土钉加固小窑采空区稳定性评价的随机抽样法

李涛 刘泓霖 张波

摘 要：为了评价土钉加固的小窑采空区的稳定性，探讨了基于土钉加固的太沙基土拱理论的随机抽样法。统计小窑采空区稳定性因素的参数和概率分布，循环生成各因素的随机数并应用土钉加固的太沙基土拱理论判断稳定性，最后用失效频率估计失效概率。结果显示，基于土钉加固的太沙基土拱理论的随机抽样法计算得到的失效概率和随机有限元法仿真得到的失效概率差别不大。小窑采空区的目标失效概率与上部结构的安全等级和地基的破坏类型有关。通过随机抽样法获得的斜土钉加固小窑采空区的稳定性评价结果，比强度折减法更有说服力。

关键词：小窑采空区;斜土钉加固法;太沙基土拱理论;随机抽样法;随机有限元法

中图分类号：U45+.2 文献标识码：A 文章编号： 1671-2064（2020）12-0165-04

0引言

小窑采空区范围窄，开采浅，以巷道和支巷道采掘为主，呈网格状或无规律分布，单层或多层重叠交错，大多不支撑或临时简单支撑，其地表易产生较大的裂缝、台阶和陷坑，严重威胁上部已建或拟建的建构筑物的安全[1]。

为保证小窑采空区上部结构的安全，提出斜土钉加固法[2]。该方法是在小窑采空区上覆岩土钻斜孔，然后在孔内布置土钉杆体，并沿孔全长注浆。该方法利用土钉的刚度和强度加固上覆岩土[3]，能够解决小窑采空区地质灾害问题，保证上部结构的稳定，不侵占矿产资源，且能保证采矿人员和财产的安全。

采空区的稳定性评价方法主要包括预计法[4-9]、解析法[2，10]、半预计半解析法[11]及数值仿真法[2，12-15]。对于斜土钉加固的小窑采空区，采用了解析法和数值仿真法，具体为基于土钉加固的太沙基土拱理论和有限元法的强度折减法[2]。该文献假设小窑采空区岩土的参数协调折减。然而实际工程岩土的参数特征并非协调折减，而是服从各自的概率分布[16]。而且，强度折减法未考虑巷道位置、上部荷载、上部安全等级、土钉强度等因素的变化。因此仅仅通过强度折减法获得的小窑采空区的稳定安全系数并不能客观、全面评价小窑采空区的稳定性。

因为实际工程的各参数服从各自的概率分布，所以可采用可靠度評价实际工程的稳定性。采空区的可靠度分析方法主要包括一次二阶矩法[17]、响应面法[18]、随机抽样法（Monte Carlo法）[19-20]，也可采用随机有限元法[21]。目前未出现针对斜土钉加固的小窑采空区的随机抽样法和随机有限元法的应用。

为了进一步客观、全面评价斜土钉加固的小窑采空区的稳定性，本文将在解析法和有限元法的基础上应用随机抽样法，即土钉加固的太沙基土拱理论的随机抽样法和随机有限元法。

1 斜土钉加固法[2]

如图1所示，按照原始太沙基土拱理论[22-23]，浅埋巷道的侧壁岩土存在从巷道底面开始的倾斜破裂面DE和JK。DE和JK到达巷道顶部高度后变为竖直破裂面EF和KL直达地面。当巷道完全不加支撑时，DE和JK与水平面的夹角为岩土的平均等效内摩擦角（）[24-25]，即

采用斜土钉加固浅埋巷道的上覆岩土，防止破裂面DEF和破裂面JKL内侧的岩土失稳。斜土钉为直线形状，其垂直位置为从地面的高度到浅埋巷道顶面的高度。斜土钉必然穿过DEF或JKL两者之一，地面作用有荷载P0。

2 土钉加固的太沙基土拱理论[2]

假设小窑采空区的形状和外力沿巷道竖直中轴线左右对称。将巷道简化为矩形。将破裂面DEF内侧的岩土从地面到巷道顶部分成若干层，巷道侧壁为滑块DEA，如图2所示。假设各层岩土之间的等效内摩擦角不同，但每层内部各点的相等。

考察其中任意一层岩土j。在第j层岩土内部取出一厚度为dHj的水平条带单元体，如图3所示。

其中：k0为静止土压力系数;为第j层岩土顶面的竖向应力;为D点和E点（或J点和K点）深度的平均等效内摩擦角;为第j层岩土的等效内摩擦角[24-25];Hj为第j层岩土的厚度;b为水平条带单元体;bt为巷道宽度;Ht为巷道高度;为第j层岩土的等效内摩擦角[24-25];为第j层岩土在垂直破裂面处的抗剪强度;为第j层岩土作用在垂直破裂面上的法向压力。

式中：n为穿过破裂面且锚固在破裂面两端岩土的土钉的数量;为土钉钉体的应力强度;Ai为第i根土钉钉体的横截面面积;为第i根土钉与水平面的夹角;H为所有分层岩土的总厚度。

其中：WDEA为滑块DEA的自重;FnAE为上覆岩土作用于AE面上的力，方向垂直于AE面法线方向且向下，当FnAE<0时取FnAE=0;m是指紧贴巷道顶面的那一层岩土。当式（9）等号右边大于1时，滑块DEA稳定;等号右边小于1时，滑块DEA失稳;当式（9）等号成立时，滑块DEA处于极限平衡式状态。当滑块DEA失稳时，滑块EFLK也难以保持平衡，可认为小窑采空区整体失稳。

3 基于土钉加固的太沙基土拱理论的随机抽样法

3.1 基于土钉加固的太沙基土拱理论的随机抽样法步骤

本文在评价小窑采空区稳定性时，采用了随机抽样法，执行如下步骤：

（1）通过室内试验、资料搜集、现场调查和数理统计，获得小窑采空区稳定性因素的统计参数和概率分布，包括巷道位置与尺寸、上部荷载、岩土参数、土钉参数等因素。

（2）每次抽样按照各因素的统计参数和概率分布类型生成相应的随机数。当生成的随机数小于0时，取随机数为0。

（3）以作为边界条件，以作为递推条件，依次循环计算式（1）、（3）、（6）、（5）、（8）（或（7））、（4）、（2），直到最后一层岩土，结束循环。

（4）计算式（10）、（9），并判断滑块DEA是否失稳。

（8）当小于目标失效概率[Pf]时评价小窑采空区稳定;当大于[Pf]时评价小窑采空区不稳定。

3.2 目标失效概率

根据《工程结构可靠性设计统一标准GB 50153-2008》对房屋建筑结构构件的可靠指标的规定，结合标准正态分布的定义[26]，本文给出小窑采空区的目标失效概率，如表1所示。

无地基处理的小窑采空区的破坏无预兆，因此地基破坏类型为脆性破坏。土钉属于柔性材料，能够提高地基土的柔韧性[3]，因此有土钉加固的小窑采空区的破坏类型可判别为延性破坏。

4 小窑采空区可靠度分析的随机有限元法

小窑采空区可靠度分析的随机有限元法与常规的随机有限元法[21]无太大差异，是有限元法[27]与随机抽样法[20]的结合。

5 算例

算例包括基于土钉加固的太沙基土拱理论的随机抽样法分析小窑采空区可靠度和随机有限元法分析小窑采空区可靠度。

5.1 基于解析法的随机抽样法分析小窑采空区可靠度

某小窑采空区[2]稳定性的因素的统计参数和概率分布类型见表2、表3。抽样时，按照表中的统计参数和概率分布类型生成相应因素的随机数。其中的nd为穿过破裂面且锚固在破裂面两端岩土的土钉的设计数量。ns指穿过破裂面且锚固在破裂面两端岩土的土钉的施工次品数量。生成随机数法方法详见有关抽样技术的文献[28]。

每次抽样的粘聚力C按照式（13）计算[2]。式（13）为某小窑采空区的土在结构性发生变化时与C所呈现出的函数关系，该式由室内试验测得的与C拟合得到，当C<0时，取C=0。

将表2、表3的参数以及式（13）应用到4.1节基于土钉加固的太沙基土拱理论的随机抽样法步骤中去，评价小窑采空区的稳定性。

评价结果：对于无地基处理情况，地基脆性破坏，太沙基破裂面内侧岩土的失效频率为0.007111，高于安全等级为一级、二级和三级的上部结构的目标失效概率[pf]，因此对于一级、二级和三级的上部结构来说小窑采空区不稳定。对于有土钉加固情况，地基延性破坏，为0.000569，高于安全等级为一级的上部结构的[pf]，因此对于一级的上部结构来说小窑采空区不稳定;但低于安全等级为二级、三级的上部结构的[pf]，因此对于二級、三级的上部结构来说小窑采空区稳定。

5.2 随机有限元法分析小窑采空区可靠度

有限元建模与求解方法与文献[2]相同。采用随机有限元法[21]分析小窑采空区的稳定性。分析过程中，按照表2和表3的统计参数和概率分布类型以及式（13）生成每次抽样的相应因素的随机数。以位移—荷载曲线发生突变作为有限元极限状态的判据。按照式（11）计算每次抽样的指示函数IF。循环抽样并分析，直到达到总的抽样次数Nn。按照式（12）计算太沙基破裂面内侧岩土的失效频率。

评价结果：对于无地基处理情况，为0.007038;对于有土钉加固情况，为0.000673。随机有限元法仿真得到的失效概率和基于土钉加固的太沙基土拱理论的随机抽样法计算得到的失效概率差别不大。

6讨论

根据随机抽样法原理[20]，当Nn趋于无穷大时，趋近于Pf。Nn越大，的计算结果越稳定。要达到一定的精度， Nn必须取得足够大。本文建议，对于安全等级为一级的上部结构，Nn不小于235416;对于安全等级为二级的上部结构，Nn不小于41945;对于安全等级为三级的上部结构，Nn不小于9596。

有土钉加固的小窑采空区比无地基处理的小窑采空区的稳定安全系数高[2];有土钉加固的小窑采空区比无地基处理的小窑采空区的可靠度高。因此随机抽样法和强度折减法[2]评价小窑采空区稳定性的结果具有一致性。

强度折减法[2]假设工程的材料强度参数折减;随机抽样法通过室内试验、资料搜集、现场调查和数理统计获得实际工程稳定性因素的统计参数和概率分布。而且，强度折减法[2]未考虑上部结构的安全等级和地基的破坏类型;随机抽样法的目标失效概率受上部结构的安全等级和地基的破坏类型的影响。综上所述，随机抽样法是立足于客观现象的方法，考虑的因素更全面，因此通过随机抽样法获得的斜土钉加固小窑采空区的稳定性评价结果，比强度折减法更有说服力。

7 结论

本文在解析法和有限元法的基础上应用随机抽样法，即土钉加固的太沙基土拱理论的随机抽样法和随机有限元法，评价了斜土钉加固的小窑采空区的稳定性。由此得出以下结论：

（1）小窑采空区的目标失效概率与上部结构的安全等级和地基的破坏类型有关。

（2）基于土钉加固的太沙基土拱理论的随机抽样法计算得到的失效概率和随机有限元法仿真得到的失效概率差别不大。

（3）通过随机抽样法获得的斜土钉加固小窑采空区的稳定性评价结果，比强度折减法更有说服力。

参考文献

[1] 赵忠海.地球物理探测技术在北京门头沟小窑采空区勘查中的应用[J].中国地质灾害与防治学报，2010，21（1）：60-64.

[2] 马少坤，李涛，邵羽.小窑采空区浅埋巷道上覆岩土土钉加固分析[J].广西大学学报（自然科学版），2018，43（4）：1455-1465.

[3] 龚晓南.土钉和复合土钉支护若干问题[J].土木工程学报，2003，36（10）：80-83.

[4] 郁文峰，陈元非，孟彦杰，等.邻近采空区影响的地表沉陷概率积分参数反演[J].煤矿安全，2019，5（5）：231-234+238.

[5] 乔元锋.运用典型曲线法做好凉水井煤矿沉陷参数计算[J].内蒙古煤炭经济，2016，1（16）：144-145+153.

[6] 王正帅，邓喀中.老采空区残余沉降的离散灰色预测模型[J].煤炭学报，2010，35（7）：1084-1088.

[7] 郝刚，于启升.稳健统计方法在老采空区沉降数据处理中的应用[J].现代矿业，2010，26（2）：76-78.

[8] 戴华阳.地表移动预计的新设想——采空区矢量法[J].矿山测量，1995，1（4）：30-33+24.

[9] 孙宇超，赵周能，陈星明，等.基于AHP和模糊数学方法的采空区稳定性评价[J].有色金属（矿山部分），2019，71（5）：35-40.

[10] 高晓辉，彭建兵，杨天亮，等.西合高速公路采空区稳定性评价及其治理方案[J].地球与环境，2005，33（3）：139-141.

[11] 冯远建，李子龙.矿山采空区稳定性分析及安全治理方法研究[J].煤炭与化工，2014，37（6）：28-30.

[12] 妙美兰，寥英泰，邹泽举.基于弹性非线性理论的采空区有限元数值模拟分析[J].西部探矿工程，2005，17（11）：104-106.

[13] 杨素春.潭山铅锌矿地下采空区断层切割的边坡稳定性边界元法分析[D].上海：同济大学，1990.

[14] 王秀格，乔兰，孙歆硕.地下采空区上输电塔基稳定性的数值模拟[J].金属矿山，2008，1（3）：110-113+143.

[15] 李一帆，李作良，王慧萍.城市固体废弃物充填采空区的离散元分析[J].矿业安全与环保，2009，36（5）：12-14+17.

[16] 郑轶轶，朱剑锋，刘干斌，等.宁波软土物理力学参数概率分布及相关性研究[J].中国科技论文，2013，8（5）：367-373.

[17] 张耀平.矿山空区诱发的岩移特征及覆盖层冒落效应研究[D].长沙：中南大学，2010.

[18] 徐晨浩，张卫东.基于新型响应面法的煤矿采空区坡沿隆起风险分析[J].武汉理工大学学报，2017，1（12）：56-61.

[19] 程涌，刘建龙，杨八九.蒙特卡洛法在采空区稳定性分析中的应用研究[J].铜业工程，2017，1（2）：27-30.

[20] 张建中.蒙特卡洛方法（Ⅰ）[J].数学的实践与认识，1974，1（1）：28-40.

[21] 王建军，于长波，李其汉.工程中的随机有限元方法[J].应用力学学报，2009，26（2）：297-303.

[22] Terzaghi K..Rock Defects and Loads on Tunnel Support[M].Massachusetts：Harvard Univ，1946.

[23] Son M..Three-Dimensional Expansion of the Terzaghi Arching Formula Considering Inclined Sliding Surfaces and Examination of Its Effects[J].International Journal of Geomechanics，2017，17（7）：06016043.

[24] 周旋.等效內摩擦角计算方法及其应用[J].水运工程，2016，41（7）：22-25.

[25] Protodyakonov M. M..Methods of Studying the Strength of Rocks[C].Mining Research，Missouri：Pergamon Press，1962：649-668.

[26] 梁昌洪，李龙，史小卫.标准正态分布的简洁闭式[J].西安电子科技大学学报（自然科学版），2003，30（3）：289-292.

[27] 王勖成.有限单元法[M].北京：清华大学出版社，2003.

[28] 沈华韵，张鹏，王侃.改进线性同余法随机数发生器[J].清华大学学报（自然科学版），2009，49（2）：191-193.