CRTSⅡ型无砟轨道板疲劳时变可靠度研究

2020-12-08童明娜卢朝辉赵衍刚余志武

铁道学报 2020年10期

童明娜，卢朝辉，赵衍刚,3，余志武

(1.中南大学土木工程学院，湖南长沙 410075；2.北京工业大学建筑工程学院，北京 100022；3.神奈川大学工学部，神奈川横滨 221-8686)

高速铁路在交通运输体系中扮演的角色日益突出，极大地提升了交通运输能力[1]。无砟轨道结构由于其塑性变形小、耐久性好、维修工作量小等优点成为了高速铁路轨道结构的主要选择[2]。CRTSⅡ型板式无砟轨道作为我国高速铁路的主要轨道结构形式之一，已成功应用于京津城际、京沪、石武、杭长、沪杭、杭甬、合蚌等多条高速铁路[3]。

我国现行的TB 10621—2014《高速铁路设计规范》[4]要求其主体结构设计使用年限不少于60年。然而，在列车荷载与环境因素(如温度等)的共同作用下，CRTSⅡ型板式无砟轨道结构由于内部材料的疲劳损伤不断累积而发生病害[5]，随着损伤演化的进一步发展，可能导致疲劳失效而不能满足设计要求。鉴于此，一些学者针对CRTSⅡ型板式无砟轨道疲劳性能开展了研究：文献[6]基于调研结果根据雨流计数法基本原理确定了列车竖向荷载的等幅疲劳作用模型，建立了相关材料的疲劳本构关系，并采用等效静力分析方法对路基上CRTSⅡ型板式无砟轨道结构在恒载、温度和列车往复荷载作用下的疲劳力学性能及损伤发展进行了研究；文献[7-10]分别对服役期间组合荷载作用下桥上CRTSⅡ型板式无砟轨道混凝土及钢筋进行研究，通过试验确定适用于桥上CRTSⅡ型板式无砟轨道混凝土疲劳寿命预测模型的混凝土S-N曲线和钢筋疲劳寿命预测模型的钢筋S-N曲线；文献[11]通过数值方法获得CRTSⅡ型轨道板各轨枕支点载荷和动应力，结合混凝土S-N疲劳曲线，对CRTSⅡ型轨道板的使用寿命进行预测分析，确定其薄弱部位。

以上均是在确定性参数下对CRTSⅡ型板式无砟轨道的疲劳性能开展的相关研究工作。然而，轨道板结构在长期服役环境下，不仅列车荷载、温度荷载及基础变形等存在周期性和随机性，其材料性能、几何参数等也存在随机性和变异性，因而从随机不确定性的角度对CRTSⅡ型轨道板疲劳性能开展研究更符合实际运营情况。张国虎[12]引入可靠度理论对CRTSⅡ型轨道板在考虑列车荷载作用下的疲劳可靠性进行了研究，该研究中仅对轨道板混凝土受压疲劳压溃这种失效模式建立了相应的疲劳可靠性功能函数，并利用蒙特卡洛方法对轨道板疲劳可靠性进行了评估。欧祖敏[5]考虑列车荷载和温度梯度的作用，利用JC验算点法，对一般条件下及自然环境作用下CRTSⅡ型轨道板及底座板进行疲劳可靠度分析。引入可靠性理论研究CRTSⅡ型轨道板的疲劳寿命问题，也符合我国铁路工程结构设计由容许应力法向极限状态法转轨的大趋势。

然而，服役期间CRTSⅡ型板式无砟轨道的疲劳累积损伤以及其所受列车荷载的作用次数等均随时间变化，因此CRTSⅡ型板式无砟轨道的疲劳可靠度本质上是一个时变可靠度问题。国内外学者们对时变可靠度分析问题进行了大量研究，其中文献[13]提出了可同时考虑抗力和荷载时变随机性的时变可靠度分析方法，该方法将结构在使用寿命内活荷载的发生视为平稳泊松点过程。在此基础上，文献[14]提出了一种改进的时变可靠度方法，可考虑非平稳荷载过程。这些方法在结构时变可靠度评估中得到了广泛的应用。但这些方法对于高维、隐式功能函数的时变可靠度分析显得十分困难。最近，文献[15]提出了一个时变可靠度分析的快速积分算法，有效解决了多维、隐式功能函数对应的时变可靠度分析问题，为工程结构时变可靠度评估提供了有力分析工具。

鉴于此，本文在已有无砟轨道板疲劳研究成果的基础上，建立CRTSⅡ型无砟轨道板疲劳时变可靠度分析功能函数，进而采用文献[15]提出的时变可靠度分析方法并结合结构有限元分析技术，开展CRTSⅡ型轨道板疲劳时变可靠度研究。

1 CRTSⅡ型无砟轨道板疲劳时变可靠度分析的功能函数

文献[11]表明，在列车荷载作用下，轨道板容易发生混凝土材料疲劳破坏。根据无砟轨道结构受力特点，轨道板的主要失效模式为混凝土弯拉开裂和受压区混凝土疲劳压溃，因此本文主要对混凝土受拉纤维边缘处及受压纤维边缘处进行分析。

Miner疲劳累积损伤理论[16]认为：在循环荷载作用下结构或结构材料内部产生的疲劳损伤是可以累加的，当这种损伤累积到一定程度时，结构就会发生疲劳破坏。根据这一理论，轨道板在承受N0=Net(Ne为每年经历的脉冲疲劳应力作用次数，t为结构服役时间) 次脉冲疲劳应力时混凝土受拉/压层在t年内各级变幅应力下的疲劳累积损伤值为D(t)，当材料的累积损伤D(t)>1时结构发生疲劳破坏，此时的疲劳失效概率为

Pf=P[D(t)>1]

( 1 )

式中：D(t)为随机变量。

令混凝土拉/压层1年内各级变幅应力产生的总损伤为

( 2 )

设混凝土材料在第i级应力水平σi作用下重复ni次，令C=Ni(σi-σmin)m[5]，则式( 2 )可表示为

( 3 )

式中：σmin为受拉/受压混凝土所受重复应力的下限值。

记t年内轨道板混凝土材料在Ne(N0=Net)次等幅重复应力作用下的疲劳强度为σr(N0)，根据混凝土材料的S-N曲线关系，有N[σr(N0)-σmin]m=C,则

( 4 )

( 5 )

式中：E(Δσi)m为Δσi的m阶原点矩；σr(N0)为等幅重复应力作用下混凝土抗拉/抗压疲劳强度；m为混凝土材料常数，文献[5]指出，对混凝土弯拉疲劳可取m=19.38，受压疲劳可取m=16.90。

将式( 5 )代入式( 1 )中可得

( 6 )

在方程中加入计算模型不确定变量γ，则式( 6 )可表示为

( 7 )

对应的疲劳极限状态方程为

G(X,Y,t)=σr(N0)-σe

( 8 )

1.1 等幅重复应力作用下混凝土疲劳强度计算

结构材料疲劳强度σr(N)与循坏次数N有关，同时会受到循环荷载中的最大应力σmax、最小应力(应力下限σmin)的影响，这种关系可以在结构材料的疲劳特性S-N曲线中体现出来。

若能确定混凝土的S-N曲线，σr(N)的值即可确定。目前，国外对混凝土S-N曲线做过较系统研究并有较大影响的是文献[17]，国内对混凝土的S-N曲线做过较系统研究并有较大影响的是文献[18-19]。文献[7]提出，修正的宋玉普疲劳方程所得结果偏保守，在实际工程使用中偏安全，因此本文选择修正的宋玉普模型。

混凝土受拉S-N曲线[7]为

lgN0=16.51-16.60Smax+5.12Smin

( 9 )

式中：Smax=σmax/ftu；Smin=σmin/ftu；ftu为静载作用下混凝土的抗拉强度。

混凝土受压S-N曲线[19]为

(10)

将式( 9 )代入式( 8 )，可将轨道板混凝土抗拉疲劳极限状态方程最终表示为

G(X,Y,t)=0.994 6ftu+0.308 4σtmin-

0.060 2ftulg(Net)-σet

(11)

式中：σet为轨道板混凝土受拉边缘纤维等幅等效重复拉应力。

同理，将式(10)代入式( 8 )，则轨道板混凝土抗压疲劳极限状态方程可表示为

G(X,Y,t)=0.988 5fcu-0.061 8fculg(Net)-σec

(12)

式中：σec为轨道板混凝土受压边缘纤维等幅等效重复压应力。

1.2 混凝土疲劳重复应力的等幅等效应力变程计算

参照GB 50010—2015《混凝土结构设计规范》[20]，在疲劳荷载作用下，混凝土的拉应力及压应力幅值可分别按下式进行计算

(13)

(14)

式中：x0为换算截面受压区高度；h为截面高度；I0为截面惯性矩；Mmax为疲劳分析时同一截面上相应荷载组合下产生的最大弯矩，由于轨道板疲劳主要是由列车行进过程中产生的垂向荷载及温度作用引起的，所以本文主要考虑列车荷载和温度梯度荷载引起的弯矩。

根据式(13)和式(14)得到疲劳分析部位混凝土的标准应力谱，求得疲劳分析部位混凝土重复应力的等幅等效应力变程为

(15)

(16)

式中：Δσet和Δσec为轨道板疲劳分析部位的等效等幅重复应力变程；σet和σec为轨道板疲劳分析部位的等效等幅重复应力；Δσti和Δσci为轨道板疲劳分析部位混凝土受拉及受压的第i级重复应力变程；σtmin和σcmin分别为轨道板疲劳分析部位受拉及受压边缘混凝土材料承受的重复应力下限，轨道板含预应力方向(横向)取预应力筋的预加应力，不含预应力轨道板方向(纵向)取为0。

1.3 列车荷载和温度梯度荷载引起弯矩的计算

在分析无砟轨道结构受力时，通常主要考虑竖向列车荷载及正温度梯度荷载作用效应。目前对列车竖向荷载作用下板式无砟轨道结构的受力分析可采用叠合梁、梁-板和梁-体三种理论模型。无砟轨道各层结构在长度和宽度方向上的尺寸远远大于厚度方向的尺寸，列车荷载作用下各结构层挠度也远小于其厚度，因此，为了更好地模拟其变形，本文采用梁-板有限元模型进行列车荷载作用效应分析。图1为无砟轨道梁板理论的计算模型，模型中扣件采用三个方向的弹簧模拟；CA砂浆层及下部基础的竖向支承作用采用连续均匀的线性弹簧模拟；用Ansys软件分析列车荷载引起的弯矩Mv时，把列车竖向轮轨力P、轨道板弹性模量Eg、扣件刚度Ek分别当作随机变量。有限元分析模型所用到的参数如表1所示。

图1 无砟轨道梁-板理论的计算模型

轨道结构在运营期内受到温度梯度荷载作用引起的弯矩为[21]

Mt=KtTt

(17)

式中：Tt为温度梯度，为求最大弯矩，本文将Tt取为正温度梯度，服从均值为45、方差为13.5的威布尔分布；Kt为温度弯矩系数，服从均值为162.5、方差为0.007 56的正态分布。

根据轨道板截面弯矩效应组合[20]，将列车荷载引起的弯矩与温度梯度荷载引起的弯矩进行线性叠加，即Mmax=Mv+Mt，可得到同一截面上相应荷载组合下产生的最大弯矩。将最大弯矩值代入式(13)和式(14)，可求出混凝土的拉应力及压应力幅值，根据式(15)和式(16)，可以得到等效等幅重复应力变程Δσet和Δσec，加上轨道板疲劳分析部位受拉/压边缘混凝土材料承受的重复应力下限σcmin即可得到等效等幅重复应力σet和σec。

表1 梁-板有限元模型各参数取值

2 时变可靠度分析的快速积分算法

文献[15]提出了一种计算时变失效概率的快速积分算法，该方法采用Gauss-Legendre求积法和基于一维或二维减维积分的点估计法，对复杂、多维、隐式功能函数的时变失效概率积分进行了估计。该方法包括三个步骤：

Step1通过Gauss-Legendre求积公式，将时域积分近似为积分域中指定时刻对应函数值的加权和。

Step2采用点估计法对随机变量空间对应的积分进行估计，对于多维随机变量，采用一维或二维减维积分来减少计算量。

Step3根据Step1、Step2，可将时变失效概率的计算转化为时不变失效概率的计算，从而可采用既有可靠度计算方法来求解。

2.1 时变失效概率的计算公式

令X、Y(t)分别表示与时间无关和与时间有关的随机变量组成的向量，结构的一般时变性能函数可以表示为G[X,Y(t),t]，其中G[X,Y(t),t] > 0表示安全域。则(0,T]段内的时变失效概率可表示为[22]

(18)

式中：ΩΧ为X的范围；x为X的样本；fX(x)为X的联合概率密度函数；PY|Χ(x,T)为在(0,T]时间段内生存的概率，取决于随机向量X=x。

采用泊松随机过程描述荷载效应的随机过程，则PY|Χ(x,T)可以被表示为

(19)

式中：λY(t)为随时间变化的随机变量组合，如活荷载组合的平均发生率；PY|Χ,t(x,t)为t时刻在x条件下的失效概率，可以表示为

PY|Χ,t(x,t)=Prob{G[x,Y(t),t]≤0}=

(20)

式中：fY(y,t)表示Y(t)在t时刻的联合概率密度。若x和t被确定下来，则式(19)中的PY|Χ,t(x,t)可用传统可靠度计算方法来求得。

根据式(18)～式(20)，(0,T]时间段内的时变失效概率可以表示为

(21)

2.2 分解关于时域积分的Gauss-Legendre求积法

令t=T·τ/2+T/2，τ∈(-1,1]，则式(19)可写为

(22)

根据Gauss-Legendre求积公式，式(22)可表示为

(23)

式中:τk为横坐标；wk为相应的权重。当坐标个数mT为3、4、5时，τk和wk的取值如表2所示。

表2 横坐标τk及相应的权重wk值

2.3 分解随机变量所对应积分的点估计方法

将式(23)代入式(18)中，可得(0,T]段内的时变失效概率为[15]

1-E[PY|Χ(Χ,T)]

(24)

式中：E(·)表示期望；PY|Χ(Χ,T)为

(25)

PY|Χ(Χ,T)的均值可根据标准正态空间下的点估计方法[23]得到。

根据逆高斯转换[24-26]，PY|Χ(Χ,T)可表示为

(26)

式中：UX为nX维独立标准正态随机变量；nX为随机变量的个数。

由式(26)可以看出，PY|Χ(Χ,T)是一个关于UX的函数，为简洁起见用h(UX)来表示。

为了提高计算效率，可用一维减维方法对计算过程进行简化[23]，则h(UX)可计算为

(27)

式中：hi为一维减维函数；h0为一个常数。hi和h0可分别计算为

hi=h(0,…,Ui,…,0)=hi(Ui)

(28a)

h0=h(0,…,0,…,0)

(28b)

式中：hi(Ui)为一维减维函数，i=1,2,…,nX。

PY|Χ(Χ,T)的均值可以用下式进行计算

E[PY|Χ(Χ,T)]=

h0(0,…,0,…,0)

(29)

式中：μi为hi(·)的均值。根据标准正态空间中的点估计方法[23]，μi可计算为

(30)

式中：ui和pi分别为标准正态空间中的估计点和相应的权重；mX为估计点的数量。当mX=7时，估计点和其相应权重的数值如表3所示。

表3 估计点数量mX为7时估计点ui及相应的权重pi值

根据上述方法，可将时变失效概率的计算转化为时不变失效概率PY|Χ,t[T-1(UΧ),t]的求解问题，此时可采用既有可靠度计算方法如MCS、FORM和SORM等[27-29]求出PY|Χ,t[T-1(UΧ),t]的值，然后将所求得的时不变失效概率PY|Χ,t[T-1(UΧ),t]代入式(30)、式(29)和式(24)中，即可求得(0,T]段内的时变失效概率。

3 CRTSⅡ型无砟轨道板疲劳时变可靠度分析

本文以京沪高速铁路为研究背景，其繁忙路段每天通行约240趟车，按照京沪高速铁路上的主要车型CRH380进行分析，将列车垂向荷载简化为等幅疲劳荷载，一节车厢通过可认为重复加卸载4次。根据调研，CRH380 型高速列车有16 辆编组和8 辆编组两种，两种列车班次比例约为1∶3，确定每一年中轨道板的疲劳作用次数Ne=(8 ×180 +16 ×60) ×4 ×365=3 504 000次/a，取T=60 a。

3.1 功能函数及基本随机变量

以轨道板混凝土纵向受压疲劳为例进行分析，根据式(12)，并结合本算例的研究背景，可得到轨道板混凝土纵向受压疲劳的功能函数

G(X,Y,t)=0.988 5fcu-0.061 8fculg(3.504×106t)-σec

(31)

把G(X,Y,t)中随时间变化的参数fcu假定为时变随机变量y；不随时间变化的参数P、Eg、Ek、Kt、Tt和γ假定为时不变随机变量x1、x2、x3、x4、x5和x6，即n=7。随机变量分布类型取值如表4所示。

表4 随机变量分布特征

根据表4随机变量的分布特征，采用表3的标准正态空间的7点估计值经过Rosenblatt逆正态转换后，可得到相应随机变量原始空间的7点估计值，结果列于表5中。

表5 随机变量7点逆正态转换值

为了求解功能函数中的等效等幅疲劳应力，即式(12)中的σec，首先采用点估计[23]结合有限元的方法求解列车荷载引起的弯矩Mv，然后根据截面弯矩效应组合的方法[20]将列车荷载引起的弯矩与温度梯度荷载作用引起的弯矩进行线性叠加求出最大截面弯矩Mmax，代入式(14)及式(16)可得到原点矩[E(Δσci)16.9]1/16.9的值，进而得到等效等幅疲劳应力变程Δσec，最后加上轨道板疲劳分析部位受压边缘混凝土材料承受的重复应力下限σcmin即可得到σec。

为方便计算，采用点估计[23]结合有限元的方法进行分析，在Ansys软件中，将列车荷载x1取表5中7点估计值，x2、x3取表4中均值，得到Mv(x1,μ2,μ3)的7个值为：1 504.77、2 218.92、2 844.56、3 440、4 035.74、4 661.39、5 375.54 N·m；同理分别将x2、x3取7点估计值，其余点取均值，可以得到Mv的7个值，分别如表6所示。

表6 Mv (x1, x2, x3)的7点有限元解 N·m

当x1、x2、x3全部取表4中均值时，Mv(μ1,μ2,μ3)=3 440 N·m。

基于点估计一维减维方法[23]，可将式(14)写成

(32)

式中：

Gμ=G(μ1,μ2,μ3,μ4,μ5)=

G1=G(x1,μ2,μ3,μ4,μ5)=

G2=G(μ1,x2,μ3,μ4,μ5)=

G3=G(μ1,μ2,x3,μ4,μ5)=

G4=G(μ1,μ2,μ3,x4,μ5)=

G5=G(μ1,μ2,μ3,μ4,x5)=

结合式(17)，将表6中Mv(x1,x2,x3)的7点有限元解及表5中x4和x5的7点估计值代入式(32a)～式(32g)，可求得纵向受压边缘纤维处混凝土材料标准应力谱σc的前四阶矩：μ=3.132 4，σ=0.805 2，α3=0.002 0，α4=3.013。再根据式(16)，可求得原点矩[E(Δσci)16.9]1/16.9=5.674 0。同理，可计算得出混凝土受拉时式(15)中原点矩[E(Δσti)19.38]1/19.38=2.904 4。

3.2 轨道板混凝土时变可靠度的计算结果分析

根据式(18)和式(19)，(0,60]a时间段内的时变失效概率可写为

fX(x)dx

(33)

根据式(24)和Gauss-Legendre求积的四个横坐标估计值，式(33)可表示为

fX(x)dx=1-E[PY|X(X,60)]

(34)

由表2可得，tk和wk的值分别为：t1=4.165 911，w1=0.347 854 8；t2=19.800 57，w2=0.652 145 2；t3=40.199 43，w3=0.652 145 2；t4=55.834 089，w4=0.347 854 8。

根据Rosenblatt逆正态变换，PY|X(X,60)可以表示为

PY|X(X,60)=

h(UX)

(35)

运用标准正态空间的七点估计方法，PY|X(X,60)可用下式进行计算

E[PY|X(X,60)]=E[h(UX)]=

(36)

式中：ui和pi的值如表3所示。

失效概率P[T-1(ui),tk]可用FORM进行计算，将其结果代入式(36)和式(34)中，可以求得时变失效概率Pf(60)=1.030 8×10-7，对应的可靠指标β=5.193 7。运用蒙特卡洛法(400万次)求得的可靠指标为5.201 3，两者结果非常接近，而本方法仅需计算28次，表明本文方法具备高效与准确的特点。

将T取不同的值，利用该方法可得到(0,T]时间段内的时变可靠度，见图2(a)所示。

同理，重复上述步骤即可求解轨道板混凝土材料的纵向受拉及横向受拉、压疲劳时变可靠度，同时利用蒙特卡洛方法及时点可靠度方法[30]进行对比，将计算结果整理绘制成图2。

从图2可以看出：传统的时点可靠度方法的计算结果与蒙特卡洛结果有较大误差，而本文采用的时变可靠度方法的计算结果与蒙特卡洛方法的输出结果几乎一致，这表明本文采用的时变可靠度方法更适用于轨道板疲劳可靠度的计算。

图2 轨道板混凝土疲劳时变可靠度变化图

同时，从图2得到轨道板疲劳时变可靠度变化规律：CRTSⅡ型轨道板轨下截面处横向及纵向受压受弯压边缘纤维处混凝土弯压疲劳压溃失效模式对应的疲劳可靠指标均大于5，相应失效概率均小于3×10-7，基本不会发生疲劳开裂，尤其是横向，疲劳可靠指标大于9，发生混凝土弯压疲劳压溃的失效概率几乎为0；轨道板横向受弯拉边缘纤维处混凝土弯拉疲劳开裂的疲劳可靠指标β∈[2.337 8, 3.745 5]，相应的失效概率Pf∈[9.0017×10-5,9.7×10-3]，轨道板在轨下截面处纵向受拉边缘纤维混凝土弯拉疲劳开裂失效模式的疲劳可靠指标仅在[0.543 2, 1.421 3]之间，对应失效概率Pf∈[0.077 6, 0.293 5]，这表明在无预应力作用时，轨道板纵向轨下截面处受拉边缘纤维混凝土在长期的重复荷载作用下发生弯拉疲劳开裂的相对概率较大，较易发生弯拉疲劳破坏，尤其是服役后期。这说明轨道板作为主要承受循环次数较多且重复荷载较大疲劳荷载的构件，其疲劳性能需进一步控制和加强。