有一种叫设置零点为变量的方法

(指导教师：褚人统)

一、零点为变量方法的发现

近一段时间,笔者多次接触到一些试题,解答这些试题时,如采用常规方法,则烦琐易错;而如果把零点设置为变量,则会简便易行,下面具体分析。

例1已知函数f(x)=x2+ax+b有两个零点x1,x2,且满足0＜x1＜x2＜2,则f(0)·f(2)的取值范围是( )。

A.(1,4) B.(1,2)

C.(0,2) D.(0,1)

分析：常规解法很烦琐,若采用新的“武器”——零点作变量方法则,可以简洁求解。

解：设f(x)=(x-x1)(x-x2),其中0＜x1＜x2＜2,这样有f(0)·f(2)=x1x2·(2-x1)(2-x2)=x1(2-x1)·x2(2-x2)。由x1(2-x1)=-(x1-1)2+1∈(0,1],x2(2-x2)∈(0,1],结合x1,x2不可能同时为1,得x1(2-x1)·x2(2-x2)∈(0,1)。选D。

这种置零点为变量的解法很妙,简直妙不可言!

二、一个精彩的范例

例2已知函数f(x)=x2+ax+b在区间[0,1]内存在零点,则ab的最大值为_____。

解法一：设零点x0∈[0,1],则ab=把x0看成变量去求ab的最大值,依据与区间[0,1]的位置关系,结合这个函数关系式的二次项系数为-a,可作如下讨论。记h(x0)=

综上可知ab的最大值为

解法二：由a∈R 且b∈R 可知,另一个零点的范围也是R。设方程x2+ax+b=0的两根为x1∈ [0,1],x2∈R,则则x2,在这个式子中,把量ab看成是变量x2(x2∈R)的二次函数,则当且仅当x1=1且x2=时等号成立,此时故ab的最大值为

解法三：设置零点x0∈[0,1]为变量,则b=--ax0,所以有ab=a(--ax0)=x0·a·(-x0-a)。要求ab的最大值,只需从a,-x0-a同号考虑即可,则ab=x0·,当且仅当x0=1 且-x0-a=a,即时等号成立。故ab的最大值为

小结：上述的几种解答过程是对采用“设置零点为变量的方法”可巧妙求解一类试题的淋漓尽致的诠释。