概率统计热点题型探究

■江苏省洪泽中学 刘义才

热点一、如何应用频率分布直方图解题

落实频率分布直方图的性质是解答这类问题的关键。频率分布直方图有如下性质：

（1）图中每个小长方形的面积表示相应各组的频率，即小长方形的面积=组距×频率。

（2）在频率分布直方图中，各小长方形的面积的总和等于1。

（4）频率分布直方图中，各矩形的面积之比等于频率之比，各矩形的高度之比也等于频率之比。

图1

例 1在学校开展的综合实践活动中，某班进行了小制作评比，作品上交时间为5月1日至30日。评委会把同学们上交作品的件数按5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图（如图1所示）。已知从左到右各长方形的高的比为2:3:4:6:4:1，第三组的频数为12。请解答下列问题：

（1）本次活动共有多少件作品参加评比？

（2）哪组上交的作品数最多？有多少件？

（3）经过评比，第四组和第六组分别有10件、2件作品获奖，这两组哪组获奖率较高？

解析：（1）依题意知第三组的频率为。

（2）由频率分布直方图知第四组上交的作品数量最多。

点评：本题解答时可先由第三小组入手，利用各长方形高的比即面积比，得到各小组频率的比，从而解决问题。

热点二、古典概型与统计的综合

有关古典概型与统计结合的题型，已成为高考考查的热点，概率与统计结合题，无论是直接描述，还是利用概率分布表、分布直方图、茎叶图等给出信息，只要能够从题中提炼出需要的信息，则此类问题即可解决。

例 2某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1，2，3，4，5。现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表，如表1：

表1

（1）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a，b，c的值；

（2）在（1）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1，x2，x3，等级系数为5的2件日用品记为y1，y2，现从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率。

解析：（1）抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以等级系数为5的恰有2件，所以由频率分布表得a+0.2+0.45+b+c=1，所以a=0.35-b-c=0.1。

（2）从日用品x1，x2，x3，y1，y2中任取两件，所有可能情况为{x1，x2}，{x1，x3}，{x1，y1}，{x1，y2}，{x2，x3}，{x2，y1}，{x2，y2}，{x3，y1}，{x3，y2}，{y1，y2}，共10个基本事件。设事件A表示“从日用品x1，x2，x3，y1，y2中任取两件，其等级系数相等”，则A包含{x1，x2}，{x1，x3}，{x2，x3}，{y1，y2}，共4个基本事件。故所求的概率。

点评：该题考查概率与统计的知识，数学应用意识，考查函数与方程思想、分类与整合思想、必然与或然思想。

热点三、条件概率

如果事件A发生与否，会影响到事件B的发生，显然知道了事件A的发生，研究事件B时，基本事件空间发生变化，从而事件B发生的概率也相应地发生变化，这就是条件概率要研究的问题。求条件概率时一般应用公式求解，其推导如下：

在事件A发生的情况下事件B发生，等价于事件A和事件B同时发生，即AB发生。对于古典概型，由于组成事件A的各个基本事件发生的概率相等，因此其条件概率为。

例 3设10件产品中有4件不合格，从中任意取出2件，那么在所取得的产品中发现有一件不合格品，求另一件也是不合格品的概率。

解法一：设事件A为“在所取得的产品中发现有一件不合格品”，事件B为“另一件产品也是不合格品”，则。

解法二：直接利用公式进行计算。在所取得的产品中发现有一件不合格品的取法有（种），两件产品均为不合格品的取法有m=（种），所以。

点评：由题设条件可获取以下主要信息：①已知产品的数量及不合格品的件数。②任取2件产品中有一件为不合格品。解答本题可先设出两个事件分别为A，B，再求概率P（B|A）。

热点四、利用二项分布求概率

解此类题首先判断随机变量是否服从二项分布。一般地，如果n个相互独立的试验具备相同的条件，在这相同的条件下只有两个结果且P（A）相同，那么即可建立二项分布的概率模型。其次，计算P（X=最后，根据每次试验都是相互独立的，求出P（X≥k）的概率。

例 4有10台都为7.5kW的机床，如果每台机床的使用情况是相互独立的，且每台机床平均每小时开动12min，问：全部机床用电超过48kW的可能性有多大？（结果保留两位有效数字）

解析：由于每台机床正常工作的概率为=0.2，而且每台机床有“工作”与“不工作”两种情况，故某一时刻正常工作的机床台数服从二项分布。设X为某一时刻正常工作的机床的台数，则0.2k·0.810-k（k=0，1，2，…，10），根据题意，48kW可供6台机床同时工作，用电超过48kW，即意味着有7台或7台以上的机床在工作，这一事件的概率为P（X≥7）=P（X=7）+P（X=8）+P（X=9）+P（X=10）=。

点评：解答本题的关键是明确某一时刻正常工作的机床台数X服从二项分布，即X～B（10，0.2）。