无失效数据下ZZ分布的可靠性分析

雷露 张国志 王萍

摘 要：有些产品的寿命用常见的分布去刻画与实际偏差较大，而ZZ分布能够较好地描述这一类产品的寿命分布，为了在无失效数据条件下对ZZ分布进行可靠性分析，通过对该分布可靠度函数进行变换，并利用其凹凸性得到产品在各检测时刻可靠度之间更为精确地关系，进一步在先验分布为均匀分布和更一般的分布下，给出了各个时刻可靠度的贝叶斯估计。同时依据无失效数据场合下，已知函数的置信水平为1-α的最优置信下限公式，给出了ZZ分布可靠度函数的最优置信下限表达式，并且在几种特殊场合得到了便于使用的简化形式。

关键词：ZZ分布;可靠度函数;无失效数据;估计;最优置信下限

DOI：10.15938/j.jhust.2020.05.023

中图分类号： O231

文献标志码： A

文章编号： 1007-2683（2020）05-0164-07

Abstract：It is a deviation reality that lifespan of some products is described by common distributions. However，the ZZ distribution can better describe the lifespan distribution of this type of product. In order tostudy the reliability of the ZZ distribution under the condition of no failure data， and the reliability function is transformed， and the concavity and convexity is used to obtain a more precise relationship between the reliability of the products at each detection time. Further， under the prior distribution is the uniform distribution or more general distribution， Bayesian Estimation of the reliability at each moment is given. Meanwhile， according to the optimal confidence lower limit formula of known function with confidence level of 1-α in the case of no failure data， the optimal confidence lower limit expression of the reliability function is given， and the simplified form that is convenient to use is obtained in several special cases.

Keywords：ZZ distribution; reliability function; zero-failure data; Bayesian estimation; optimal lower confidence limit

0 引 言

在可靠性寿命试验中，大多数元件寿命服从4种常见的寿命分布，这4种分布分别是：指数分布、Weibull分布、对数正态分布和极值分布[1]。就这四种分布的各项可靠性统计推断已有相当多的研究成果。但存在某些存储产品，在厂家给出设计寿命之前几乎很少失效，过了设计寿命之后失效的比例大幅增加。文[2]已表明在某些特定的问题中，有些产品的寿命分布不属于这四种分布，同时给出一个较好刻画这类元件寿命的ZZ分布，并对这类元件的可靠性指标在截尾数据情况下进行了相关的统计分析。

在可靠性寿命实验中，研究人员为了节省人力、财力和物力，必须有效的控制试验的时间长度，因此，经常选用定时截尾寿命试验，对产品进行可靠性分析的研究[31]。当实验过程中产品的失效数大于零时，即此过程包含失效信息时，已有很多方法对所得数据进行相应的统计分析工作和研究[3]。随着社会的进步，科学技术的飞速发展，越来越多的产品具有相对较高的可靠性能，这样一来，试验成本日益高昂，小样本进行试验的精度已成为研究过程中主突破的问题。当进行的可靠性实验为定时结尾情况时，会遇到无失效数据（zero-failure data），即没有产品会在规定的时间内发生失效情况。近几年来，愈来愈多的学者将研究精力投放在无失效数据条件下产品可靠性指标的合理估计的方法和研究过程中。前辈们研究所得的大量理论成果为无失效数据问题下产品的可靠性研究奠定坚实的理论基础，并在实际生产生活中有重要的实用价值[4]。

目前，在国外最早研究无失效数据问题的文献可以追溯到Bartholomev[5]，在文中他首次提出了关于产品平均寿命的估计值的方法——用总的实验时间来是对产品的平均寿命进行估计，即一類产品在规定时间内发生失效的平均寿命估计，所得估计明显比实际值小一些，因此一直以来很少被后续研究者使用。Martz 和 Waller[6]两位作者针对单参数指数寿命型分布在无失效数据条件下相关参数以及可靠性指标的评估和验证问题中，提出使用Bayes方法[7]。此后的一大段时间里，学者们基于前者的研究成果，大多数分析、研究工作限于单参数指数分布在定数截尾条件下和有失效数据的定时截尾条件下进行，研究内容及结果见文[8-12]。近十几年来，很多学者也针对无失效数据下威布尔分布的可靠性评估问题进行研究，见文[13-20]。

相较国外对无失效数据问题的研究，国内相对晚一些，开始于20世纪80年代中期。目前常用的方法主要分为经典方法和Bayes方法[30]。经典方法主要包括以下几种：样本空间的排序方法[21]，极小χ2法[22]，修正似然函数法[23]和改进的CLASS-K方法[24]等。因为在无失效数据情况中并不含有失效信息，若使用常见的经典方法，所得结果往往会偏于保守。因此，对无失效数据条件下进行可靠性分析的过程中，经常使用Bayes方法，旨在有效利用产品或元件的各类先验信息，提高所要估计的参数的精度。文[25-26]中总结出无失效数据情况下利用Bayes方法进行分析问题的框架，此文献中所总结列出的框架对于确定产品在各个不同时刻的失效概率的先验分布情况是相对合理且客观地，并给出这些失效概率的Bayes估计是其关键步骤。

对无失效数据的研究，产品的先验信息大多情况下是以前人经验和主观信息为主，故研究中对于经验和主观信息的加工过程中，怎样减少主观因素的干扰成为近年来研究此类问题的重点[25-30]。文[27-28]提出可以利用多层先验的方法来降低人为因素对超参数的确定过程的影响，但这样的计算过程十分繁杂且不直观，使用起来也并不方便。因此，为更好地解决这类问题，文[29-30]提出可以充分利用产品寿命分布的母体的分布特征，即对先验信息的凹凸性进行加工。可进一步减少参数估计等研究对先验信息的依赖，但文献中仅较好地解决了指数分布和正态分布这两种寿命分布。文[29]得出在无失效数据情况下，不同时刻失效概率的先验分布应该是减函数，虽然文中分析过程客观，但对于具体的先验形式的选取和寿命分布参数的确定过程中需要提供确切的理论依据。关于无失效数据的可靠性推断，陈家鼎，孙万龙等对其置信限也进行了相关研究[23]。

此外，刘海涛、张志华两位作者基于前人研究的理论成果进一步在Weibull分布的场合下，对无失效数据情况进行统计分析，同时利用母体寿命分布凹凸性的性质处理先验信息，得出了产品可靠性指标的Bayes估计[31]，所获得的先验分布的形式与文[29]的要求是一致的。并进一步利用加权最小二乘法得到可靠性指标的相关估计，采用实例进行分析验证，表明这种方法得到的结果的稳健性较好[31]。

本文研究的主要是当出现无失效数据情况时，对ZZ-分布进行可靠性分析，充分利用该分布的分布函数的凹凸性得到产品各检测时刻可靠度之间的关系作为选取先验分布的指标，并给出可靠度函数的Bayes估计。进一步根据陈家鼎等人在文[21]中提出的无失效数据情况下最优置信限的求解方法，给出当寿命分布为ZZ-分布时，产品的可靠度的最优置信下限的研究结果。

1 无失效数据情况下ZZ-分布的可靠性分析

1.1 ZZ-分布定义

参 考 文 献：

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（编辑：王 萍）