基于突变理论的隧道自稳能力量化研究

苏永华， 肖 峰

(湖南大学 岩土工程研究所， 湖南 长沙 410082)

0 引言

近年来，我国在深埋隧道建设方面取得了巨大的发展，其中泥巴山隧道的最大埋深达到了1650 m。由于深埋隧道位于高地温、高地应力等复杂地质环境中，与浅埋隧道相比更容易发生各种工程地质灾害。地质灾害是引发深埋隧道发生破坏的重要原因。因此，如何评价隧道围岩的稳定性是隧道开挖过程中的首要问题，许多学者进行了深入研究[1-3]。

目前比较常用的方法是通过记录隧道内部关键点的位移、应力等参数的变化来预警隧道围岩稳定性，然而这些评价的标准不够统一，无法直观地反映隧道稳定性。随着郑颖人[4-5]等把强度折减法引入国内，该方法在处理边坡稳定性分析当中已经获得了不少进步，把强度折减法引入隧道稳定性分析也是一种不错的思路[6-8]。采用强度折减法分析问题的关键所在是精确地确定突变点，苏永华[9]等通过分析将折减系数小于3.5的点和折减系数大于3.7的点分别拟合成2条直线，把这2条直线的交点作为位移突变点。R.Thom创立的突变理论[10]作为非线性理论的一个分支，在岩石力学与地下工程领域应用广泛，例如围岩失稳问题[11-12]、岩质边坡失稳问题等[13-14]。

公路隧道设计规范(JTG D70—2004)[15]对于隧道复合式衬砌的设计参数表明，在Ⅱ级围岩及以上时，对于公路隧道只需要进行防护性支护或构造性支护，说明在这种围岩等级下，隧道围岩是可以自稳的。基于此，本文将强度折减法和突变理论相结合，计算出这种情况下隧道的自稳能力系数k0，作为衡量隧道是否能够自稳的定量指标。同时求出在Ⅲ、Ⅳ围岩等级下隧道的自稳系数，与k0相比较，给出各级围岩相应支护的定量描述，为隧道的支护设计提供一种新的思路。

1 围岩失稳判据的选取

1.1 强度折减法基本原理

强度折减法是将岩体的抗剪强度指标粘聚力c和内摩擦角φ同时除以同一个折减系数k，得到新的一组抗剪强度指标粘聚力c′和内摩擦角φ′，并将此时c′和φ′代入数值软件中计算，依次重复之前的步骤，一直到隧道围岩发生破坏，此时的强度折减系数k即为该隧道能够保持自稳的自稳系数，其计算公式为：

c′=c/k

(1)

φ′=arctan(tanφ/k)

(2)

1.2 突变理论的基本原理

突变理论是由法国数学家R.Thom在1972年创立，主要是研究非线性系统如何从连续渐变状态走向系统性质的突变。R.Thom共总结了7 种突变模型，应用比较广泛的是尖点突变模型。

尖点突变模型的标准势函数为:

V(x)=x4+ux2+vx

(3)

式中:x是状态变量；u和v为系统的控制参数。将上式(3)对x进行求导，并且令导数为0，得到平衡曲面方程为：

(4)

对于突变点，不仅要满足式(4)，还要满足:

(5)

联立求解方程(4)和方程(5)，将得到突变点应服从的控制参数曲面为:

Δ=8u3+27v2=0

(6)

根据Δ变化来分析工程系统的稳定性。当Δ<0时，系统发生突变; 当Δ=0时，系统处于临界状态；当Δ>0时，系统稳定。

1.3 深埋隧道开挖围岩失稳判据

应用比较广泛的深埋隧道围岩破坏判据主要可分为强度判据、位移判据和能量判据。在数值模拟和实际工程监测中，用关键点的位移来判断深埋隧道开挖围岩失稳破坏是一种较为常用的方法。基于此，本文采用有限元强度折减法计算围岩稳定性时，建立式(7)所示的隧道顶部位移δ和折减系数k的尖点突变模型来判断围岩是否发生失稳破坏。

δ=f(k)

(7)

随着强度折减可得出不同折减系数条件下隧道顶部的位移场， 可对不同折减系数下隧道顶部位移值与强度折减系数进行多项式拟合， 即构建式(7)。将式(7)用Taylor 级数展开，则得：

(8)

取上式前6项，可以满足计算的精度要求，得到：

(9)

(10)

式中：b0=5a5q4-4a4q3+3a3q2-2a2q+a1;b1=-20a5q2-6a3q+2a2;b2=30a5q2-12a5q+3a3;b4=5a5。

(11)

(12)

式(11)和式(12)分别为以x为状态变量，以u、v为控制变量的正则尖点突变模型和对偶尖点突变模型的标准势函数，其中正则点尖点突变模型平衡曲面与分叉集如图1所示。

图1 正则点尖点突变模型的分叉集和平衡曲面Figure 1 Balance curved surface and birfurcationset of cusp catastrophe model

对于正则尖点突变模型的势函数，即式(11)进行求导得：

x3+ux+v=0

(13)

由式(13)所决定的临界点集就是平衡曲面，其在(x，u，v)空间中的图形见图1，在平衡曲面上有竖直切线的点就构成状态的突变点集(即奇点集)，其方程为：

3x2+u=0

(14)

奇点集在控制变量(u，v)平面上的投影构成分叉集， 它是所有使得状态变量产生突变的点的集合。由尖点突变理论可知，联立式(13)和式(14)消去x得：

Δ=8u3+27v2

(15)

根据尖点突变理论，深埋隧道围岩稳定有如下判据：若Δ>0，位移没有突变，说明隧道围岩是稳定的，相反，若Δ<0，位移发生突变，说明隧道围岩发生破坏。

2 隧道围岩自稳系数确定方法

2.1 模型的建立及参数的选取

数值计算采用Phase2有限元软件，隧道断面采用直墙拱型，模型边界取5倍洞径，边界条件为全固定模型，如图2所示。

图2 隧道模型Figure 2 Tunnel model

在有限元计算中，初始应力场取自重应力场，侧压力系数取为1，隧道埋深为300m，围岩的重度γ=27kN/m3按平面应变问题处理，不考虑隧道开挖的空间和时间效应，采用弹塑性本构模型和摩尔库伦(Mohr—Coulomb)强度屈服准则进行计算。隧道围岩的物理力学指标按最不利标准取值，即取Ⅱ级围岩物理力学指标的下限值，具体为：围岩密度ρ=2.65g/cm3，弹性模量E=20GPa，泊松比μ=0.25，内摩擦角φ=50°，黏聚力c=1.5MPa。

2.2 自稳系数计算结果与分析

采用有限元强度折减法计算出不同折减下隧道围岩的位移场，绘制如图3所示。

图3 隧道围岩强度折减系数与洞顶位移关系曲线图Figure 3 Relationship between the strength reduction coefficient of tunnel surrounding rock and the displacement of the top of the tunnel

现在以强度折减系数k=1.5为例，叙述计算的过程，并且说明将强度折减法和尖点突变理论结合运用的过程。

由式(9)对k=0.6～1.5共10次折减下的隧道洞顶的位移值δ和强度折减系数进行多项式拟合，可以得到：

17.304x2+7.1026x+3.9699

(16)

经过化简，代入式(11)中可以得到势函数的标准形式为：

(17)

由式(11)可以知道，该尖点突变模型中的u=44.7055，v=18.3169，由式(15)得到该条件下的Δ=4u3+27v2=3.66E+05>0，说明在这种情况下，隧道围岩是稳定的。

重复上述步骤，可以得到基于突变理论的位移判据，各强度折减系数下的稳定性判别值Δ，并列于表1所示。Δ>0，说明隧道围岩没有发生失稳，Δ<0，说明隧道围岩发生了失稳。

表1 隧道洞顶位移随强度折减系数的系统突变判别Table 1 System catastrophe discrimination of tunnel top displacement with strength reduction factor强度折减系数尖点突变模型参数uvΔ稳定性1.10268.674 6182.696 57.85e7稳定1.3012.365 3-12.808 81.20e4稳定1.5044.705 518.316 93.66e5稳定1.5229.251 711.836 41.04e5稳定1.53-20.556 8-2.144 8-3.46e4失稳1.55-43.757 2-13.486 2-3.30e5失稳1.60-50.717 0-17.696-5.13e5失稳1.80-7.326 11.291 3-1.53e3失稳

当强度折减系数从1.52变化到1.53的过程中，隧道围岩的稳定性判别参数Δ从大于0变化到小于0，发生了突变，说明此时隧道围岩的稳定性状态从稳定变化到不稳定，已经发生了失稳破坏，从而可以得到此时深埋隧道围岩的安全系数是1.52，即隧道围岩的自稳能系数k0=1.52。

3 隧道自稳能力影响因素分析

3.1 隧道埋深对围岩自稳能力的影响

当隧道埋深取100、200、300m时，计算隧道围岩顶部位移变化如图4所示。

图4 不同埋深情况下隧道强度折减系数与洞顶位移关系图Figure 4 Relationship between tunnel strength reduction coefficient and roof displacement under different buried depths

按照2节提出的方法，求得当隧道埋深取100、200和300 m时，围岩的自稳系数分别为2.35、1.64和1.52，如图5所示。

图5 隧道埋深与围岩的自稳系数关系图Figure 5 Relationship between tunnel burial depth and self-stability coefficient of surrounding rock

从图5可以看出，在其他变量保持不变的情况下，随着隧道埋深的增加，围岩的自稳系数逐渐变小，也就是说围岩越来越不稳定。郑颖人[6]等研究表明，当埋深为1～18 m时，安全系数越来越大;当埋深为18～50 m时，安全系数越来越小，也从侧面验证了该结论的正确性。

3.2 侧压力系数对围岩自稳能力的影响

当侧压力系数分别取1、2和3时，绘制隧道顶部位移随折减系数的变化关系如图6所示。

图6 不同侧压力系数情况下隧道强度折减系数与洞顶位移关系图Figure 6 Relationship between tunnel strength reduction factor and roof displacement under different lateral pressure coefficients

按照2节提出的方法，求出当侧压力系数为1、2和3时，围岩的自稳能力系数分别是1.52、0.89和0.75。绘制围岩自稳能力系数与侧压力系数的关系如图7所示。

图7 围岩自稳能力系数与侧压力系数关系图Figure 7 Relationship between self-stability coefficient and lateral pressure coefficient of surrounding rock

从图7中可以看出，在其他条件不变的情况下，随着侧压力系数的增大，围岩的自稳系数越来越小，说明此时围岩越来越不稳定，也就是越来越不安全。

4 深埋隧道支护优化方法

一般来说，隧道在进行支护的时候，设计人员为了计算方便，通常采用结构力学的设计原则或者经验方法设计，采用结构力学设计时耗费较多，与安全节约的原理相违背。经验的设计方法一般是根据规范进行设计，但是这样无法定量表达出支护效果，无法进行规范的优化设计，达到节约材料的目的。因此，本文基于突变理论和强度折减法求出各级围岩下隧道的安全系数，以Ⅱ级围岩下的安全系数为标准，即围岩的自稳能力系数k0，Ⅲ、Ⅳ围岩等级下的安全系数与k0的差值为p，定义为支护补给系数。3节中，已经得到围岩的自稳能力系数k0=1.52，按照之前的方法，求得Ⅲ、Ⅳ级围岩等级下的隧道的安全系数如表2所示。

表2 各级围岩下隧道的安全系数Table 2 Safety coefficient of tunnels under surrounding rocks at All levels围岩等级密度/g·cm-3 弹性模量/GPa泊松比粘聚力/MPa内摩擦角/(°)地应力/MPa安全系数Ⅲ2.456.00.300.7398.10.91Ⅳ2.251.30.350.2278.10.45

以Ⅲ级围岩为例，由表2中可以知道，其安全系数为0.91，与隧道围岩的自稳系数k0的差值p=1.52-0.91=0.61，可以知道，在Ⅲ级围岩下，该隧道的支护补给系数为0.61。说明需要通过支护提高的安全系数为0.61，可以通过锚喷支护等支护方法将整体的安全系数提高到1.52，则该隧道可以保持自稳。

5 结论

深埋隧道围岩的稳定性是隧道开挖过程中的首要问题。本文基于公路隧道设计规范(JTG D70—2004)，将强度折减法和突变理论相结合，提出一种量化隧道围岩稳定性的方法，得出如下结论：

a. 通过将强度折减法和突变理论相结合，提出基于隧道洞顶下沉位移突变作为判断隧道围岩破坏的失稳判据。

b. 利用Phase2有限元软件，提出隧道自稳能力的量化方法，结合公路隧道设计规范，确定了深埋隧道在Ⅱ级围岩条件下可以保持自稳，并求出自稳系数为1.52。

c. 分析了埋深和侧压力系数对隧道围岩自稳系数的影响，随着埋深的增大，隧道围岩的自稳系数越来越小；随着侧压力系数的增大，围岩的自稳系数同样越来越小。

d. 针对深埋隧道的支护设计方法，提出支护补给系数这一概念，较传统的支护设计，量化了支护效果，为隧道支护设计提供了一种新的思路。