着力问题解决 优化思维品质——以函数零点存在问题的区间端点值探寻为例

张国良 陈丽琴

(江苏省武进高级中学, 213161) (江苏省前黄高级中学, 213161)

思维品质反映了每个个体智力或思维水平的差异,主要包括广阔性、深刻性、灵活性、独创性、批判性、敏捷性等方面．纽威尔和西蒙认为,问题是一种情境,问题解决就是由一定情境引起的,按照一定的目标,应用各种认知活动、技能等,经过一系列思维操作,消除目前状态与所想达成目标状态之间差异的过程．问题解决是培养学生思维品质的重要载体,良好的思维品质是问题解决的切实保障．

零点问题是函数的一个重点内容,中学阶段的解题途径一般是通过零点存在定理来证明零点的存在性,是高考的热点、难点问题．基于问题解决的视角,需找到恰当的函数零点所在某个区间,进而规范严谨地表达出来,获得零点的存在性．因此,零点所在区间端点值的探寻和结论的演绎推理过程是培养学生的思维品质的良好载体．下面通过两个具体的案例加以分析．

案例1已知函数f(x)=lnx-ax+a,其中a∈R.若f(x)恰有2个零点,求实数a的取值范围.

1.问题求解

若a≤0,则f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)单调增,f(x)在(0,+∞)至多有1个零点,不合题意.

综上,实数a∈(0,1)∪(1,+∞).

2.思维解密

当a>0时,f(x)的一个零点可从特殊值x=1获得,寻找另一个零点成为解题的关键.

转化思维模式,对f(x)进行放缩,由x>0,得ax>0,从而f(x)=lnx-ax+a

案例2已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x,a∈R.

(1)试讨论f(x)的单调性;

(2)若f(x)有2个零点,求a的取值范围.

1.问题求解

(1)f′(x)=(2ex+1)(aex-1).

当a≤0时,f′(x)<0,f(x)在(-∞,+∞)单调减;当a>0时,由f′(x)=0,得x=-lna.易见f(x)在(-∞,-lna)单调减,在(-lna,+∞)单调增.

当a=1时,由f(x)min=f(-lna)=0,得f(x)只有1个零点,不合题意.

综上,当0

2.思维解密

引导学生从多方面考虑,可以促进学生思维的广阔性.我们对f(x)进行放缩变形,考虑到f(x)的表达式中有e2x与ex,联想到常见不等关系ex≥x+1(当且仅当x=0时取到等号),即x≤ex-1,可得f(x)≥ae2x+(a-2)ex-(ex-1)=ae2x+(a-3)ex+1.

数学问题解决过程反映了学生数学素养的状况,其思维品质不是与生俱来的,个体存在差异,需要在学科教学中予以培养.问题解决的过程不仅是学生获取新知识的过程,更是学生通过新的证据检验和完善已有知识或理论,提升学生思维品质的过程.因此,教师要在问题解决的过程中,充分调动学生学习的积极性,善于启发、引导、点拨、解疑,使学生主动参与到探索知识的形成过程中去. 数学教学的根本任务不仅在于向学生传授知识,更重要的是要优化学生的思维品质,全面提升学生的数学核心素养.