基于近似Davenport风速谱的建筑结构动力响应的新封闭解法

李暾 张梦丹 姜琰 葛新广

摘  要：杨庆山风速谱是Davenport风速谱的近似，可简化结构风振响应的分析.传统方法所得结构响应的表达式比较复杂，为此，提出了一种简明封闭解法.首先，研究了考虑空间相关性的杨庆山风速谱的建筑结构脉动风压的功率谱密度函数改进表达式;其次，基于1阶微分方程的虚拟激励法获得了建筑结构风振响应（结构层绝对位移及其振动速度、层间位移及其变化率）的功率谱密度函数的统一简明封闭解;最后，研究了结构层绝对位移和层间位移响应的0—2阶及4阶的谱矩的简明封闭解.以10层建筑结构为例，利用该方法和传统虚拟激励法进行对比分析，结果表明：该方法为杨庆山风速谱激励下结构风振响应的精确解法，且可用于判断传统虚拟激励法分析的精度.

关键词：杨庆山风速谱;1阶微分方程虚拟激励法;谱矩;简明封闭解

中图分类号：TU311.3        DOI：10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2020.04.001

0    引言

近年来随着中国城市化的快速发展，人口大量涌入城市，高层住宅成为城市解决市民居住的主要途径.高层建筑向着高强轻质的方向发展，因此，建筑结构相对较柔，对风荷载的作用比较敏感.风对建筑的作用由平均风压引起的侧移和脉动风压引起的振动组成，其中，脉动风压所引起的振动对于高层建筑的居住舒适度影响较大[1-3].Davenport[4]首次提出了著名的Davenport风速谱，其已成为各国建筑规范风荷载取值的基础，但其表达式比较复杂，工程应用时无法获得解析解或者解析解比较复杂[1].为此，工程界出现了基于Davenport风速谱的改进风速谱[1，5].杨庆山等[5]利用滤波方程提出了近似的风速谱，并应用于悬索桥的风振分析，但所得结构响应的表达式比较复杂.李暾等[6]利用复模态方法研究了TLD耗能减振结构风振响应的解析解，但所得表达式比较复杂，且没有获得结构响应的1阶谱矩，故对于结构响应为窄带的随机过程无法进行高精度的结构的动力可靠度分析[1，7-9].

结构的随机风振响应分析主要有时域法和频域法[10-11]，两种方法各有特色.时域法应用的前提是随机激励具有协方差函数，利用该方法可直接获得结构响应的方差，而Davenport风速谱没有协方差函数，故时域法在基于Davenport风速谱下的振动分析时需要复杂的等效变化[6，12]，且所得结构响应表达式比较复杂，但无法获得结构响应的1阶谱矩，故无法进行基于窄带系统的可靠度分析.频域法中，结构风振响应的功率谱密度函数与风振激励的功率谱有着直接的代数关系，因此，具有物理意义明确、表达式简洁的特点.虚拟激励法[11，13-14]和随机振动矩阵直接谱分析法[15]是频域法的典型代表，特别是虚拟激励法有着广泛的工程应用[16].然而，无论哪种频域法在求解结构方差和谱矩均需要数值积分，故存在计算效率慢和精度不高的问题.

本文针对基于杨庆山风速谱下结构风振响应分析解析解表达式复杂或者需要数值积分的问题，提出一种分析结构风振响应0—2阶谱矩及4阶谱矩的简明封闭解法.首先，给出杨庆山风速谱的二次正交等效表达式及考虑竖向空间相关性的脉动风压功率谱密度函数的简明表达式;其次，利用复模态方法获得结构风振响应（结构层绝对位移及其振动速度、层间位移及其变化率）的二次正交功率谱密度函数的简明表达式;最后，基于谱矩的定义，获得了结构风振响应的0阶、1阶、2阶及4阶的谱矩的简明封闭解.

4    算例

某海边地带（A类地区）有1座10层的高层钢结构建筑，地面粗糙度系数为Kr=0.001 29.其中第1层至第3层的层间质量为[m1～m3=380×103 kg]，层间刚度为[k1～k3=330×106 N/m]，迎风面积均为150 m2; 第4层至第10层的层间质量为[m4～m10=320×103 kg]，层间刚度为[k4～k10=280×106 N/m]，迎风面积均为105 m2，各层高度均为3.3 m.结构的阻尼比[ξ]1=0.05，脉动风速为[v0]=33.5 m/s，对应杨庆山风速谱参数：  [α1]=0.381 5，[β1]=0.015 8，[γ1]=0.833 0.

4.1   風谱的对比分析

为验证本文所给杨庆山风速谱表达式的正确性，图1给出与杨庆山风速谱原表达式的对比分析.从  图 1中可知两者完全吻合，说明本文所给杨庆山风速谱的等效表达式是正确的.

4.2   结构响应功率谱对比分析

为验证本文所提结构响应功率谱的正确性，与虚拟激励法的功率谱进行比较如图2—图4所示.         从图2—图4中可以看出本文方法和虚拟激励法的位移功率谱和层间功率谱完全重合.然而本文方法所得到的功率谱为系统特征线性组合，更为简洁，故便于工程应用.

4.3   谱矩的对比分析

为验证本文方法计算结构风振响应谱矩解析解的正确性，与传统虚拟激励法进行对比.传统虚拟激励法需采用数值积分在[0，∞）区间进行求解，是无法实现的.结构响应的功率谱密度函数的峰值与结构的自振频率有关，对于建筑结构而言，结构的周期小于0.01 s～3 s，对应的圆频率为628 rad/s～1 rad/s，而风速谱的频率范围是[0，∞），故本文分析时为了精度更高，传统虚拟激励法采用[0，10 000]，远远超过结构的卓越频率.根据功率谱函数随着频率的增大，功率谱值越来越小的特点，因此，取积分区间为[0，10 000）.由于数值积分精度与积分步长密切相关，为此本算例中取3种积分步长：1）频率积分间距为1.00 rad/s;2）频率积分间距为0.50 rad/s;3）频率积分间距为0.05 rad/s.谱矩对比如图5—图12所示.

从图5—图12可知，传统虚拟激励法的积分步长对计算精度影响较大，积分步长选择不当，结果可能偏大也可能偏小，这一特点从功率谱密度函数的凸凹型可以理解.积分步长越小，计算的谱矩与本文方法越接近，故本文方法是正确的.从CPU耗时来看，传统虚拟激励法的计算时间随着积分区间的减小而增加，1）耗时4.161 9 s;2）耗时6.306 0 s;3）耗时66.400 0 s.本文方法耗时0.099 9 s.本文方法和传统虚拟激励法耗时相比，1）比值1/41;2）比值1/63;3）比值1/664.故本文的计算效率最高.

5    结论

本文对基于杨庆山风速谱的结构风振响应谱矩的简明封闭解进行了研究，获得如下结论：

1）结构的振动方程可通过复模态方法解耦为1阶微分方程组，利用虚拟激励法可将结构响应的功率谱

简化为关于频率变量的二次型，为谱矩的封闭解析解奠定基础.因此，本文方法本质上是一种改进虚拟激励法.

2）传统虚拟激励法计算结构风振响应谱矩，计算效率和计算精度受积分步长影响较大，而本文方法谱矩为解析解.对于多自由度结构来说，无论是传统的虚拟激励法还是本文方法都需要对结构的振动方程进行解耦，都需要获得结构的振动特征值.故本文方法可用来验证传统虚拟激励法的分析精度.

3）本文方法获得了结构风振位移和层间相对位移的0阶、1阶、2阶的封闭解析解，为基于更精确的Markov理论可靠度分析奠定基础;获得了结构风振位移的4阶谱矩，为基于风振舒适度[18-20]控制研究奠定基础.

参考文献

[1]     李桂青. 结构动力可靠性理论及其应用[M].北京：地震出版社， 1993.

[2]     张相庭. 工程结构风荷载理论和抗风计算手册[M].上海：同济大学出版社，1990.

[3]     中华人民共和国住房和城乡建设部. 建筑结构荷载规范：GB50009—2012[S].北京：中国建筑工业出版社，2016.

[4]     Davenport A G.The relationship of wind structure to wind loading[C]//Proceedings of the Symposium on Wind Effect on Building and Structures.London，1965.

[5]     杨庆山，沈世钊. 悬索结构随机风振反应分析[J]. 建筑结构学报，1998 （4）：3-5.

[6]     李暾，李创第，章本照. 带TLD结构随机风振响应的解析解[J]. 哈尔滨工业大学学报，2003 （4）： 437-440，446.

[7]     Vanmarcke E H. Properties of spectral moments with applications to random vibration[J]. Journal of the Engineering Mechanics Division，1972，98（2）：425-446.

[8]     CRANDALL S H. First-crossing probabilities of the linear oscillator[J]. Journal of Sound & Vibration，1970，12（3）： 285-299.

[9]     刘强，王妙芳. 基于首次超越破坏时间概率的结构动力可靠性分析[J].应用力学报，2019，36（2）：480-484，517.

[10]   方同. 工程随机振动[M]. 北京：国防工业出版社，1995.

[11]   林家浩. 随机振动的虚拟激励法[M]. 北京：科学出版社，2004.

[12]   李创第，葛新广，朱倍权. 带五种被动减振器的高层建筑基于Davenport谱随机风振响应的解析解法[J]. 工程力学，2009，26（4）：144-152.

[13]   李创第，昌明静，柏大炼，等. 六參数粘弹性阻尼耗能减震系统非平稳地震响应分析的精细积分法[J]. 广西科技大学学报，2019，30（4）：15-22，41.

[14]   李创第，王博文，昌明静. 设置支撑的Maxwell阻尼耗能结构非平稳地震响应分析[J]. 广西科技大学学报， 2020， 31（1）：50-58.

[15]   郑兆昌. 随机振动矩阵直接谱分析法[C]//第九届全国振动理论及应用学术会议论文集，2007，355-374.

[16]   林家浩，张亚辉，赵岩. 虚拟激励法在国内外工程界的应用回顾与展望[J]. 应用数学和力学，2017， 38（1）：1-32.

[17]   邹万杰，邬丽霞，李创第，等. 基于Kanai-Tajimi谱的单自由度广义Maxwell耗能结构响应及谱矩解法[J].广西科技大学学报，2020，31（2）：17-24.

[18]   龚敏锋，王轶翔，艾辉军，等. 苏州文博中心飘带结构TMD减振舒适度分析[J].建筑结构，2019，49（1）：49-53.

[19]   赵昕，马浩佳，丁鲲. 超高结构黏滞阻尼系统风振减振优化设计方法[J].振动工程学报，2018，31（1）：12-19.

[20]   鲁正，何向东，吕西林. 消能减震伸臂桁架在超高层结构中的风振控制研究[J].结构工程师，2017，33（2）：34-40.