图像表征在小学数学问题解决中的思考与实践

王城城

摘要：图象表征可以让复杂的数学问题变得具体、形象，促进学生理解数学知识的本质，培养学生问题解决的能力。但在实际教学中，学生问题解决能力普遍薄弱，结合多年的教学实践和经验，笔者意图通过具体的教学案例，谈谈图象表征在小学数学问题解决中的一点体会。

关键词：图象表征;问题解决;思考实践

“问题解决”既是数学教学的重点，也是教学中的难点。培养学生的问题解决能力是发展学生数学思维的有效途径。《义务教育数学课程标准（2011版）》明确指出：“要使学生初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力”。然而，事与愿违，虽然在实际教学中教师教得很辛苦，学生学得也很认真，但错误率仍旧居高不下，问题解决能力成为学生数学成绩差异的重要因素。通过调查，笔者发现，大部分学生很少有意识、自觉地进行表征，也有的甚至不会进行表征，严重阻碍了学生问题解决能力的提高。作为数学老师，如何在课堂上引导学生有意识、主动地进行表征呢。笔者做了以下尝试：

一、学会再现——图像表征

首先，让学生感悟到图像表征的优势，进而提高学生用图表征的兴趣。这也是全国各个版本教材中普遍采用可视化插图进行表征的原因，有助于教师在分析、解决问题时，引导学生经历信息收集、问题提出的过程。鼓励学生从图中搜索有效的数学信息，找到解决问题的思路与方法。

例如在教学《一个数乘分数》，首先就开门见山，出示主题图中的第一部分：“三桶共多少升？”

这个问题，学生根据原有经验“一桶水的体积×桶的数量=水的总体积”这一数量关系便可以解决。紧接着，出示半桶水，问孩子们：你看到了什么？你能提一个什么数学问题？学生立刻会脱口而出："半桶水是多少升？"教师继续追问：“你能借助直观图列式吗？”学生出现两种方法，方法一：12÷2=6（L）;方法二：12×1/2=6（L）。学生A：“半桶水就是一桶水的一半，就是把一桶水平均分成两份，求一份是多少，所以用除法。”學生B：“半桶水就是一桶水的1/2，根据‘一桶水的体积×桶的数量=水的总体积这一数量关系，所以用乘法。”通过情境图引导学生理解一个数乘分数的意义：求一个数的几倍是多少，当表示的倍数不到一倍的时候，就是求一个数的几分之几是多少。

这一环节充分利用直观图，让学生学会看图，感受图像表征的优势，引导学生搜集数学信息，找到解决问题的思路，不仅培养了学生的审题、分析问题的能力，而且运用正迁移及认知上的同化作用，还把分数乘法的意义和已经学过的整数乘法的意义统一起来。所以，培养学生用图像进行表征的一个有效策略就是增加用图像进行表征的频率。

其次，使用图像表征，虽然能促进学生思维从具体到抽象发展，但使用过多也可能会影响学生理解数学深层次的内容。因此，教师要尽可能地引导学生进行半抽象化的表征，掌握了这一本领，才能减轻认知负荷，缩减运算量，更有效地充分利用工作记忆的空间，最终学生才会形成习惯，养成意识。

例如在解决“3件上衣、2条裤子搭配，一共有几种不同的方法？”时，我们要让学生尽量画示意图来尝试解决，然而总有学生选择实物图。由此可见，图像表征首先就是要引导学生循序渐进地学会如何用圆圈或者其他图形去替代实物，画出半抽象化的示意图。

再如：在教学《求一个数的几分之几是多少的问题》例题时，学生对“求一个数的几分之几是多少用乘法计算”已经有了不少的经验，因而教学时，教师先让学生尝试单独解决问题。在明确题意之后，学生作图方法也多种多样。

面对不同的作图方法老师都给予肯定，然后让学生通过比较得出如图所示的三种较为半抽象化的作图方法。接着让不同层次的学生利用图像表征来分析数量关系，从图中，大部分学生都能找到单位“1”的量，要求的量是单位“1”的几分之几，最终顺利解决红萝卜的面积。整节课学生积极参与，主动思考，少部分独立画图有困难的学生最后也能根据图意分析出数量关系，体验到作图的价值。正如波利亚在关于《怎样解题》的论述中提出，“画张图，引入适当的符号”是解题者“弄清问题”的重要途径，而几何图形和符号都是数学图像表征的内容。借助图像表征理解数学问题，可以在问题解决中获得策略，提高效率。

二、学会联系——图式表征

如果上述的图像表征是静态的话，那么在培养学生图像表征意识的同时，更需要联系动态。一般来说，学困生之所以产生数学学习的障碍，往往是因为学生在问题解决时关注情节中的一些细节、数字，思维机械、单一，比如最为常见的是学生看到“一共”就用加法等让人头疼的困惑。而学优生则关注的是问题解决中的关系，从整体去联系问题，对问题中的信息了解的比较全面，且会采用动态变化的关系表征，从而顺利解决问题。这其实就是学习个体的知识达到了再组织的目的，建立了良好的知识结构，处于相对更高的再认知水平。

在日常检测中，有几道题目的错误率相当高，从而充分说明了这一点。例如，

1.    从下图可以知道，a比b多（）%，b比a少（）%。此题的得分率只有73.7%。

2.    一盘水果，兰兰吃了总数的1/4，苗苗吃了1/4kg，那么（）。

A.兰兰吃得多B.苗苗吃得多C.两人吃得一样多D.无法确定谁吃得多

此题的得分率只有36.7%。

“欲速而不达”，上面习题错误率那么高的很大原因就在于在课堂教学中没有注重知识的探究过程，即相当多的错误根源在于问题表征没有关注过程。因此，老师在课堂教学中应该随时帮助学生挖掘一些隐含的内在关系，注重过程教学，引导学生用联系的眼光探讨数学的概念、关系以及外在表征，这有利于学生建立全面的内在表征，进而帮助学生快速地形成数学抽象表征，理解数学本质，提高问题解决的能力。

三、学会建构——组织化的图式结构

如果说上述图像表征和图式表征都是单个的话，那么更恰当、更高层次的表征就应该是组织化，帮助学生建构新知，尤其是借助可视化表征能够优化学生的认知结构，在复习时教师要尽可能帮助学生建立良好的知识结构。

比如，在解决“小刚10岁，他的年龄比爷爷少5倍，爷爷几岁？”这个问题时，不同的教师可能采用不同的教学策略。以下是笔者观察到的几种：

A教师：從字面出发，强调题目说的小刚年龄比爷爷少5倍，反过来就是爷爷年龄比小刚多5倍，接着，多5倍就是小明年龄的6倍，从而列出算式。

B教师：及时引导学生利用爷爷和小刚年龄的线段图。

利用图像对问题进行表征，使得问题中的数量关系变得更加直观形象，避免了复杂的言语表征。

C教师：在B教师的基础上，又增加了一组题：

（1）     小刚10岁，妈妈的年龄是她的3倍还多2岁，问妈妈几岁？

（2）     小刚10岁，爸爸的年龄比他的年龄多3倍，问父子俩一共几岁？

（3）     小刚10岁，他的年龄比爷爷少5倍，问爷爷几岁？

很显然，A教师表面上看思路很清晰，可反复的说教之后，学生似乎无法完全理解。B教师关注到了对于三年级学生来说，逻辑思维能力并不强，仅仅通过言语表征，学生无法在短时间内寻找图式中与问题相关的信息。所以在此时用半抽象化的线段图帮助学生顺利解决了问题。而C教师还注意到在教学本课之前，学生还不太熟悉线段图，对这种表征方式的理解和运用还存在一定的难度。所以尝试利用问题链的方式，将本题进行变式，遵循了学生的认知发展规律，尤为难能可贵的是建立良好的认知结构，构成了有组织的图式结构。

由此可见，学生在问题解决时发生“懂而不会”现象，往往是学生不能够有效激活原有认知结构中相关的结点，其根本原因在于学生对知识的理解往往只停留在“工具性理解”上，而没有内化为自己的认知结构，从而影响了数学问题解决能力的提高。

正如华罗庚说的：“数缺形时少直观，形少数时难入微”。图像表征能促进数学智慧的生成，使数学思维的过程变得简约，使问题的本质得以凸显进而解决，减轻学习的负担。

参考文献

[1]   中华人民共和国教育部.全日制义务教育数学课程标准（2011年版）.北京：北京师范大学出版社，2011.

[2]   朱德江.小学生数学素养培养策略与案例[M].北京师范大学出版社，2008.