一类具有单理想的Hom-李代数的结构

李小朝

（黄淮学院数学与统计学院，河南驻马店463000）

Hom-李代数是Hartwig,Larsson和Silvestrov在2006年研究Witt代数和Virasoro代数的形变理论时提出来的[1]，它是把李代数的Jacobi等式通过线性映射进行扭曲而得到的新的代数结构。Hom-李代数是李代数的一种形变或推广。早期的李代数的形变研究见胡乃红给出的q-李代数[2]。由于Hom-李代数与理论物理、量子群等有着紧密的联系，自被提出以来，就得到广泛和深入的研究，如Hom-李代数及其同调理论[3]，具有对称不变双线性型的Hom-李代数[4]等。陈良云等研究了Hom-李代数的广义导子[5]，并给出Hom-李型代数的最新研究成果[6]。生云鹤研究了Hom-李代数的表示等[7]。有限维Cartan型李代数的保积Hom-结构及复半单李代数的Hom-代数结构[8-10]等已经被系统研究且得到了较好的研究成果。但是由于Hom-李代数所用线性映射的多样性，其结构和分类问题非常复杂。本文通过复数域ℂ上单李代数构造单保积Hom-李代数，研究理想为3维单保积Hom-李代数的4维Hom-李代数，给出这类Hom-李代数的非李代数结构。

1 预备知识

定义1[1,7]设L 是复数域ℂ 上一个线性空间，α:L →L 是一个线性映射。若二元运算L×L →L:(x,y)→[x,y]是双线性的，且对∀x,y,z ∈L 满足：(1)[x,y]=-[y,x]，(2)[α(x),[y,z]]+[α(y),[z,x]]+[α(z),[x,y]]=0，称三元组(L,[,],α)是一个Hom-李代数。条件(2)中的等式称为Hom-Jacobi等式。若还满足α([x,y])=[α(x),α(y)]，则称(L,[,],α)为保积Hom-李代数。

定义2设(L,[,],α)是一个Hom-李代数。若L 的子空间L1满足α(L1)⊆L1, [L1,L1]⊆L1，称(L1,[,],α|L1)是(L,[,],α)的Hom-子代数。若L的子空间L2满足α(L2)⊆L2, [L2,L]⊆L2，称(L2,[,],α|L2)是(L,[,],α)的理想。

定义3设(L,[,],α), (L,[,]′,α′)是两个Hom-李代数，f:L →L是一个线性映射。若对∀x,y ∈L，都有f ([x,y])=[ f (x),f (y)]′和f ∘α=α′∘f，称f 是一个Hom-李代数同态。特别地，若f 是可逆的线性映射，则称f是一个Hom-李代数同构，而Hom-李代数(L,[,],α),(L,[,]′,α′)是同构的。

2 具有3维单理想的4维Hom-李代数

以3维单李代数L=sl2(ℂ)为基础，给出3维单保积Hom-李代数(L,[,],α)，进而研究以3维单保积Hom-李代数(L,[,],α)为理想的4维非李代数的Hom-李代数的结构。

设{e,f,h}是L=sl2(ℂ)的标准基，即[e,f ]=h, [h,e]=2e, [h,f ]=-2f，所考虑的矩阵也是在此基下的矩阵。由于α 是单李代数L=sl2(ℂ)的自同态，则α=0 或者α 是自同构。下面假定研究的L=sl2(ℂ)的自同态不为零，即是自同构。由文献[9]的命题2.1知，保积Hom-李代数(L,[,],α)与(L,[,],β)同构当且仅当α,β是共轭的。因此给出L上的自同构只需考虑其共轭类的代表元即可。在同构的意义下有如下结论。

命题1[10]设(L,[,],α)是一个保积Hom-李代数，则α=id或者α(e)=-e,α( f )=-f,α(h)=h。

这样以3 维单李代数L=sl2(ℂ)为基础，得到3 维单保积Hom-李代数(L,[,],α)，其中α=id 或者α(e)=-e,α( f )=-f,α(h)=h。接下来考虑以上述3维单保积Hom-李代数(L,[,],α)为理想的4维非李代数的Hom-李代数(g,[,],σ)。设g=span{e,f,h,x}，由于 [L,g]⊆L，则可以设

由定义2知，σ|L=α，σ在基{e,f,h,x}下对应的矩阵为

对A1，可以选择适当的元素x，使得A1对应情形分别为

定理1设(g,[,],σ3)是一个Hom-李代数，但(g,[,])不是李代数，则有如下结论：

(1)[x,e]=e, [x,f ]=f, [x,h]=h,σ3对应的矩阵为A3=diag(1,1,1,2)；

(2)[x,e]=c11e+c12f +c13h,[x,f ]=c21e+c11f +c23h,[x,h]=2c23e+2c13f -2c11h, σ3对应的矩阵为A3=diag(1,1,1, -1)，c11、c12、c13、c21不全为零。

证明由于(g,[,],σ3)是一个Hom-李代数，则有元素x、e、f满足Hom-Jacobi等式，即

同理，元素x、e、h满足Hom-Jacobi等式，有

元素x、f、h满足Hom-Jacobi等式，有

由式（3）（4）（8）可得：(a4-2)(a4+1)c33=0；由式（1）（9）可得：(a24-1)c31=0；由式（2）（6）可得：(a24-1)c13=0。

综上对a4进行讨论，注意到a4≠1。

若a4≠2且a4≠-1，则c13=c31=c33=0，进而得cij=0(1≤i,j ≤3)。此种情形(g,[,])是李代数，舍去。

若a4=2，则c13=c31=0，进而还有c21=c12=c32=c23=0，c11=c22=c33。容易验证c11≠0时，(g,[,])不是李代数。取适当的x可以得到[x,e]=e, [x,f ]=f, [x,h]=h。

若a4=-1，则，相应的运算为

容易验证系数c11、c12、c13、c21不全为零时，(g,[,])不是李代数。

定理2设(g,[,],σ4)是一个Hom-李代数，σ4对应的矩阵为A4，则(g,[,])是李代数。

证明与定理1的证明过程类似，可以得到a1=a2=a3=0，即σ4=id，此时Hom-李代数(g,[,],σ4)是李代数(g,[,])。

同样对A2，可以选择适当的元素x，使得A2对应情形分别为

定理3设(g,[,],σ5)是一个Hom-李代数，但(g,[,])不是李代数，则有：[x,e]=e, [x,f ]=f, [x,h]=-h,σ5对应矩阵为A5=diag(-1, -1,1,2)。

证明由于(g,[,],σ5)是一个Hom-李代数，则有元素x、e、f满足Hom-Jacobi等式，得

同理，元素x、e、h满足Hom-Jacobi等式，可以得到

元素x、f、h满足Hom-Jacobi等式，可以得到

由于a4≠±1，故c12=c21=0。由式（10）（18）得到c31=c23=0；由式（11）（15）得到c13=c32=0；由式（12）（13）（17）可得(a4-2)(a4+1)c33=0。

如果a4≠2，则c33=0，进而c11=c22=0，此时(g,[,])是李代数，舍去。

如果a4=2，则有c11=c22=-c33。若c11=0，(g,[,])是李代数，舍去。因此这里设c11≠0，取适当的x，可以得到[x,e]=e, [x,f ]=f, [x,h]=-h。

对A6、A7有类似的结论，证明过程略。

定理4设(g,[,],σ6)是一个Hom-李代数，但(g,[,])不是李代数，则有：(1) [x,e]=0, [x,f ]=h, [x,h]=2e, σ6对应矩阵为A6=diag(-1, -1,1,1)；(2)[x,e]=h, [x,f ]=c23h, [x,h]=2c23e+2f,σ6对应的矩阵A6=diag(-1, -1,1,1),其中c23为任意常数。

定理5设(g,[,],σ7)是一个Hom-李代数，但(g,[,])不是李代数，则有：(1)[x,e]=e+c12f, [x,f ]=c21e+f, [x,h]=2h,σ7对应的矩阵A7=diag(-1, -1,1, -1),其中c12、c21为任意常数；(2)[x,e]=f, [x,f ]=c21e,[x,h]=0, σ7对 应 的 矩 阵A7=diag(-1, -1,1, -1), 其 中c21为 任 意 常 数；(3) [x,e]=0, [x,f ]=e,[x,h]=0,σ7对应的矩阵A7=diag(-1, -1,1, -1)。

3 结束语

Hom-李代数由于所用线性变换形式多样，其结构较为复杂。利用李代数的形变得到Hom-李代数是很常用的，这种Hom-李代数的结构研究比较方便。本文研究了以3 维单保积Hom-李代数为理想的4 维Hom-李代数，并给出了具体的结构。利用已知Hom-李代数扩充出新的Hom-李代数是值得探索的方法。