截断调和Bergman空间上的小Hankel算子

杨静宇

摘 要：本文主要研究截断调和Bergman空间bn2上以拟齐次函数为符号的小Hankel算子的有限秩半换位等问题。

关键词：截断调和Bergman空间;有限秩;半换位子

中图分类号：O174  文献标识码：A  文章编号：1673-260X（2020）10-0001-03

1 引言

调和Bergman空间是由于自身不是代数这一特点得对其上Toeplitz算子的研究变得更加困难，得到结论也比Bergman空间上的相关结论少，并且与Bergman空間上的相应结论区别很大。基于这样的差别，很多学者都关注调和Bergman空间上相关算子的研究[5-7]，本文作者也在调和Bergman空间做了相关研究[8]。

截断调和函数空间是调和函数空间的一种近似，截断调和函数空间上的Toeplitz算子依强算子拓扑收敛于调和函数空间上的Toeplitz算子，这使得截断调和函数空间上Toeplitz算子的研究能够从另个角度更好地反映调和函数空间上相应算子的性质.Ding[9]在截断调和Bergman空间bn2上给出以有界调和函数为符号的Toeplitz算子交换当且仅当两个符号函数线性相关，此结果不同于Bergman空间的相应结果，但比调和Bergman空间的相应结果更一般化.

受Bergman空间和截断调和Bergman空间上相关研究[4，9]启发，Yang和Lu[10]在截断调和Bergman空间上对拟齐次Toeplitz算子的代数性质进行刻画，得到了一些好的结论。在上述工作的基础上，本文将在截断调和Bergman空间bn2上讨论与Toeplitz算子相似的一类算子——小Hankel算子的有限秩半换位等问题。

2 预备知识

参考文献：

〔1〕Axler S， Chang S-Y A， Sarason D. Product of Toeplitz operators[J]. Integral Equations and Operator Theory， 1978， 1： 285-309.

〔2〕Ding  X H， Zheng D C . Finite rank commutator of Toeplitz operators or Hankel operators[J]. Houston J. Math， 2008， 34（04）： 1099-1119.

〔3〕Guo K Y， Sun S H， Zheng D C. Finite rank commutators and semicommutators of Toeplitz operators with harmonic symbols[J]. Illionis J. Math.， 2007， 52（2）：583-596.

〔4〕Cuckovic， Louhichi I. Finite rank commutators and semicommutators of quasihomogeneous Toeplitz operators[J].Compl. Anal.Oper.Theory.， 2008， 2（03）： 429-439.

〔5〕Choe B R， Lee Y J. Commuting Toeplitz operators on the harmonic Bergman space[J].Michigan. Math. J.， 1999， 46： 163-174.

〔6〕Choe B R， Lee Y J. Commutants of analytic Toeplitz operators on the harmonic Bergman space[J]. Integr. Equ. Oper. Theory，2004， 50： 559-564.

〔7〕Dong X T， Zhou Z H. Commuting quasihomogeneous Toeplitz operators on the harmonic Bergman space[J]. Complex Anal.Oper.Theory，2013， 7： 1267-1285.

〔8〕Yang J Y， Lu Y F， Wang. X Y. Algebraic properties of Toeplitz operators on the harmonic Bergman space[J]. Journal of Mathematical Research with Applications， 2016， 36（04）： 495-504.

〔9〕丁宣浩.截断调和Bergman空间上的Toeplitz算子[J].数学年刊，2013，34A（1）：81-86.

〔10〕Yang J Y， Lu Y F， Tang H. Algebraic properties of Toeplitz operators on Cutoff harmonic Bergman space[J]. Journal of Mathematical Research with Applications， 2020， 40（2）： 169-186.