浅谈与平面向量交汇问题的例题解析

甘肃 何伟军

向量融数形于一体，具备数形两方面的特征，体现了数形结合思想，常与三角函数、平面几何、解析几何等内容融合形成交汇题.围绕“交汇性”设置的数学问题，兼顾基础与能力，命题新颖别致，情境自然流畅，能够促进学生的数学思维发展，有力地提升学生的数学核心素养.

一、与平面几何的交汇

平面向量与平面的基本图形(三角形、四边形、正六边形等)结合为背景设计问题，既考查向量的概念与运算，又考查向量知识在平面几何中的运用.问题解决一从向量“形”的特征入手，选择不共线非零向量为基底；二从向量“数”的特征入手，即建立适当直角坐标系，用坐标法解决.

解析：因为AE=BE，AD∥BC,∠A=30°，所以在等腰△ABE中，∠BEA=120°，

二、与二次函数的交汇

向量与函数交汇，涉及平面向量的数量积与模，用向量的语言与方法重新审视“数学运算”的对象、法则、方法，结果非常明晰.考查重点仍然是函数的概念、图象和性质及数学运算能力.

三、与导数的交汇

以平面向量的数量积为背景，综合设置问题，方式多样灵活.求解需注意分步进行“逻辑推理”，化未知为已知，运用“数学抽象”具体化解答，并借助导数这一重要解题工具进行“数学运算”的问题处理.

(1)点A，B的坐标；

(2)动点Q的轨迹方程.

解析:(1)令f′(x)=-3x2+3=0，解得x=1或x=-1.易知函数f(x)在x=-1处取得极小值,在x=1处取得极大值,故x1=-1,x2=1,f(-1)=0,f(1)=4.所以A(-1,0),B(1,4).

即m2+n2-4n-5=0.①

又因为点Q是点P关于直线y=2(x-4)的对称点，所以由对称的性质得

评注：本题运用导数通过求函数的极值得到点的坐标，再以平面向量的数量积和点的对称为已知条件，采用相关点法求出动点Q的轨迹方程，多个知识点相交汇，形成提升学生思维品质、考查综合运算能力的试题.

四、与三角函数的交汇

与三角函数交汇是高频考点，包括与三角函数化简、求值和证明的交汇、与解三角形的交汇、与三角函数的图象及性质的交汇等.题型精巧独到，加强考查双基知识，同时潜在考查“逻辑推理、数学运算”核心素养.

【例4】已知向量a，b满足|a|=1,|b|=2，则|a+b|+|a-b|的最小值是________，最大值是________.

评注：本题实质是求三角函数的最值，以向量模“建台”，共线定理、垂直、数量积、夹角等“搭台”，模的运算“唱戏”，是这类平面向量交汇性问题的共性.如2015年广东卷理第16题，2015年江苏卷第14题，2015年山东卷文第13题，2017年江苏卷第16题，主要考查学生基础题型识别与综合应用能力.

五、与不等式的交汇

与不等式的交汇，常利用数量积的不等关系，涉及有关模的问题，采用平方法转化为向量的数量积进行“数学建模”解决问题.另外，向量的坐标法可将抽象的逻辑推理转化为单纯的向量的坐标运算，凸显复杂的字母运算的能力和化归与转化的数学思想.

( )

A.∠ABC=90° B.∠BAC=90°

C.AB=ACD.AC=BC

整理可得x2-(a+2)x+a+1≥0恒成立，所以Δ=(a+2)2-4(a+1)≤0，即a2≤0，所以a=0，即C在AB的垂直平分线上，所以AC=BC，故△ABC为等腰三角形，故选D.

所以Δ=(a+1)2-4a=(a-1)2≤0，又(a-1)2≥0，所以a=1，即HB=2，即H是AB的中点，故△ABC是等腰三角形，所以AC=BC，故选D.

六、与线性规划的交汇

向量与线性规划的交汇常以线性约束条件为载体，以数量积为目标函数求最值，既考查识图作图能力，又考查线性规划知识.突破口转化数量积为线性目标函数，通过“数形结合、直观想象”进行“数据分析”将问题解决.

( )

A.[-1,0] B.[0,1]

C.[0,2] D.[-1,2]

解析1：作出满足线性约束条件的平面区域，如图,

将平面区域的三个顶点坐标分别代入平面向量数量积公式

七、与数列相关知识的交汇

向量与数列、不等式的交汇问题，既有向量的模、夹角和数量积等基础题,也有“抽象”性较强，“数学字母”运算多，思维能力要求高的综合题.在解题中通过向量间的等量关系，进行“数学建模”(即数列模型)，再利用数列知识进行“逻辑推理”将问题解决，其突破方向侧重于向量的代数运算或几何意义.

(1)若xn+1=f(xn)(n∈N*)，求f(x)的表达式；

八、与平面解析几何交汇

此类问题通常是以解析几何为载体，以向量为工具，进行“数学建模”，考查涉及夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理.依文画出草图，找准题设条件中突显或隐含的等量关系、向量语言，将这种“数学抽象”关系进行逻辑推理并“翻译”出来，将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将“逻辑推理”转化为“数学运算”，最后用“数据分析”回答问题，体现了稳中求新的命题视角，整个过程突出对数学核心素养的考查.

(1)求点P的轨迹方程；

评注：本题以椭圆为载体，平面向量等量关系、数量积等为已知条件，考查代入(相关点)法求轨迹方程和证明直线过定点问题.平面向量与平面解析几何交汇，历来深受命题专家青睐，圆锥曲线中涉及平行、垂直、三点共线、角等相关问题，均可在向量为工具的新情景下设计问题，精巧结合，求解此类问题的关键是把有关向量的问题转化为解析几何问题.平面向量与圆锥曲线交汇客观题、主观题都有，又如2018年全国卷Ⅲ第20题第(2)问.解答题难度不低，在复习中应该重点突破.

九、与概率的交汇

向量与概率交汇试题背景新颖，把向量概念融合到有关知识中，综合性强.这类问题的解决需要缜密分析，将“数学抽象”具体化归与转化，列举结果，进行“数据分析”,最后利用相应的概率模型将问题解决.

【例9】设平面向量am=(m,1)，bn=(2,n)，其中m,n∈{1,2,3,4}.

(1)请列出有序数组(m,n)的所有可能结果；

(2)记“使得am⊥(am-bn)成立的(m,n)”为事件A，求事件A发生的概率.

解析：(1)易知，有序数组(m,n)的所有可能结果为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4).

(2)由am⊥(am-bn)得m2-2m+1-n=0，

即n=(m-1)2.

评注：本小题主要考查古典概型、平面向量垂直等基础知识；考查运算求解能力、“数学建模”的应用意识，考查化归与转化思想、必然与或然思想.