思考，掌握了烙饼方法，明白了“烙饼，烙饼，其实就是烙面”。那餅的张数与烙的次数有什么关系呢？

生1：我看出来了，除了1张，其他的烙几张就要烙几次。

生2：因为每张有2个面，每次最多能烙2个面，所以可以用“张数×2÷2”来计算次数。又因为一个数乘以2，再除以2，结果还是原数，所以饼的张数和烙的次数相等。

师：找到了规律就要用。我们班有40人，如果每人要1张饼，至少要烙多少时间？

生：40张饼需要烙40次，40×3=120，至少需要120分钟。

三、课堂总结

师：这节课我们研究了烙饼问题，你学到了什么？

生1：锅里可以放1张，也可以放2张。不过，2张2张烙省时间。

生2：把锅放满了就省时间。2张饼，要2张同时烙;3张饼，要用交替法;张数是双数，就2张2张烙;5张、7张、9张……，先拿3张交替烙，剩下的2张2张烙。只有1张饼时，没有办法，只好烙2次。

生3：烙饼，烙饼，其实就是烙面。所以，烙的次数=张数×2÷2，除了1张饼，其余的数量，烙的次数都等于饼的张数。

师：这节课我们又是怎样学习的？

生：我们用实验操作的方法来学习。烙3张饼最难，开始时我们方法不对，烙的次数不是最小，后来调整顺序，用交替法就成功了。所以，在实验前要先思考，在实验中又要观察思考，还要列式计算验证，这样就保证不会出错。

【教学分析】

“烙饼问题”的教学应该让学生学到什么？学习障碍在哪里？怎样在教学中引导学生突破难点？这是教学之前需要思考的几个核心问题。对于第一、二两个问题，大家都心知肚明：“烙饼问题”的教学是让学生寻找解决问题的最优化方案，进而形成规律，并能运用规律解决问题;学习难点（障碍）是“当有3张饼时，怎样组合安排3张饼正反面烙的先后顺序，才能使锅里每次都有2张饼？”但对第三个问题，老师们的理解和做法各有千秋，笔者曾听过多节“烙饼问题”公开课，其共同特点是“直观教学”，即借助教具或学具的直观操作来帮助学生突破难点，但是，这个“直观操作”由谁来做？怎样做？在做的过程中应该注意什么？众说纷纭，做法不一，归纳起来有两类：第一类，是教师演示，教师通过演示教具，指导学生通过观察获得感性认识，让学生知晓“三张饼正反面的组合与烙的顺序”。其教学理由是：激发学习兴趣，集中注意力，且能使抽象知识具体化，缩短学生掌握所学知识的认识过程，提高教学效率。第二类，是学生操作实验，在教师指导下，学生利用学具独立操作，手脑并用，经历烙饼过程，从而获得直接经验。笔者认为，学生操作实验与教师演示功能类同，但学生操作实验更胜教师演示一筹。究其原因，第一，教师演示法是教师演示烙饼过程，是演给学生看的，教师是主动的操作者，学生是被动的观察者;而学生操作学具，模拟烙饼，人人动手，认真思考，思维随之展开，更容易把学生推到探究烙饼问题的主体地位。皮亚杰曾对此做中肯分析：“当着儿童的面做实验而不让儿童自己去做实验，就消失了动作本身所提供的那种提供知识与培养性格的价值。”第二，从数学学科性质来看，实验操作的反映是符号化的数量关系和空间形式。小学数学课与小学科学课的操作实验有着本质区别：科学课中学生实验的对象就是其认识对象;而数学课的实验操作，学生只是把学具作为中介物（如本节课的手、数学课本和作业本），利用烙饼动作把蕴含在操作中的数学的抽象逻辑关系物化出来，其动作本身就是认识对象，动作反映了解决问题的思维过程，动作伴随着语言，通过语言使动作程序内化成学生的智力活动方式，从而掌握数学知识，进而发展数学思维。可见，操作实验法不仅有助于动作思维、形象思维，也有助于抽象逻辑思维，促进大脑两半球的和谐发展。第三，操作学具，学生多种感官协同，有利于建立广泛的神经联系，有利于知识的理解、巩固和提取。

本课采用学生实验操作法教学，教学目标达成度高。教学有以下特色：

（一）学具操作的目的性明确

如前所说，数学课的实验操作，学生只是把学具作为中介物，利用動作把蕴含在操作中的数学的抽象逻辑关系物化出来，其动作本身就是认识对象，反映了解决问题的思维过程，并通过语言使动作程序内化成学生的智力活动方式，从而掌握数学知识，进而发展数学思维。可见，学具本身并不十分重要，只要能替代实物，便于操作，便于观察即可，重要的是操作实验的动作及其程序，更重要的是要明确学具操作的目的。

烙2张饼的操作实验，所用学具是双手，教师让学生先想再做，取材简单，伸手即可，但意味深长，其目的是使学生亲自获得一些感性的具体材料，为探究烙3张饼做必要准备。烙2张饼，这2张放在一起烙，一次烙2个面才用3分钟，2次只用6分钟。与烙1张饼比较，所用时间相同，其差别在于：烙2张，把2张饼放在同一个锅里，锅里放满了，节省时间;烙1张，锅里只放1张，锅里有空隙，但这个空隙无法避免。

烙3张饼的操作实验，所用的学具是两本数学书和一本作业本，桌面当锅，书本和作业本当饼，两本书相当于第一、二两张饼，作业本相当于第三张饼，便于操作，便于观察，此次操作目的是突破教学难点——当有3张饼时，怎样组合安排3张饼正反面烙的先后顺序，才能使锅里每次都有2张饼。引导学生先独立思考，再同桌合作操作实验，在学生有初步体验时让学生上台展示烙饼过程，配以语言描述，教师做必要的板书记录（小组一：1正2正——1反2反——3正——3反;小组二：1正2正——1反3正——2反3反），将学生的智力活动显现出来，为后续研究“同样烙3张饼，为什么第一组烙了4次，第二组只烙了3次就完成了”提供研究素材，这样就自然而然地把思维指向到“如何调整烙饼顺序，使每一次锅里都有2张饼”上来，通过讨论交流，让学生将内隐的调整过程及调整方案表述出来，进而形成“如何将锅放满”的策略，达到既发展动作思维和形象思维，又发展初步抽象逻辑思维的目的，有效地促进大脑两半球的和谐发展。

交替烙饼之后的再次操作和在脑中“烙饼”，是对交替烙饼法的巩固，对烙饼过程的梳理，也是对解决问题过程的反思总结。

（二）重视操作实验与语言的有机结合

有研究表明：语言与操作相结合，这是提高实验操作效果的有效途径。本课教师深谙此道。首先，每次操作活动，教师都精心设计了指导语，以保证学生操作实验中思维定向的正确性。烙2张饼时，教师在提出“如果要烙2张饼，最少需要烙几次，需要几分钟”这一问题的基础上，加上指导语：“请先想一想该怎么烙，再把你的双手当成饼，动手烙一烙，可要记住你的烙饼过程哦。”烙3张饼时，教师也是先提出问题：如果要烙3张饼，最少需要烙几次，需要几分钟？随后马上加上指导语：先独立思考，你准备怎么烙？再同桌合作，把两本数学书和一本作业本当成3张饼，进行实验操作，并互相说一说操作过程。

其次，让学生充分地陈述自己的操作过程，以语言的条理性促进思维的逻辑性，并要求学生说出实验的结果，用语言把已获得的认识成果固定下来。烙2张饼时，待学生独立操作后，让学生上台演示并说出操作过程。烙3张饼时，先独立思考，同桌合作实验，再让两组学生上台“烙饼”：一生说过程，另一生操作，教师记录研究成果，这充分暴露了学生的思维过程。然后，引发观察比较：同样烙3张饼，第一组烙了4次，第二组只烙了3次就完成了，这是什么原因？发动全班学生讨论，分析原因，并让两个小组再说一说“当时是怎么想又是怎么做的”，学生的思维过程被暴露无遗，至此，用交替法解决“当有3张饼时，怎样组合安排3张饼正反面烙的先后顺序，才能使锅里每次都有2张饼”这一难题也就水到渠成。

（三）给学生留下足够的思维空间

数学课的操作是学习意义上的操作，是一种特殊的动手活动，其特殊性在于学生借助手的活动来实现和反映其内部的思维活动，所以必须给学生留有足够的思维空间。在烙2张饼后，引导学生与烙1张比较：“为什么饼的张数不同，所用时间却是相同的？”这个问题既是研究烙3张饼的基础，又是本节课学习的关键点。教师舍得在此花时间，充分地让学生表达自己的见解，最后达成一致意见：把2张放在一起烙，不让锅空着，就能节省时间。更重要的是，教师重视培养学生良好的学习习惯：先想后做，在做之前要先思考怎么做，然后再去做，这样少走弯路。探究烙3张饼，教师在记录两种不同烙法之后，提出一连串的问题：“请观察记录下的烙饼过程，这两种烙饼方法，是否都把饼烙熟了？”“同样烙3张饼，第一组烙了4次，第二组只烙了3次就完成了，这是什么原因？”“你们当时是怎么想怎么做的？请再介绍一下。”“要烙3张饼，烙3次是不是最少的次数？2次行吗？能用算式表示吗？”引导学生观察比较、分析思考，通过语言表达使动作程序内化成学生的智力活动方式，从而掌握数学知识，进而发展数学思维。

（四）适时、适量和适度地进行了学具操作

本节课的学具操作，做到了适时运用、适量运用、适当运用。

适时就是注意了操作的最佳时机，当学生想知而不知，似懂而非懂时，操作学具，这样起到了化难为易的效果。烙1张饼需要6分钟，那么烙2张饼需要几分钟？这个问题从字面上去理解，许多学生会说是12分钟，这时候就需要操作学具，并將烙1张与2张的动作程序进行比较，进而明白其中的道理。烙3张饼，如何合理安排烙的顺序，使时间花费最少，更需要直观形象的支撑，并且要操作多次，以便于积累更多的活动经验，通过比较优化，得到正确结果。

适量是指控制了学具操作的次数，本节课的学具操作使用了3次，并没有搞得琳琅满目。一是烙2张饼，其目的是理解2张饼放在一起烙，合理利用空间，一次能烙2个面;二是烙3张饼，其目的是解决“怎样放置安排才能使锅里每次都有2张饼”这个难题;三是再次烙3张饼，这是对交替烙饼的巩固。如果要说有第四次，那就是抛开学具，借助表象在脑中操作，这是对交替烙饼法的梳理，也是对阶段学习的反思和小结。至于4张、5张饼，没有安排直观操作，而是借助数的组合来完成，这样就培养了逻辑思维能力。如果在这个节点上继续学具操作，那所演的戏就是“傻把戏”！

适度是指当学生的感性认识已经积累到一定程度时，就让学生在丰富的表象的基础上及时抽象概括，掌握火候，使感性认识逐步上升为理性认识。教师恰当地运用了对比和类比，引导学生从直观形象到抽象概括。探究烙2张饼，在全体独立操作、个别上台演示之后，对烙1张与2张饼的操作进行对比，使学生明白如何操作才能省时，并且教师做必要的学法指导：要先想后做，做之前要先思考怎么做，以避免少走弯路。探究烙3张饼，在两组学生上台演示、教师板示记录之后，及时对比两种烙法，重点研究怎样把锅放满。教师借助学生的活动经验，让学生充分暴露其思维过程，此时，动作思维、形象思维共舞，进而提炼出交替烙饼法。在此基础上，让学生回想交替烙饼法的顺序，借助表象在脑中烙饼，抽象思维呼之欲出。紧接着对烙3张与2张的方法进行对比，进一步明确2张同时烙和3张交替烙及其应用范围。探究4张、5张饼的烙法，就没有再操作学具，而是运用类比进行推理，举一反三，得出规律。至于烙饼的张数和烙的次数的关系，那是水到渠自然成的事情。