基于双向渐进结构优化方法的连续体结构动刚度拓扑优化

江旭东 刘铮 滕晓艳

摘 要：以结构动柔顺度最小为目标，融合等效静载荷方法与双向渐进结构优化方法，提出了动载荷作用下连续体结构的动刚度拓扑优化方法。为了有效降低结构动力学拓扑优化问题的求解规模，通过等效静载荷方法将动态拓扑优化问题转变为静态拓扑优化问题，结合双向渐进结构优化方法实现结构的静力学拓扑优化。提出了一种设计域减缩方法降低连续体结构拓扑优化计算规模，构建了一种新颖的体积进化和优化收敛准则，显著提高了连续体结构的动刚度优化效率。数值算例结果表明，结构动柔顺度与约束体积均能渐进收敛于最优值，最优拓扑构形能够有效抑制动载荷作用下的结构振动，其优化算法具有一定的鲁棒性和适应性。提出的连续体结构动刚度拓扑优化方法拓展了基本渐进结构优化方法的应用范围，对于结构动力学优化设计具有重要的理论意义。

关键词：连续体结构;拓扑优化;动刚度;等效静载荷;双向渐进结构优化

DOI：10.15938/j.jhust.2020.05.019

中图分类号： TB535.1

文献标志码： A

文章编号： 1007-2683（2020）05-0136-07

Abstract：By minimizing structural dynamic compliance， the programming scheme of optimal stiffness for continuum structure under dynamic load is proposed， by combination of Equivalent Static Loads with Bidirectional Evolutionary Structural Optimization. To effectively decrease calculation scale for dynamic optimization in structural topology， the Equivalent Static Loads Method is applied to transforming dynamic optimization to static one that is solved by Bidirectional Evolutionary Structural Optimization in structural topology. To enhance the optimal efficiency of the original BESO method to optimization of dynamic stiffness in continuum structure， a design domain reduction method is developed to establish a new volume control and a stop criterion in this study. Numerical results show that the dynamic compliance is asymptotically convergent to optimal solution with volume constraint precisely satisfied， and optimal configuration can effectively inhibit the vibration induced by dynamic load. Whereby the presented optimization algorithm is verified to be robust and adapt. Consequently it is provided with theoretical significance to extend the original Evolutionary Structural Optimization Method to dynamic optimization in structural design.

Keywords：continuum structure; topological optimization; dynamic stiffness; equivalent static loads; bidirectional evolutionary structural optimization

0 引 言

从拓扑层面上优化结构的动态响应特性，抑制结构振动及其机械噪声的产生与传递，全面提高重大装备技术水平，长期以来都是机械工程、力学以及优化理论等多学科领域关注的基础性研究课题。近三十年来，形成了许多基于梯度或启发式的拓扑优化方法，主要有均匀化方法（homogenization）、优化准则法（optimality criteria，OC）和SIMP方法（solid isotropic material with penalization）等优化数值求解方法[1-2]。其中，双向渐进渐进结构优化（bidirectional evolutionary structural optimization，BESO）方法不仅能够在高效区域添加单元，而且能够在结构低效区域删除单元，从而在渐进优化准则作用下形成最优的拓扑构型[3]。

目前，BESO方法在结构动态特性和动态响应优化方面已经取得了初步的研究进展。王磊等[4]以机床部件固有频率为约束条件，提出了一种机床固定结合面形状的拓扑设计方法。贺红林等[5]以模态阻尼比最大化为优化目标，阻尼材料用量为约束，开展了粘弹阻尼抗振结构的低噪声设计研究工作。Liu等[6]构建了复合材料结构宏观-微观双尺度优化模型，研究了复合材料结构多尺度并行频率优化方法。Picelli等[7]考虑了结构-声的多场耦合作用，提出了声振耦合结构的频率优化方法。Vicente等[8]研究了流固耦合結构的频率响应优化问题。近些年来，尽管BESO方法正在尝试解决动态响应优化问题，但是动态优化的梯度计算代价太高，而且处理时域内的函数也相当复杂，直接开展动态响应优化设计往往由于计算规模大且很多时候难以收敛，而导致了其在工程应用中的不可行性[9]。

等效静载荷法最早由Choi和Park针对动态线性优化问题而提出，它通过结构在动、静态载荷作用下系统响应结果等效原理获得等效静态载荷，从而将结构动态响应优化问题转化为结构静态优化问题，为结构动态响应优化设计提供了有效的解决途径[10]。Park等[11]，Stolpe等[12]证明了等效静载荷法对于动态优化问题的最优解满足Karush-Kuhn-Tucker 必要条件。与传统的基于梯度的数值优化算法和启发式全局优化算法相比，等效载荷法极大的降低了动力学优化问题的求解难度，显著的提高了优化效率。目前，国内外研究学者已将等效静载荷法应用于多体动力学系统的结构优化设计问题[13-14]，张艳岗等[15-16]从载荷等效转化前后结构能量等效角度研究动态载荷等效静态转化问题，提出了一种基于关键时间点的能量等效静态载荷法。

综上，本文通过双向渐进结构优化方法，以结构动柔顺度最小化目标，构建连续体结构动刚度拓扑优化模型。将等效静载荷方法与双向渐进结构优化方法相融合，求解以动柔顺度最小化为目标的结构动刚度优化问题。通过数值算例，验证连续体结构动刚度拓扑优化方法的有效性。所提出的结构动力学优化方法将拓展双向渐进结构优化方法的理论范畴，同时为工程结构动态响应优化设计提供一种新的思路。

1 结构动刚度拓扑优化

为了降低动载荷作用下的结构振动和机械噪声的传播，以结构动柔顺度最小为目标，体积用量为约束条件，结合双向渐进结构优化方法，结构动刚度拓扑优化模型表示为：

式中：C（x）为结构在动载荷F（ti）作用下的动柔顺度;u（x，ti）为结构ti时刻的位移响应;m为F（ti）作用时间的均分数，x=[xi]N×1为结构优化设计变量;xi为第i个单元的相对密度;V、Vi分别为优化结构目标体积和单元体积。

由式（1），动刚度优化的灵敏度分析涉及动态响应的梯度信息，需要求解大規模的动力学微分方程。由此，为了降低动力学优化计算规模，通过等效静载荷法将将各离散时刻的动态载荷转化静态多工步载荷，从而将计算复杂的动态优化问题转化为的静态优化问题。如图1所示，等效静载荷法将结构动力学优化分为分析域和设计域：分析域求解结构动态位移场，基于位移场等效原理得到结构等效静载荷;设计域依据双向渐进结构优化准则更新结构设计域，同时将设计变量返回分析域实施动态响应分析。

4 结 论

为了有效抑制结构在动载荷作用下的机械振动，以结构动柔顺度最小为优化目标，基于等效静载荷方法和双向渐进结构优化方法，提出了连续体结构的动刚度拓扑优化方法。

1）融合等效静载荷方法和双向渐进结构优化方法，将结构动刚度优化问题转化为多工步载荷工况的线性静刚度优化问题，利用双向渐进结构优化方法实现了多工况线性静力学优化，其优化算法具有一定的鲁棒性和适应性。

2）提出了一种设计域减缩方法降低连续体结构拓扑优化计算规模，构建了一种新颖的体积进化和优化收敛准则，显著提高了连续体结构的动刚度优化效率。

综上，提出的连续体结构动刚度拓扑优化方法拓展了基本渐进结构优化方法的应用范围，对于结构动力学优化设计具有重要的理论意义。

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（编辑：王 萍）