两数列公共项问题求解的一种通法

杨育球

(湖南省岳阳县第一中学，414100)

由两数列的公共项构成的新数列问题令许多学生感到困惑.本文以一道高考试题为例介绍求解这类问题一种通法,供参考.

例1(2020年全国高考题)将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}的前n项和为______.

分析从两数列中选取项增加“较快”的数列,假如该数列的第n项是两个数列的公共项,然后逐一递推验证该数列的第n+1项，第n+2项，…是否为两个数列的公共项,进一步从中找到规律,得到两个数列的公共项从小到大排列的数列{an}通项公式.

解记bn=2n-1,cn=3n-2.再设bm=cn,即2m-1=3n-2,m,n∈N*.

又cn+2=3(n+2)-2=(3n-2)+6=2m-1+6=2(m+3)-1,而m+3∈N*,可知cn+2∈{bm}=cn,则ak+1=bm+3=cn+2.

上述解法是依次递推寻找公共项的,我们不妨称之为“递推找项法”.运用“递推找项法”求两个数列{bn},{cn}的公共项所构成的新数列{an}通项的一般步骤:

(1)设bm=cn=ak,从中得到项数m,n的等式关系;

(2)在项增加“较快”的数列(如{cn})中依次验证某个相同项(如cn+1,cn+2,…),并将其项的表达式与另一个数列({bn})的通项公式相比较,断定后面的递推项是否是另一个数列({bn})的项,从而发现项ak后续相邻的项an+1；

(3)发现ak+1,ak之间的递推关系，得出数列{an}的通项公式.

上述高考题求解的是两个等差数列的公共项构成的新数列问题,其实,对于两个等比数列的公共项问题,一个等差数列与一个等比数列的公共项问题,运用“递推找项法”同样可以解决.请见以下两个例题.

例2数列{bn}与{cn}的通项公式分别为bn=4n,cn=8n,它们的公共项由小到大排列得到数列{an},求数列{an}的通项公式.

分析数列{cn}的增加“较快”，所以依据数列{cn}递推找公共项.

解设bm=cn,即4m=8n,则2m=3n,m,n∈N*.

又cn+2=8n+2=82·8n=43·4m=4m+3,由m+3∈N*,可知cn+2∈{bm},即cn+2是两个数列的公共项.

因此，若ak=bm=cn,则ak+1=bm+3=cn+2.

例3数列{bn}与{cn}的通项公式分别为bn=2n,cn=3n-16,它们的公共项由小到大排列得到新数列{an}，求数列{an}的通项公式.

解数列{bn}的增加“较快”，所以依据数列{bn}递推找公共项.

设bm=cn,即2m=3n-16,m,n∈N*.

又bm+2=2m+2=22·2m=4(3n-16)=3(4n-16)-16,由4n-16∈N*,可知bm+2∈{cn},bm+2是两个数列的公共项.

因此，若ak=bm=cn,则ak+1=bm+2=c4n-16.

综上可知,“递推找项法”是一种从整体上从一个数列中寻找公共项的解题方法,这种方法自然,通俗易懂,可操作性强,适用范围广泛,易于同学们理解和接受,是一种求两个数列{bn},{cn}的公共项所构成的新数列{an}的一种“通法”.