杨辉的比类思想——以《详解九章算法》为例

赵 晨，宋芝业

（内蒙古师范大学科学技术史研究院，内蒙古呼和浩特010022）

关于杨辉《详解九章算法》的研究，前人已经取得了比较显著的研究成绩。其中，郭书春的《详解九章算法提要》以及高宏林、李小娟的《杨辉算法提要》两篇文章，分别是在《中国科学技术典籍通汇》中，对该算书内容有概略性说明，有助于读者掌握算书的精髓。孔国平的《杨辉《详解九章算法》初探》对于《详解九章算法》的“解题”、“图解”等体例有所说明。钱宝琮的《九章问题分类考》为《九章算术》及《详解九章算法纂类》二书的章节及题文列出对照表，他认为《详解九章算法纂类》的分类方式有若干不妥处，并积极地为《九章算术》的题文重新分类，提出自已的另一种见解。林丽娜的《杨辉《详解九章算法纂类》研究》除了讨论《详解九章算法纂类》的分类内容之外，以商功章“方锥”等题为例，并对于《详解九章算法》的体例进行说明。吕变庭的《增补＜详解九章算法＞》是对杨辉注《九章算术》进行了校对和注释；其它对于杨辉《详解九章算法》的研究大部分以算术内容的考证及分析为导向，在这其中郭熙汉，孙文青，代钦等做出了大量的工作[1-5]。

在这些工作之外，对于杨辉在《详解九章算法》中运用到的比类思想却很少被提及，有待于进一步的研究及发掘；但杨辉的该种比类思想却在中国古代的数学发展中占有着重要的地位，并且对于当今社会的数学教育的发展也有着借鉴意义。基于此，通过探讨比类这一思想，来分析和归纳杨辉在该著作中运用到的数学思维方法，来试图找出在数学教学发展上的些许启发。

1 杨辉与《详解九章算法》概述

杨辉，字谦光，汉族，钱塘（今浙江杭州）人，约生活在南宋末年，因其在《宋史》无传，其它史书亦无详细记载，故其具体生卒年已不可考，是中国古代著名的数学教育家。杨辉一生著作颇丰，著有数学著作5 种21 卷，即《详解九章算法》12 卷（1261），《日用算法》2 卷（1262），《乘除通变本末》3卷（1274），《田亩比类乘除捷法》2卷（1275）和《续古摘奇算法》2卷（1275）（其中《详解》和《日用算法》已非完书）。而成书于景定辛酉年（1261）的《详解九章算法》是其早年研习《九章算术》的心得，该书在中国古代数学发展历史上占有着极其重要的历史地位。

《详解九章算法》是在贾宪《黄帝九章算法细草》的基础上写成的。《详解九章算法》的题目顺序遵循《九章算术》中的题目顺序，内容包括原题、新题、解题、图、法（术）、草、比类、总说、注释等，《纂类》一章则对《九章算术》中原有的题目进行了重新的分类。

杨辉在《详解九章算术》一书自述中写到：“择八十题以为矜式，自余一百六十六问，无出前意，不敢废先贤之文。删留题次，习者可以闻一知十。恐问隐而添题解，见法隐而续释注，刊大小字以明法草，僭比类题以通俗务。凡题法解白不明者，别图而验之，编乘除诸术以便入门。纂法问类次见之章末，总十有二卷。虽不足补前贤之万一，恐亦可备故来之观览云尔。”

通过上文杨辉的自述可以得知，《详解九章算法》共计有12 卷，分别为：图验卷、乘除卷(包括方田三十八问和粟米三问)、除率卷(包括粟米五问和盈不足四问)、合率卷(包括少广章十一问、均输章八问及盈不足一问)、互换卷(包括粟米三十八问、衰分十一问、均输十一问及盈朒三问)、衰分卷(包括原衰分九问和均输九问)、垒积卷(原商功章)、盈不足卷(原盈不足章)、方程卷(包括原方程一十八问和盈朒一问)、勾股卷(包括少广十三问、商功一问及原勾股章二十四问)、题兼二法者卷(如“九节竹”、“故问粝米”等)、以及纂类卷。在与《九章算术》的原有分章体例相比较的话，《详解九章算法》在问题分类上有了巨大的突破。

2 《详解九章算法》中的例题

杨辉在《详解九章算法》中创造性的应用了“以法御题”和“因法推类”两种数学方法。在书中“比类”这一栏，则是杨辉运用这两种数学方法最好的体现。杨辉的以法御题，便是在给出相关问题的各种解法之后在文末又加上比类这一项目，创造性的给出了该种解法所适用的若干性质相近的题目。

现根据杨辉在书中对数学问题的分类将例题归纳为以下几类：

2.1 合率

今有乘传委输，空车日行七十里，重车日行五十里。今载太仓粟输上林，五日三返。问：太仓去上林几何?

答曰：四十八里一十八分里之一十一。

术曰：并空、重里数，以三返乘之，为法。令空、重相乘，又以五日乘之，为实。实如法得一里。

解题：以合分互用，兼粟米互换之术，而立题。

术曰：并空重车日行里数。以三返乘之为法。令空、重车相乘。以五日乘之为实。实如法而一。

草曰：空、重车里数为分母，各以一日为分子。母互乘子。以三返乘之为法。令空、重车里数相乘。又以五日乘之为实。实如法而一，合问。

比类：五十分之一，七十分之一。问：合之几何?

答曰：合之得三百五十分之一百二十，反求得二余一十二分之十一。

法曰：合分求之，反用母互乘子为法，母相乘为实，实如法而一，合问。

2.2 衰分

今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤；斩末一尺，重二斤。问：次一尺各重几何？

答曰：末一尺重二斤，次一尺重二斤八两，次一尺重三斤，次一尺重三斤八两，次一尺重四斤。

术曰：令末重减本重，余，即差率也。又置本重，以四间乘之，为下第一衰。副置以差率减之，每尺各自为衰。副置下第一衰，以为法。以本重四斤遍乘列衰，各自为实。实如法得一斤。

解题：九节竹隐，其差为问。金箠以明其差为问。

术曰：本重减末重，余即差率。

又置本重四斤间乘之，为下第一衰。副置。差率二减之，求差如衰分求之。各列置衰、副，并为法。以所分乘未并者。以法除之。

草曰：本重四斤减末重二斤，余即差率。又置本重四斤，间乘之。为下第一衰。副置。以差率二减之。各列为衰。副置下第一衰。为法，乃以本重四斤遍乘列衰。各自为实，以法除之，合问。

比类：五人均银二十两，丙、甲得五两二钱，戊得二两八钱。

问：乙、丙、丁各得几何？

答曰：乙得二两六钱，丙得四两，丁得三两四钱。

别草：并甲、戊半之，求丙；并甲、丙半之，求乙；并丙、戊半之，求丁。合问。

2.3 叠积

今有方堡壔，方一丈六尺，高一丈五尺。问：积几何?

答曰：三千八百四十尺。

术曰：方自乘，以高乘之，即积尺。

解题：上下方相等，形如方柱，题类堆垛。

草曰：方一十六尺，自乘，得二百五十六，以高一十五尺乘之，得三千八百四十尺。

比类：方栈酒，东、西、南、北各一十六瓶，高一十五瓶。问：总计几何?

答曰：三千八百四十瓶。

2.4 盈不足

今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何?

答曰：人七人，物价五十三。

解题：隐互为题，法按后草。

草曰：以盈、不足。盈三文，不足四。令维乘所出率。并盈、不足为法。实如法而一。

比类：旧例支银，人给八两，回纳三两；人给七两，申添四两。问：本银、原人各几何?

答曰：原银五十三两，旧给七人。

草曰：回三两，添四两，互乘七两、八两，求之。

2.5 方程

今有麻九斗、麦七斗、菽三斗、荅二斗黍五斗，直钱一百四十；麻七斗、麦六斗、菽四斗、荅五斗、黍三斗，直钱一百二十八；麻三斗、麦五斗、菽七斗、荅六斗、黍四斗，直钱一百一十六；麻二斗、麦五斗、菽三斗、荅九斗、黍四斗，直钱一百一十二；麻一 斗、麦三斗、菽二斗、荅八斗、黍五斗，直钱九十五。问：一斗直几何?

答曰：麻一斗七钱，麦一斗四钱，菽一斗三钱，荅一斗五钱，黍一斗六钱。

术曰：如方程，以正负术入之。以法减第二行得荅价。左行得麦价，第三行得麻价，右行得菽价。如此凡用七十七算。

以新术为此。

草曰：列所问数，同前体求。

麻麦菽荅黎 价直

九 七 三 二 五 一百四十

七 六 四 五 三 一百二十八

三 五 七 六 四 一百一十六

二 五 三 九 四 一百一十二

一三二八五 九十五

比类：绫七尺，绢二尺，共价四百二十六；绫三尺，绢四尺，共价二百八十。问：绫、绢尺价几何？

答曰：绫五十二，绢三十一。此问出应用。

2.6 勾股

勾八尺，股一十五尺。问：为弦几何?答曰：十七尺。

解题：原问勾三股四，求弦五。其数差一，不足。验法：今借后题数目言之，形如半圭田。

草曰：勾、股各自乘，并而。开方,除之合问。

比类：田长二百五十步，阔一百二十步。问：两隅相去几何?

答曰：二百五十五步。

草曰：长、阔各自乘，并而得六万五千二十五，开方，合问。

2.7 题兼二法

今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸。瓠生其下，蔓日长一尺。问：几何日相逢?瓜瓠各长几何?

答曰：五日十七分日之五，瓜长三尺七寸一十七分寸之一，瓠长五尺二寸一十七 分寸之一十六。

术曰：假令五日，不足五寸；令之六日，有余一尺二寸。

解题：合率、商除，借盈、不足为问。

合率术草曰：以垣高为实。并瓜、瓠蔓长为法。实如法而一。

盈、不足率草曰：维乘并日数为实。并盈、不足为法。实如法而一,合问。

比类：出钱一十贯，买铜一斤九文，买锡一斤七文，欲共斤数相等。问：几何？

答曰：各重六百二十五斤，铜价五贯六百二十五，锡价四贯三百七十五。

术草曰:并铜锡价十六为法，以出钱十贯为实，实如法而一。

3 杨辉的比类思想

用简单的方式来表示复杂的举动这一现象正是基于人类在早期认识中就有的一种十分自然的观念—对比。在早期的数学发展过程中人们对于数学的理解是与日常的生产生活所紧密相连的，正因如此，“表示”和“对比”的出现就自然而然的出现了。而作为“表示”和“对比”这两个数学思想发展的进一步产物——“比类”，也伴随着数学的进步而诞生了。

关于“比类”二字的释义，大致可以理解为，即通过比较事物间的同异关系和联系，以进行归纳和演绎，并从而做出进一步的释义和分析。

杨辉作为中国古代著名数学家，其对于“比类”这一数学思想的运用则是在他这里达到了一个小高潮。杨辉在《详解九章算法》各章中对于比类这一思想方法的运用有所侧重的，凡是与几何面积运算有关的则运用较多，特别是在勾股章中，除了对勾股问题分类的更为详尽之外，在每一问题后尾大都加入了比类的问题。杨辉在将比类这一数学思想运用到《详解九章算法》之后，更是在稍后完的《田亩比类乘除捷法》中，将比类思想运用到了极致。

通过数学实作的方式对《详解九章算法》进行分析，对书中记载的问题，解题的方法和思路进行深入的总结之后，以此来探讨杨辉在数学研究过程中的实际行为和具体实践过程。

在经过分析之后，不难得出杨辉编纂《详解九章算法》以及为何要在书中采取比类这一数学思想方法。杨辉在《详解九章算法》中明确了以法御题的思想，明确的提出要“因法推类”，通过对《九章算术》中的问题进行分析和归纳后，自其中抽取八十道问题，并且按照该问题的具体解法进行了重新分类，并在给出问题得后面加上自己的解题思想方法之后，加入比类这一部分，仿照原有问题的解法，提出可用同样方法解答的新的问题。

比类，这一根据事物原有属性，对其归类的方法在杨辉这里得到了更大的发挥，不再按照《九章算术》原有的按照问题类型进行分类，而是按照问题的算法分类，这是《九章算术》发展史上的一大重要突破之处。

4 杨辉比类思想的进一步影响

《九章算术》作为中国古代的经典数学著作，它的诞生标志着中国传统数学思想体系的初步确立。但是，待到《九章算术》流传到南宋时期，已经有了多个不同的版本，同时在文章的体系以及内容的编排上受于时代的限制，已经与当时社会发展的需求所脱节。对于刚刚接触数学的许多普通人来说，《九章算术》中的有些内容过于繁杂，同时书中的某些章节的体例编排方面也是有着些许的混乱。

于是，杨辉便根据“以法御题”和“因法推类”两种数学思想并结合自己所掌握知识对《九章算术》的体例大胆的进行了改革、对书中的内容进行了重新的调整。其极具创新之处便是运用“比类”这一数学思想方法。杨辉在对《九章算术》中原有的例题依据算法重新编排以后，在每个问题的末尾又依据比类思想加入了可用同一种算法进行解答的新问题，以此来方便初学者进行理解和联系。

同时，为了方便普通学者理解书中复杂和枯燥的数字问题，杨辉还根据书中记载的这些问题亲自绘制例图，以此来使问题更加形象与生动。

在《详解九章算法》这部著作里，我们不仅能够看到杨辉对《九章算术》的剖析和解读，还能看到其大胆提出自己独到的见解和解题方法，这一系列的举措均展现了杨辉高超的数学才能。值得注意的是，杨辉在继承了北宋数学家们的数学成就基础上，还在自己的著作中引用并标明了这些理论的出处，这便使得今人在研究中国古代数学时能够不会因为文献的缺失而导致的断代问题所困扰。而且为中国古代数学的发展在世界数学发展潮流中曾经占据领先地位的成就找到了坚实的史实依据。

综上，中国古代数学形成了以“推类”为主导推理范式的自身逻辑思路,并且持续到宋元时期。而西方则与中国不同，与中国的推类相反的是，西方注重的则是对数学定理的证明及运用。从毕达哥拉斯定理的证明作为开始一直到牛顿-莱布尼兹的微积公式的发现，西方数学界走上了一条与古代中国不相同的道路。直到明清以后，西方数学开始领先于中国，这并不能说明西方在数学研究上采用的方法领先于中国。造成这种结果的原因是多方面，不只是与研究所采用的方法有关。

因此所谓的“中国传统思维方式束缚中国古代数学在明代以后进一步发展”的说法,是确实值得商榷的。中国古代数学受到了推类逻辑的影响,形成了自己的推理方法体系—以“类以合类”为方法论基础,以“类”和“分类”为推理的核心成分,以“推类”为主导的推理范式。这一方法体系在相当长的时期内使中国古代数学处于世界领先地位。

5 结语

杨辉，作为中国古代的著名数学家，其在实用算术以及几何问题的求解等方面均做出了卓越的贡献。同时他还有另一个身份—数学教育家，在数学教育这一方面，杨辉为数学的普及和实用耗尽了自己的心力。但因其在《宋史》中无传，所以关于杨辉本人的生活境况没有更多的文字记载，因此后人在对这样一位伟大的数学及数学教育家进行研究时对于其生平历程便缺少了很多的了解。万幸的是杨辉的数学著作保存和流传了下来，尽管在流传的过程中，因种种原因流失了部分，然而我们依然可以通过流传下来的作品来探究杨辉的数学成就，从而以此来窥见杨辉的伟大。

杨辉的生活年代大致在宋末元初这一时期，当时正值蒙古大举南侵，连年的战事，动荡的社会，当时社会体制下存在的弊端，都对杨辉的数学研究和推广造成了困难和缺憾，但这些历史原因所造成的局限却丝毫抹杀不了杨辉作为一个中国古代数学巅峰时代—宋元时期的代表人物的伟大和光辉。

因此，我们在研究杨辉的比类思想，以及其它的科技史著作时，我们不单单要研究其人，其著作，其思想，同时还要结合作者所处的时代背景，该时代的科技发展程度。才能对其研究的更加的透彻，从而得出正确的结论，领悟到古人高超的智慧。