高中数学建模试题的开发与实践

2020-11-21广东

教学考试(高考数学) 2020年6期

广东朱欢

国务院办公厅关于新时代推进普通高中育人方式改革的指导意见中，明确要求要深化考试命题改革.优化考试内容，突出立德树人导向，重点考查学生运用所学知识分析问题和解决问题的能力.创新试题形式，加强情景设计，注重联系社会生活实际，增加综合性、开放性、应用性、探究性试题.在这样一个背景下，高考试题也在逐渐变革，越来越多的数学建模类型的试题在高考中呈现出来，如下面这道例题：

一、题目呈现

(2020·新高考Ⅰ卷(供山东省使用)·6)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)=ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)

( )

A.1.2天 B.1.8天

C.2.5天 D.3.5天

【题目分析】本题充分发挥学科特色，将“战疫”入题，基于新冠肺炎疫情初始阶段累计感染病例数的数学模型的研究成果，考查相关数学知识和从资料中提取信息的能力，根据提供的数学模型，可以进行累计病例的增长的时间估算，突出数学的实际应用.本题的难点在于如何理解“累计感染病例数增加1倍”以及相应的数学运算.

【方法归纳】对于直接给出函数模型的数学建模问题，一般，直接应用题目所给的公式和要求进行计算即可，一般计算过程中需要进行指对数式的转化，函数值的估值计算，对计算能力要求较高.

( )

A.60 B.63

C.66 D.69

二、高中数学建模问题的开发原则

数学建模是对实际问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程.主要包括：在实际情景中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、建立模型、求解结论、验证结果并改进模型，最终解决实际问题.

日常测试以及学考、高考中与数学建模素养考核相关的命题和日常建模活动的区别主要考虑：(1)限时考试且为短时段考试；(2)闭卷考试，无法执行开放的、实地的调查；(3)高考不能使用计算器.

基于以上考虑，在考试中运用“微建模”题目进行建模素养测评是最好的选择.为了让学生在短暂时间内能够处理和计算问题，高中数学建模试题的开发设计可以从以下方面去考虑：(1)以某种特定的模型来命题；(2)以某种建模方法考查为中心进行命题；(3)命题考查的重点是模型的解释与检验环节；(4)命题侧重点放在假设和建模环节.

三、高中数学建模试题的开发与实践

(一)以某种特定的模型来命题

根据特定的函数模型来命制数学建模问题是目前高考数学中比较常见的命题方式，高中常见的数学模型有函数模型(如本文引例)、数列模型(如存款利息问题)、三角函数模型、古典概率模型、几何概率模型、回归分析模型等等.一般可以根据模型的特点设计数学建模问题，难度适中，比较适合出现在高考命题中.此类模型一般直接应用题目所给的公式和要求进行计算即可，主要考查数学运算(估算)能力，计算能力要求较高.

【例1】已知某抽气机每次可抽出容器内空气的40%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽气的次数是( )(参考数据：lg6=0.778)

A.12 B.13

C.14 D.15

( )

A.5.64 B.105.64

C.ln5.64 D.lg5.64

(二)以某种建模方法考查为中心的命题

考虑到高中阶段学生所能掌握的数学建模方法的限制，在命制此类数学建模问题时，常常会使用高中阶段常见的数学建模方法，如：

1.化归法：经过合理假设后，与所学某类模型匹配，可以利用现有模型解决问题.中学阶段接触得较多的模型包括初等函数、分段函数、方程(组)、不等式(组)、基本的平面图形(线段、三角形、四边形、正多边形、圆等)、基本的立体图形(柱、锥、台、球等)、古典概型等.

2.演绎法：由一般到特殊的推理方法.推论前提与结论之间的联系是必然的，是一种确实性推理.这种方法基于演绎分析，综合运用多种现有的模型解决问题.

3.归纳法：归纳推理是一种由个别到一般的推理.归纳推理是从认识研究个别事物到总结、概括一般性规律的推断过程.

4.类比法：由两个对象的某些相同或相似的性质，推断它们在其他性质上也有可能相同或相似的一种推理形式.

【设计意图】本题以类比法为建模方法，需要考生以给出的案例为基本模型，类比构建出新的模型“从n+k个球中取出m个球的不同取法数”.

对上式两边同时求导得

【设计意图】本题以演绎法为建模方法，以导数为出发点，新定义了一个名词“拐点”，并介绍了任何一个三次函数的拐点都是该函数的对称中心，在此情境下，构建了一个函数中心对称模型，这里需要我们对中心对称模型有必要的知识储备：如果一个函数f(x)有对称中心(a,b)，那么f(x)+f(2a-x)=2b.

(三)以模型的解释与检验环节来命题

检验数学模型的优劣也是常见的命题点，如对于回归模型的优劣，可以用散点图、相关系数、回归指数、残差分析等方式进行检验和解释；对于决策模型，可以用数字特征(众数、中位数、平均数、方差)、期望与方差、概率的大小等进行检验和解释.对于此类问题，要熟悉常见的需要解释的模型，并能够建立模型进行检验或解释.

(1)求两份血液样本混合检验结果为阳性的概率；

(2)若检验次数的期望值越小，则方案越“优”.方案一、二、三中哪个最“优”？请说明理由.

【设计意图】本题以新冠病毒的检测为背景，通过抉择三种不同方案的最优性，构建了利用数学期望作为决策解释依据的数学模型.第(1)问根据独立事件和对立事件概率公式可计算求得结果；第(2)问先确定方案二和方案三检验次数所有可能的取值，并求得每个取值对应的概率，进而得到分布列，由数学期望的计算公式计算得到期望，与方案一的期望进行比较，得到最优方案.

(2)方案一：逐个检验，检验次数为4.

设方案二的检验次数为ξ，则ξ的可能取值为2,4,6，

则ξ的分布列如下：

方案三：四个样本混在一起检验，设方案三的检验次数记为η，η的可能取值为1，5，

则η的分布列如下：

η15P64811781

比较可得E(η)

【例5】“生命重于泰山，疫情就是命令，防控就是责任”.面对疫情，为切实做好防控，落实“停课不停学”，某校高三年级启动线上公益学习活动，助“战”高考.为了解学生的学习效果，李华老师在任教的甲、乙两个班中各随机抽取20名学生进行一次检测，根据他们取得的成绩(单位：分，满分100分)绘制了如下茎叶图，记成绩不低于70分者为“成绩优良”.

甲乙693679995108015699442734577788851106074332525

(1)分别估计甲、乙两个班“成绩优良”的概率；

(2)根据茎叶图判断哪个班的学习效果更好.

【设计意图】本题以“停课不停学”为背景，以茎叶图为命题出发点，考查了古典概型概率，考查了对数据分析与数据处理的能力，第(2)问比较“哪个班的学习效果更好”，是一个开放性问题，需要建立决策模型进行解释，可以从中位数、平均数、分数的整体分布等方面入手，只要解释合理都可以作为本问题的答案.

【解析】(1)从茎叶图中知，甲班学生成绩不低于70分的共有10人，乙班学生成绩不低于70分的共有16人，且成绩不低于70分者为“成绩优良”.

(2)乙班学习的效果更好.

理由1：乙班样本成绩在70分以上的人数多于甲班.

理由2：甲班样本成绩的平均分为70.2；乙班样本成绩的平均分为79.05.

(四)侧重点放在模型假设和建模环节的命题

此类问题的命制一般也是基于一些确定的数学模型，通过给出一些具有一定特征的数据、表格、图象等，让考生能够通过观察这些数字、表格、图象等，找到一些规律，进而建立数学模型，命题侧重点放在假设和建模环节.有时候，为了让建模容易一些，可能会提供多个模型，让考生根据数字、图象等特征进行选择区分.要求学生会应用统计或者统计案例中的方法对数据进行收集、整理、分析，能从大量的数据中找到对研究问题有用的信息，并作出判断,解决实际问题.

t012345678y1617.22022.82422.82017.216

【设计意图】本题是常见的港口水深与时间关系的一个实际生活情景，要求考生能够观察数据呈现的周期性规律，再通过画图观察出该函数的图象近似为一个三角函数模型，可以假设从最理想化的角度，建立三角函数模型，观察题目所给的条件，设出三角函数的表达式y=Asin(ωt+φ)+B，再根据数据特征，计算出y关于t的表达式即可.

有时候为了降低难度，我们也可以给出多个模型，让学生根据实际情况进行简单的推理后，选择适当的模型进行求解.

【例7】某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成.每批产品的非原料总成本y(元)与生产该产品的数量x(千件)有关，经统计得到如下数据,从y=kx+m与y=c·dx中选择最合适的模型来拟合y与x的关系，预测生产该产品10(千件)时，每批产品的非原料总成本为________元(结果保留整数).