非线性椭圆方程变分方法研究的若干新进展

云南师范大学数学学院

1 项目研究的背景和意义

Hilbert与变分法：1900年， 国际数学领袖、20世纪最伟大的数学家D.Hilbert在巴黎国际数学家大会上， 提出的23个著名数学问题中有3个问题与变分法直接相关， 特别是第23个问题就是 “变分法的进一步发展”，Hilbert认为变分法将汇入20世纪数学发展的主流。

希尔伯特(David Hilbert 1862-1943)

变分法的起源：18世纪著名数学家J.Bernoulli提出了最速降线问题：一个质点在重力作用下，从一个给定点A到不在它垂直下方的另一点B，如果不计摩擦力，问沿着什么曲线滑下所需时间最短?

变分法的重要里程碑：1973年，意大利伦琴科学院院士A.Ambrosetti和美国科学院院士P.H.Rabinowitz提出了著名的山路定理， 标志着变分法有了重大发展。

变分法的近期发展：2018年，意大利数学家A.Figalli因在最优传输理论及其在偏微分方程等方面的应用做出的重要贡献获菲尔兹奖(Fields Medal， 这是数学界2个最重要奖项之一)。

A.Figalli

变分法中的2个典型困难：一是失去“紧性”；二是失去“光滑性”。

失去“紧性”的问题：最早在文[H.Brezis，L.Nirenberg，Positive solutions of nonlinear elliptic equations involving critical Sobolev exponents， Comm.Pure Appl.Math.36 (1983)437-477]中提出。

失去“紧性”的典型例子Brezis-Nirenberg 问题：有界区域上带临界指数的问题

失去“光滑性”的问题：最早出现在文[S.Kurihara， Large-amplitude quasi-solitons in superfluids films， J.Phys.Soc.Jpn.50(1981)3262-3267]中提出的一类带修正项的Schrodinger方程驻波的研究中.

X不是一个线性空间，u，v属于X，不一定属于X，很难找到一个合适的空间， 使得I是光滑泛函，这导致很多经典的变分技巧不能直接用来研究该方程。

项目提出了变分泛函扰动法。变分泛函扰动法的主要思想：用光滑泛函逼近非光滑泛函。 考虑扰动泛函

2 项目主要研究内容及发现点

1）提出了一种把非光滑变分问题转化为标准变分问题的新方法——变分泛函扰动法。克服了约束极小化、Nehari流形和变量代换等方法不能研究一般拟线性椭圆方程的局限性。该方法具有原创性， 已成为研究具有重要物理背景的带修正项的Schrödinger 方程解存在性的1种重要方法。

2）对扰动方法做了进一步的讨论， 通过添加2项扰动来获得拟线性椭圆方程变号解的存在性。 特别将我们提出的新方法应用于几类典型的拟线性椭圆方程：全空间上拟线性椭圆方程；带参数形式拟线性椭圆方程；带临界指数拟线性椭圆方程.取得了突破性的进展。

3）项目还有其他几个重要工作， 例如：全空间上非线性Schrödinger方程组混合态解的存在性；渐近线性Schrödinger方程变号解、半空间椭圆边值问题、重调和方程及带Hardy项的p-重调和方程变号解、哈密顿性椭圆方程组半经典问题基态解的集中现象等。

3 成果的收录、引用及评价情况

该成果的70篇论文发表在Calc.Var.Partial Differential Equations， Comm.Partial Differential Equations， J.Differential Equations， Nonlinearity， Proc.Amer.Math.Soc.等该领域国际公认的权威期刊上，全部被SCI收录， 其中JCR一区期刊上52篇。ESI高被引论文5篇， 其新方法、新思想及新结果被国内外同行在 Calc.Var.Partial Differential Equations，Comm.Partial Differential Equations，J.Differential Equations， Proc.Roy.Soc.Edinburgh Sect.， Z.Angew.Math.Phys.等 SCI刊物上总引697次， 他引510次；单篇SCI论文他引最高为67次； 20篇核心论文SCI他引383次；8篇代表性论文SCI他引192次。

所开展的系列工作被国际数学界最重要的评论机构“美国《数学评论》”收录并摘评。例如：日本Kyoto Sangyo University， W.Tatsuya 教授在美国《数学评论》评论代表性论文[1]：“In this paper，the authors propose a newapproach…Their approach is effective for dealing with multiple solutions of quasilinear equations in a general form to which the idea of change of variables does not apply (在该文中，作者提出了一种新方法，克服了变量代换方法不能研究一般拟线性椭圆方程的局限性，并用该方法获得了其无穷多解的存在性)”美国St.John’s University，F.Catrina教授在美国《数学评论》评论代表性论文[3]：“The authors use a perturbation method to prove the existence of ground state solutions to modified nonlinear Schr"odinger equations.The existence of solutions is proved first for a perturbed problem with additional terms， and with constant(作者利用扰动方法证明了带修正项的拟线性Schrödinger方程基态解的存在性，这是该方程在临界情形下解存在性的第一个结果)”。

项目提出的新方法、新思想及获得的新结果被美国、 意大利、日本、巴西、突尼斯、越南、波兰以及国内同行在该领域国际公认的权威期刊上多次介绍和引用。国内也有很多同行对我们的工作给予了高度评价。

4 促进科学发展的重要意义

1）发展了变分法，针对失去“光滑性”的问题，原创性地提出一种把非光滑变分问题转化为光滑变分问题的新方法——变分泛函扰动法， 完全克服了约束极小化、Nehari流形和变量代换等方法不能研究一般拟线性椭圆方程的局限性，该方法已成为研究拟线性椭圆方程特别是有重要物理意义的带修正项的Schrödinger方程解存在性的主要方法之一(见代表性论文[1])。

2）应用所提出的新方法在拟线性椭圆方程解的存在性、多重性及解的性态分析等问题取得了突破性进展(见代表性论文[2，3，6，7])。

3）发现了全空间及半空间上p-Laplace算子第二特征值及其等价定义，刻画了该算子的特征值序列并完整描绘了相应的特征曲线图，结合团队所发展的Cerami条件下的变号临界点定理，进而在全空间及半空间上带位势井的渐近线性p-Laplace方程变号解存在性方面获得系列全新结果；在高阶Sobolev空间中提出了1种新的产生流不变集的算子，得到了重调和方程及带Hardy项的p-重调和方程变号解的存在性(见代表性论文[4，5，8])。

4）代表性文献

[1]Xiangqing Liu，Jiaquan Liu， Zhiqiang Wang.Quasilinear elliptic equations via perturbation method.Proc.Amer.Math.Soc.141(1) (2013) 253-263.

[2]Xiangqing Liu， Jiaquan Liu， Zhiqiang Wang.Quasilinear elliptic equations with criticalgrowth via perturbation method.J.Differential Equations 254(2013) 102-124.

[3]Xiangqing Liu， Jiaquan Liu， Zhiqiang Wang.Ground states for quasilinear Schrödinger equations with critical growth.Calc.Var.Partial Differential Equations 46 (2013)641-669.

[4]Xiangqing Liu， Yisheng Huang.On signchanging solution for a fourth-order asymptotically linear elliptic problem.Nonlinear Anal.72 (2010)2271-2276.

[5]Xiangqing Liu， Jiaquan Liu.On a boundary value problem in the half-space.J.Differential Equations 250 (2011) 2099-2142.

[6]Xian Wu.Multiple solutions for quasilinear Schrödinger equations with a parameter.J.Differential Equations 256(7) (2014) 2619-2632.

[7]Xian Wu， Ke Wu.Existence of positive solutions， negative solutions and high energy solutions for quasilinear elliptic equations on RN.Nonlinear Anal.Real World Appl.16(2014)48-64.

[8]Yanheng Ding， Cheng Lee， Fukun Zhao*.Semiclassical limits of ground state solutions to Schrödinger systems.Calc.Var.Partial Differential Equations 51(2014) 725-760.