2020年新高考数学命题“新”的“告白”

2020-11-21浙江余继光

教学考试(高考数学) 2020年6期

浙江余继光施峥

研究2020年新高考数学命题情况，发现五新：新理念(立德树人、核心素养、学科特色)、新评价(三大情境评价、新题型评价、不同层次评价)、新题型(数据题、多选题、结构不良题)、新应用(数学文化、最新情境、实践能力)、新结构(整卷结构、基础应用、科学调控)，面对新高考数学命题的五新特点，数学教学需要创新教学实践，落实数学基本功的训练(学会阅读、学会运算、逻辑推理、提出问题、实验探究、变式提升等)，提升“未来劳动者”的核心素养.

一、2020年新高考数学命题“新”在哪儿

从试题外表看，2020年新高考几份数学试卷：北京卷、天津卷、新高考Ⅰ卷(供山东省使用)与新高考Ⅱ卷(供海南省使用)，后两份第3，6，7，9，13，18，20(2)，21不同，但整个框架是相同的，命题专家根据各地学情采取相应命题策略，以下以山东卷为例，分析试题亮点，指导教学实践.

1.新理念

1.1立德树人

新高考数学命题从数学角度落实“立德树人”的教育目标，引导学生学会“用数学眼光观察世界”，用数学语言表达观察，建立数学模型，解决实际情境中的数学问题，比如，第3题的志愿者服务，第5题的体育锻炼，第15题的劳动实习等，都在充分渗透数学应用题的德育教育功能.

1.2核心素养

新高考数学命题体现2017年版2020年修订的《普通高中数学课程标准》评价中的核心素养，比如第11题逻辑推理，第19题数据分析，第22题数学运算，第6题数学建模，第12题抽象思维，第4题直观思维等，高考数学命题逐步进入科学评价领域.

1.3学科特色

数学学科的新高考命题有自己的特色，一是复杂的运“算”；二是智慧的“思”考；三是综合的应“用”；比如，6道解答题的运算量都不小，虽然都是常规的基本运算，但只有运算基本功强，才能获得成功；又如，第17题选择性的思考，第一年不良结构命题选择解三角形下手，还比较简单；再如，一大六小7道数学应用题，贴近现实背景与文化背景，再加上多项选择题中的综合应用，可谓数学命题“应用”之天下.

2.新评价

2.1三大情境下评价

高考数学评价体系中三大评价水平：数学的情境，如第14题，考查子数列等；科学的情境，如第12题，给出信息熵的概念等；现实的情境，如第6题，新冠肺炎疫情的感染规律等，面对这些情境时，检验考生的“算”“思”“用”的能力.

2.2用新题型来评价

2015年教育部考试中心命题专家以新题型进入高考为课题研究结题，2020年，4道多项选择题以特有的方式面世，第17题不良结构题给考生以多种选择，条件开放题渗透高考数学命题之中，评价考生的发散性思维能力，以概率统计为核心的数据题也早已进入高考.

2.3不同层次的评价

设计基础题，包括多项选择题，检测考生的基本功，为第一层次；设计不良结构题，检测考生的发散性思维水平，为第二层次；设计综合应用题，检测考生的综合实践能力，为第三层次，检验不同层次的数学思维水平.

3.新题型

3.1多项选择题温柔入列

多项选择题的引入，避免了单项选择题的弊端——25%猜的命中率，为数学基础和能力在不同层次的学生都提供了发挥空间，更好地体现区分选拔功能.

3.2结构不良题的选择性

3.3未来会增加新题型

2020年新高考数学命题还处在过渡期，2015年教育部考试中心的新题型研究成果，还有举例题、逻辑题等，在未来高考数学命题中也会逐步面世，以特有形式正式进入高考.

4.新应用

4.1数学文化渗透

了解数学文化是数学学习的任务之一，最近几年全国卷及各地单独命题卷，一道数学文化题成为标配，今年新高考数学命题把我国古代的一项发明：“日晷”与立体几何的联系挖掘出来，反映我国古代劳动人民的数学智慧.

4.2最新情境渗透

高考数学命题开始引入类似政治的“时事”题，以最新的国情为背景来命制数学应用问题，突出数学应用的教育功能，25年以来，这一特点一直持续着，2020年最新情境就是新冠肺炎疫情的传染与传播，第6题将病毒传播的最核心问题编制成题.

4.3实践能力渗透

培养中学生的创新意识与实践能力一直是基础教育的一大任务，第15题“学生加工制作零件”正是体现这一点，回顾立体几何教学，引导学生制作空间图形模型，正是在培养学生的动手实践能力.

5.新结构

5.1整卷结构设置新

新高考卷包括单项选择题、多项选择题、填空题、解答题四部分，其中单项选择题8题40分，多项选择题4题20分，填空题4题20分，解答题部分取消了选考题内容，共6题70分，全卷总题量为22题，试卷结构逐步完善.

5.2基础应用比例新

新高考卷数学应用题(含数学文化题)设计了六小一大共7道题，具体有科学情境、实际情境、文化情境三类，远远超过以前及同年其他试卷比例，强化了数学应用意识的培养，与当代科技发展环境相吻合.

5.3科学调控策略新

新高考数学命题科学调控试卷难度，贯彻了“低起点、多层次、高落差”的调控策略，发挥了高考数学的选拔功能和良好的导向作用，“低起点”体现为试卷在选择题、填空题、解答题部分进行了系统设计，起始题部分起点低、入口宽，面向全体学生.“多层次”体现为试题的难度设计上重视难度和思维的层次性.“高落差”体现为重视数学高考的综合性、创新性.在试题的难度设计上不仅有层次性，而且在思维的灵活性、深刻性，方法的综合性、探究性和创造性等方面，科学把握试题的区分度，发挥数学高考的选拔性功能.

二、面对新高考数学命题教学需要创新实践

1.落实数学基本功的训练

不论高考数学命题改革如何进行，数学基本功永远是数学学习的头等大事，掌握审题基本功，运算基本功，画图基本功，技术基本功，策略基本功，命题基本功等，没有这些基本功，掌握再多的方法、技巧、公式都是空中楼阁，在具体实践或应用中都会落空.

1.1教生数学阅读

用心阅读数学教材是一件难事，对于高一学生教师应引导阅读，特别是教材中的《主编寄语》《阅读与思考》《章头图与章引言》等栏目，不能只是“死”刷题，通过阅读至少使学生了解数学符号语言，文字语言，以及数学文化，帮助学生突破数学文化题.

1.2关注数学运算

引导学生对于数字计算、分数分式运算、解方程(组)、代数式变形等要达到熟练程度，数学运算要优化运算程序，把握运算方向，简化运算过程，比如，求解下列问题：

以上两问题采自圆锥曲线问题求解片断，学生在运算战场上不能当逃兵.

1.3重在逻辑推理

数学教学注重逻辑推理是常识，但在概念内涵与外延、解题表达、综合应用中真正做到不是一件容易的事，比如下列一道测试题：

问题3：数列{an}满足a1=0.5，an=1+lnan+1，设Tn为数列{an}的前n项之积，则T2019的取值范围是

( )

上述逻辑推理的痛点很多，一开始想直接找到通项关系式，缺少从特殊入手，寻找规律的逻辑推理意识，另外学生不了解泰勒不等式知识ex≥1+x，教学中引导学生观察代数式结构是第一重要的事.

1.4观察提出问题

数学实验与应用实践是数学教学的一个组成部分，也是很多教师的薄弱点，引领学生提出问题并解决问题是一个重要的学习方式，德国物理学家海森堡说过：“提出正确的问题，往往等于解决了问题的大半”.培养学生的数学建模意识应该从提出问题开始.从数学角度而言，学会用数学的眼光观察自然、风光、社会、经济等，提出有数学价值的实际问题，培养学生的数学应用意识是重要的，这体现一个人的数学应用素养，比如，下列问题探究：

问题4：罗浮宫广场上有两个大小不同的金字塔，如图，有人从某个角度看，认为是一个大四棱锥与一个小四面体，于是创作了下面的数学应用题：

在平面α上放置一个正四棱锥P-ABCD与一个正四面体Q-B1C1E，正方形ABCD与正三角形B1C1E均在平面α上，

(Ⅰ)如果两个几何体的高相等，BC=B1C1，让△QB1C1围绕BC旋转，当平面PBC与平面QB1C1重叠时，△PBC与△QB1C1是否重合？

(Ⅱ)BC=B1C1，让△QB1C1旋转，当△PBC与△QB1C1重合时，两个几何体构成的面数为多少？

(Ⅲ)BC=B1C1，让△QB1C1旋转，当△PBC与△QB1C1重合时，正四棱锥P-ABCD的高与正四面体Q-B1C1E的高之比是多少？

(Ⅱ)当△PBC与△QB1C1重合时，两个几何体构成的面数为5，因为此时△PAB与△QB1E共面，△PDC与△QC1E共面.

解读：学生生活的空间内外有大量与数学相关的现象，学会观察，学会提问题，学会提有数学意义的问题，这本身就是培养学生的数学应用意识与数学建模能力，高考数学命题专家也是通过观察来编制数学应用问题的.

1.5变式提升思维

变式教学是数学基础教育的一个王牌，也是提升学生数学思维的重要手段，更是解除学生思维痛点的一剂良药，比如，二元二次方程求解是学生的一个薄弱点，对高一优秀学生设计下列问题串：

问题5：与学生一起思考下列一组解方程组问题：

经过上述解二元二次方程组的训练后，高二求解圆锥曲线问题时就会轻松很多.

1.6养育核心素养

由具体到抽象，由特殊到一般，整个过程是学生在数学建模活动中逐步形成或养育的.比如，2019年版人民教育出版社A版数学必修第1册，P141第13题(2)，如果学生经历以下过程会终生难忘.

问题6：比较log23，log34，log45的大小.

变式1.比较大小：loga(a+1)与log(a+1)a，a为正整数.

变式2.比较大小：loga(a+1)与log(a+1)a，a>0，a≠1.

探究后得到的结论：

结论1.当a>1时，loga(a+1)>logaa=1，log(a+1)a

所以loga(a+1)>log(a+1)a；

然后引申到幂指数的比较：

变式3：比较aa+1与(a+1)a(a>0，a≠1)的大小.

结论4.当0

养育指导：以上问题的抽象表达是在数学探究学习中形成的概括，这一能力也是在此探寻过程中养育的.

2.增加数学应用问题教学

数学应用问题教学在某些学校还比较薄弱，数学教师怕麻烦，自1995年数学应用题进入高考数学试卷以来，教师的重视程度在不断提升，2017年版2020年修订的《普通高中数学课程标准》基本理念第2条中指出“提升学生应用数学解决实际问题的能力”，第3条中也明确提出“不断引导学生感悟数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值”，在学业水平与高考命题建议中也明确指出：“命题时，应有一定数量的应用问题”.

2.1不仅仅是数学应用题教学

数学应用题的教学具有两方面的功能：一方面是数学知识应用能力的培养；另一方面是社会责任感的潜意识教育，如环境保护意识、流行病预防意识等的教育，在学科教学中渗透现代科学意识的教育，因此充分挖掘数学应用问题这一教育功能是数学应用问题教学的一个重要课题.

问题7：数学模型显示：有关“2019—nCoV急性呼吸传染病”的流行病调查发现，地区A新增新冠病例人数规律近似于图形f(n)(人)(如图，n表示第n天，12月18日记为n=0)，由于地区A的病毒携带者传染到地区B，导致地区B新增新冠病例人数规律近似于f(n-14)(人)，现有下列判断：

①1月31日地区B新增新冠病例人数达到100人；

②预测3月2日左右地区B新增新冠病例人数将进入下降趋势；

③预测地区B累计新冠病例人数不会超过6 000人；

④预测地区B累计新冠病例人数一定不超过地区A累计新冠病例人数；