圆锥曲线中过定点问题的常用解法

王术坚

【摘要】圆锥曲线的定点、定值问题是高考的考查热点问题，其对学生数学学科素养的培养具有举足轻重的作用，而圆锥曲线的大题往往因难度较大，对学生的转化化归能力、推理能力、运算求解能力、以及创新应用能力要求较高，学生的掌握有一定的困难。笔者在疫情期间指导学生高考备考时就专门为全校师生开展过一节定点问题的网络直播公开课，该课中所用的解题方法，对于解决2020年全国高考理科数学I卷中的解析几何题第20题是有效的，本文就此做了一个总结和分享，与各位同仁一起探讨。

【关键词】圆锥曲线解法;直线系方程法;曲线系方程法

【中图分类号】G633.6【文献标识码】A【文章编号】1992-7711（2020）32-168-01

1.通过直线系方程求定点

解决定点问题的关键就是根据已知条件建立过定点（x0，y0）的直线系方程y-y0=k（x-x0）其中k为参数，这里的参数k无论怎么变化方程都会过这个定点。

例1 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的方程为y2=4x，直线l交抛物线于A、B两点，若OA·OB=-4，求证直线l恒过定点。

思路探求：先设点A、B和直线l的方程，再联立方程组，把韦达定理所得结果用到OA·OB=-4中，求出m的值，代入所设直线方程。

解：设点A、B坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），直线l的方程为y=kx+m，联立抛物线的方程y2=4x，可得x2-4kx-4m=0，其中x1+x2=4k，x1x2=-4m.又OA·OB=x1x2+y1y2=x1x2+;;;;=-4，故解得m=2，所以直线l的方程为y=kx-2.因而直线过定点（0，-2）.

方法点睛：在解决此问题时要按照题目意思，利用已知条件，求出k与m的关系式代回原直线方程k=f（m）.

例2 已知抛物线的方程为y=x2+1，点M（t，0）为x轴上一动点，过点M做作两条直线l1，l2与已知抛物线相切于P、Q两点，求证直线PQ恒过定点。

思路探求：本题从两个不同的角度求出切线的斜率建立等式，再由原函数对x12进行代换，求得P、Q两点共同满足的一次方程进行求解。

解：设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），对y=x2+1求导数得y'=2x，所以l1的斜率为2x1，又由M、Q两点的坐标可求得l1的斜率;;，所以;;=2x1，因为点P（x1，y1）在抛物线上，所以y1=x12+1，将x12=y1-1代入;

=2x1得y1=2tx1+2，对于l2同理可得y2=2tx2+2，所以直线PQ恒过定点（0，2）.

方法点睛：P（x1，y1）、Q（x2，y2）两点的坐标满足一个一次方程，由两点确定一条直线，可知这个方程就是所求直线方程，这条直线方程是y=2tx+2，显然过定点（0，2）.

2. 从特殊情形入手找出定点，再证明该定点与变量无关

例3 过点（0，-1）的直线l交椭圆方程C：;  +; =1于A、B两点，问是否存在定点T，使得以AB为直径的圆恒过T点，若存在，求出T点的坐标，若不存在说明理由。

思路探求：本题可先考虑特殊情况，当直线l与坐标轴垂直时，易求出可能的目标点，当直线l与坐标不轴垂直时，可设先出点A、B的坐标，再利用TA·TB=0进行验证可达到目的。

解：当直线l与x轴平行时，l的方程是y=-1，与椭圆C的方程联立，求得点A、B的坐标分别为（-4，0）和（4，0），所以AB为直径的圆方程是x2+（y+1）2=16①，当直线l与y轴平行时，点A、B的坐标分别为（0，3）和（0，-3），此时以AB为直径的圆方程是x2+y2=9②，联立①，②得交点（0，3）.

当直线l与坐标轴不垂直时，设直线l的方程为y=kx-1，点A、B坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）

;;y=kx+1

由;; +;  =1，得（2k2+1）x2-4kx-16=0，因点（0，-1）在椭圆内，知Δ>0成立。所以x1+x2=;;  ，x1x2=;;;，而TA=（x1，y1-3），TB=（x2，y2-3）.TA·TB=x1x2+（y1-3）（y2-3）=（1+k2）;;; -;;; +16=0，故TA⊥TB所以AB以為直径的圆过定点（0，3）.

方法点睛：直接要求出动圆的方程并不容易，这时可以转换为数量积为0，如本题所用的方法：当动圆过定点时，可先利用特殊情况，找出可能的定点，再利用目标点与直径端点构成两向量数量积相等进行验证。

3. 通过曲线系方程求出定点

例4 已知椭圆的方程为;  +; =1，其左右顶点分别为A、B，点P为椭圆上异于A、B两点的动点，直线x=4与直线PA、PB分别交于M、N两点，点E的坐标为（0，7），试问M、N、E过三点的圆是否过异于点E的定点，若是，求出定点E的坐标;若不是，请说明理由。

思路探究：该处出现两条直线的斜率之积，实为椭圆的第三定义，人教版教材中以例题的形式出现过，所以易知斜率之积为-;  .由PA、PB的直线方程可得M、N两点的坐标，进而求出圆的方程，观察到该圆的一般方程恒过定点。

解：设PA、PB的斜率分别为k1、k2，点P坐标为（x，y），由椭圆方程知y2=;;;;所以k1k2=;;; =-;  ，易知PA的直线方程分别为y=k1（x+2），PB的直线方程是y=k2（x+2），所以点M的坐标为（4，6k1），点N的坐标是（4，2k2），而kME=-2k1，kNE=-;;所以kMEkNE=-1，所以M、N、E三点在以线段MN为直径的圆上，所以该圆的圆心为（4，3k1+k2），半径r=3k1-2k2，所以圆的方程为（x-4）2+[y-（3k1+k2）]2=（3k1-k2）2，即（x-4）2+y2-（6k1+2k2）y-9=0，直线恒过定点（1，0）或（7，0）（点E舍去）.

方法点睛：利用曲线的方程求定点，把曲线中的x、y看做常数，并把方程变形成f（x，y）+λg（x，y）=0，只要求出使f（x，y）=0与g（x，y）=0同时成立的解即可。

在高考备考中，通性通法是学生应该重点掌握的.定点问题是圆锥曲线的高频考点，在解决此类问题时，学生除了掌握相关的基本知识外，还需要掌握通性通法，在变化中寻找不变性。定点问题也是考察学生的四基四能的有效载体，学生在平时的备考中，需要多思考、多练习、多总结。

【参考文献】

[1]郝志永， 王进军. 圆锥曲线中过定点问题的思考与推广[J]. 数理化学习（高一二版）， 2019， 000（005）：43-44.

[2]厉伟星. 圆锥曲线中直线过定点问题探析[J]. 中学生数理化：学研版， 2020， 000（002）：P.15-15.