关于全概率公式解决医学问题的课堂教学体会

杨小飞

摘 要：概率论与数理统计的首要任务是计算随机事件的概率，而全概率公式就是计算复杂事件概率的一种行之有效的方法，它在实际中的应用非常广泛。因此，如何引导医学院的学生理解并掌握全概率公式，一直是课堂教学的重点与难点。本文首先通过具体的实例引入全概率公式，然后介绍全概率公式内涵及解题步骤，最后通过医学检验中具体的实例来说明公式的应用。通过这种层层递进的方式，使学生们能够深刻理解全概率公式，并且熟练掌握公式的应用，从而解决医学检验中遇到的概率问题。

关键词：全概率公式;教学的重点与难点;复杂事件的概率;医学检验

概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科[1]。它的首要任务是计算随机事件的概率，而全概率公式就是计算复杂事件概率的一种行之有效的方法。全概率公式在实际中的应用非常广泛，比如在产品质量检验、疑难病症诊断和经济决策上的應用[2]。因此如何引导医学院的学生理解和掌握全概率公式，并且熟练掌握公式的应用，进而去解决医学检验中的概率问题，就显得尤为重要。

本文首先通过“摸奖问题”引入全概率公式，然后介绍公式的内涵与解题步骤，最后有针对性的选取例题，特别是医学检验相关的应用题，培养学生解决实际问题的能力与运用所学知识的能力。

1 引例：摸奖问题

商场门口举行摸奖活动：有1，2，3号三个箱子，每个箱子中放入若干个白球和红球，其个数如右图所示，摸到红球的中奖。购买商场中任意商品的顾客有一次摸奖的机会，问顾客中奖的概率是多少？

解：设Bi={取到第i号箱}，

A={取得红球}.

所以，这体现了“化整为零”的数学思想。

于是

利用乘法公式，可得：

从而将复杂事件的概率转化为简单事件的概率之和，上式体现了“积零为整”的数学思想。最后代入数值，得：

所以顾客中奖的概率是11/30。

其中，是导致事件A发生的所有可能原因，

并且满足：;

将上述结果一般化，我们就得到样本空间的划分的概念和全概率公式。

2 全概率公式

定义1 设试验E的样本空间为，为的一组事件，若

（1）（不交）

（2）（不重）

则称为样本空间的一个划分，或者称为一个完备事件组。

定理1 设A为样本空间为的事件，为的一个划分，且，则：

（1）

上式称为全概率公式[3]。

2.1 全概率公式的内涵

1）在（1）式中，A往往表示某一结果，完备事件组表示导致这一结果发生的所有可能原因。因此，全概率公式实际上是已知原因求结果。

2）（1）式说明，在计算一个复杂事件A的概率时，往往是将A转化为两两互斥的简单事件的并，即，使得复杂问题简单化，这体现了“化整为零”的数学思想;从而，计算出复杂事件的概率，这又体现了“积零为

整”的数学思想。

2.2 全概率公式的解题步骤

全概率公式应用的关键是找到样本空间的一个划分，即导致A这一结果发生的所有可能原因。为了便于计算，我们将全概率公式解题步骤归纳如下：

1）找出导致A这一结果发生的所有可能原因，其构成一完备事件组;

2）求出每个原因概率的大小;

3）求出原因对结果的影响的概率;

4）求出结果A发生的概率

3 全概率公式的应用

全概率公式在实际中的应用非常广泛。下面通过具体的实例来说明全概率公式的应用。

例1 体检时甲胎蛋白检验结果是检査是否患有肝癌的重要指标。肝癌患者该检验结果呈阳性的概率为0.95，正常人该检验结果呈阳性的概率为0.04.已知人群中肝癌患者占0.06%，求任一人甲胎蛋白检验结果呈阳性的概率。

解：设A={甲胎蛋白检验结果呈阳性};B1={被检査者患肝癌}，B2={被检查者正常}.显然，B1，B2构成一个完备事件组，这是导致A这一结果发生的所有可能的原因。已知原因求结果，所以可以用全概率公式求解。

由题意可知，P（A|B1）=0.95，P（A|B2）=0.04，P（B1）=0.0006，P（B2）=0.9994，所以，P（A）=0.95×0.0006+0.04×0.9994=0.040546。

4 结束语

全概率公式一直是课堂教学的一个重点与难点。本文首先通过一个有趣的“摸奖问题”入手，在分析、推理、归纳的基础上，启发学生逐步归纳出样本空间的划分的定义与全概率公式（定理）;其次，通过引例进一步启发学生揭示全概率公式还隐含了“多种原因→结果”这一内涵;再次，通过对全概率公式的进一步剖析，挖掘出公式蕴涵的数学思想，那就是：将复杂的事件化整为零再通过全概率公式积零为整，求出复杂事件的概率，培养学生分析问题的能力和创新素质;最后，有针对性地选取例题，特别是与医学检验相关的应用题，扩大学生的视野，培养其解决实际问题的能力和运用所学知识的能力。

参考文献

[1]上海交通大学数学系.概率论与数量统计[M]北京：科学出版社，2019.

[2]杨波.关于全概率公式及其实际应用[J].鸡西大学学报，2015（15）：52-54.

[3]朱翼隽.概率论与数量统计[M].镇江;江苏大学出版社，2015.