2020年高考全国卷Ⅰ解析几何试题评析及备考建议

安徽 梁宝同

2020年高考全国卷Ⅰ的解析几何题仍然由客观题和主观题两部分组成，其中理科试卷客观题以抛物线、双曲线、直线与圆为考点，重点考查考生的解题基本功；主观题以椭圆为考点，难度较2019年有所增加，尤其对考生的数学运算素养要求较高.文科客观题延续一贯考法，主观题延续了2019年的命题顺序，放在第21题的压轴题位置且与理科的第20题完全相同.虽然2020年解析几何试题位置靠后，但对于定点问题，学生还是比较熟悉的，整个解题过程也比较常规，它延续了全国卷的重本质、重通性通法、淡化解题技巧的命题风格.

以下就通过分析2020年全国卷Ⅰ理科的解析几何试题，总结近年来全国卷理科的解析几何命题特点，明确备考方向，提出一些备考建议，望大家斧正.

一、2020年全国卷Ⅰ理科解析几何试题解答与评析

题目1(2020·全国卷Ⅰ理·4)已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=

( )

A.2 B.3

C.6 D.9

分析：本题以焦半径为背景，应充分利用抛物线的定义求解，这是解决此类问题的通性通法.

点评：本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生化归与转化思想，是一道基础题.

题目2(2020·全国卷Ⅰ理·11)已知⊙M：x2+y2-2x-2y-2=0，直线l：2x+y+2=0，P为l上的动点，过点P作⊙M的切线PA,PB，切点为A,B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为

( )

A.2x-y-1=0 B.2x+y-1=0

C.2x-y+1=0 D.2x+y+1=0

解法2：同解法1得到点P(-1,0)，作出图象如图所示，显然，其中一条切线为x=-1，不妨设A(-1,1)，因为AB∥l，所以直线AB的方程为y=-2(x+1)+1，即2x+y+1=0，故选D.

解法3：同上得到点P(-1,0)，AB的切点弦方程为(-1-1)(x-1)+(0-1)(y-1)=4，即2x+y+1=0，故选D.

点评：本题主要考查双曲线的离心率的求法，以及双曲线的几何性质的应用，属于基础题.

(Ⅰ)求E的方程；

(Ⅱ)证明：直线CD过定点.

分析：本题考查了椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、向量的数量积以及定点问题，意在考查学生的运算求解能力与化归问题的能力，考查的核心素养是数学抽象、逻辑推理与数学运算.试题解法多样、内涵丰富、精彩纷呈，是一道具有研究性学习价值的好题.

(2)当m2≠3时，

解法4：(1)当直线CD的斜率不为0时，设直线CD的方程为x=my+t(t≠3)，C(x1,y1),D(x2,y2)，

即(m2+3)y1y2+m(t-3)(y1+y2)+(t-3)2=0，

解法5：如图所示，根据题意，当直线CD的斜率不为0时，设直线CD的方程为x=my+t，C(x1,y1),D(x2,y2)，

且kCA=kAP③，kBP=kBD④，

点评：本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了运算求解能力、推理论证能力、化归与转化思想，属于较难题.解法1先设出点P的坐标(6,m)，然后利用直线AP,BP分别与椭圆方程联立，求解出C,D两点的坐标，在处理定点的环节，采用的策略是“先采点，再打点”.简化了运算量，体现了由特殊到一般的数学思想方法.解法2与解法3相似，都是从一般化开始研究，不同之处在于直线CD的设法不同，解题的关键在于简化直线CD的方程，虽然对运算量有一定的要求，但解题思路明确，也不失为一种好方法.解法4先直接设出直线CD的方程x=my+t及C,D点的坐标，接下来联立直线CD与椭圆方程，通过设而不求的策略，找到m,t满足的关系，进而得到直线所过的定点.但是本解法的关键在于通过点C在椭圆上，将非对称韦达定理转化为对称的韦达定理.解法5利用椭圆上的点与任意关于原点对称的两点连线的斜率乘积为定值这一常用结论，将原问题转化为已知kBC·kBD为定值，求直线CD过定点问题，而这一处理巧妙地避开了非对称的韦达定理问题.本题的第一问与向量综合，体现了高考命题的综合性，第二问是个常规的题型，在圆锥曲线中关于定点的问题很多，学生处理起来上手较容易.

二、高考命题特点的分析

以近五年全国卷Ⅰ理科的解析几何考点分布为例：

年份题号知识点分值难度201651020双曲线方程中参数取值范围问题抛物线与圆综合问题圆与椭圆,椭圆的定义求轨迹方程,四边形面积范围问题22易中等较难2017101520抛物线定义,焦点弦双曲线离心率直线与椭圆,定点问题22中等中等较难201881119直线与抛物线,向量数量积双曲线的几何性质,直线与直线的垂直关系直线与椭圆的位置关系,证明等角问题22易中等中等2019101619椭圆标准方程,焦点三角形双曲线的离心率直线与抛物线,弦长计算问题22中等较难中等20204111520抛物线的定义直线与圆,切点弦方程双曲线的离心率椭圆,证明过定点问题27易中等易较难

从上表可以看到近五年高考全国卷Ⅰ的解析几何数学试题呈现如下特点：

(1)题型及试题难度保持稳定，2016—2019年都是2小1大，共3道题，其中直线与圆往往与其他3种曲线融合在一起考查，分值22分，而2020年增加了一道考查直线与圆的题目，共4道题，分值达到了27分.另外，选填题中有一道起点较低，另一道则是中等难度或是较难题.解答题的第(Ⅰ)问侧重考查圆锥曲线的定义与基本性质；第(Ⅱ)问考查形式多样，但基本围绕定点、定值或取值范围等内容，重在考查学生的抽象概括能力、运算求解能力和创新意识，突出高考的选拔功能.

(2)知识点分布均衡，重点突出对直线、圆、抛物线、椭圆和双曲线知识的考查，没有遗漏.通过对知识重组，考查时既注意全面，更突出重点，突出了核心主干知识的价值和考查力度，保证了较高的考查比例并保持必要深度.内容主要集中在如下几个类型：①求曲线方程(类型确定或待定)问题；②求坐标、弦长、面积(取值范围或最值)问题；③探求曲线方程中几何量及参数间的数量特征(离心率)问题；④与曲线有关的几何证明(平行、对称、定点)问题.

(3)能力立意，小题呈现出“多一点想少一点算”的命题理念，借助数形结合便能快速得到答案.解析几何与向量都具有数与形结合的特征，所以这两者多有结合，在它们的知识点交汇处命题，体现了试题的综合性，是高考命题的一大亮点.另外在研究取值范围的问题时，往往与函数、不等式等内容交汇，也是意在考查学生的综合素养以及未来学习的潜能.

三、2021年高考数学解析几何备考建议

基于考生答卷中出现的一些典型错误及全国卷解析几何的命题特点，给出如下备考建议.

(1)夯实基础，注重通性通法

高考中的解析几何试题通常是对常规题型进行改编，对常规习题的整合、变式和拓展，从而加工为高立意、新情境、巧设问的解析几何问题，坚持新题不难、难题不怪的命题方向.这要求学生积累必要的基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验，通过对一些典型习题的研究，掌握通性通法，并反复体会其中蕴含的数学思想方法，把解题方法提高到数学思想的高度，提高分析和解决综合问题的能力.在复习中要注重基本题型的训练，各类题型都要过关，及时总结每种常规类型的基本解题策略.常见的解析几何解答题有以下几种类型：①与圆有关的最值问题；②椭圆、双曲线、抛物线的定义及应用问题；③求解离心率的范围问题；④椭圆、双曲线、抛物线与圆结合问题；⑤圆锥曲线的最值、范围问题；⑥轨迹探求问题；⑦圆锥曲线的定值、定点问题；⑧解析几何中的对称问题；⑨解析几何中的存在、探索问题；⑩圆锥曲线与向量、数列结合的综合问题.可以利用平常的周测，进行滚动训练.

(2)回归教材，构建知识网络

通过上面对圆锥曲线真题的分析，发现其原型源自教材.因此，回归教材应贯穿圆锥曲线复习的始终.回归教材中的基本定理、公式、典型例习题、课后阅读材料、拓展研究等素材，在回归教材的基础上，要着重强化对知识的梳理、优化知识结构、构建知识网络.注重对课本典型例题、习题的拓展，教材中的例题、习题虽然大多比较容易，但解法具有示范性和可拓展性，可以适当编拟题组进行训练，融会贯通.例如，上述题目4中的解法5就是利用“椭圆上的点与任意关于原点对称的两点连线的斜率乘积为定值”这一结论，将原问题转化为已知kBC·kBD为定值，求直线CD过定点问题，而这一处理巧妙地避开了非对称的韦达定理问题.该结论在课本上出现的频率多达3次，以此为背景进行试题命制的高考题也很多，例如2019年全国卷Ⅱ理科的第21题.

(3)优化计算，提升运算素养

(4)研究真题，感悟命题思路

高考真题凝结了命题专家的智慧与匠心，对高三的复习教学具有较好的指导意义.通过追踪同一知识点在近几年高考中的命题趋势，可以使高三的复习教学做到有的放矢.另外，有些真题是以往真题的相似题或改编题，因此，在平时教学中，对真题进行适当的变式探究，不仅可以理清知识脉络，把握高中数学的主干知识，避免高三复习选题的随意性、盲目性，还可以提高学生的探究能力和创新意识.

(5)重视平面几何知识的应用