浅谈数学中的哲学问题

李江宁

（武汉大学数学与统计学院，湖北武汉 430070）

0 引言

数学在高校的学习生涯中占有重要地位，其内在的哲学思想凝结了人类智慧的结晶，不同观点间具对立又统一关系，为人类实际问题解决提供了正确的方向。从某个角度而言，数学与哲学的关系源远流长，十分密切，从哲学的角度探讨数学中的辩证思维，在数学教学中自觉地渗透哲学思想，有助于提高教学的效果，有益于培养学生的哲学素养。

1 哲学与数学相互对立与统一

对于高等数学的定义，我们通常将其看做是初等数学的提升。高等数学的对象，和它所采用的解题方法，较初等数学更为复杂。有部分中学为了提升学生的逻辑思维能力，将较为高深的哲学思想，融入到中学数学当中，并将其作为中学和大学的过渡阶段。这就要求我们以发展的眼光看问题，初等数学向高等数学的转换，也是学生自身素养螺旋式上升的过程。

微积分是高等数学的重要内容，要想学好这一部分，重在理解——对于概念的理解、定理的理解，都决定了对高数的理解深度和广度。对于微积分的学习方法，可以从极限衍生出来的几个定理开始，要求达到合上书自己能推导的程度，然后认真研习证明题和计算题。等到全部掌握极限理论之后，再去学后面的知识就非常简单了。如莱布尼次对微积分基本定量证明时，同时也表明微分与积分之间互为拟运算，具矛盾概念性质，即呈对立状，又较为统一。大区间不可求的量，可分割成多个小房间，对量的微元求出，再对微元的累积和求出，即积分，对量的宏观值获取，充分对同一问题中微分与积分的思想综合作用予以了体现。微积分基本定理对微积分所研究内容的定点予以了构成，在微分与积分属开展高等数学课程重要矛盾点的观点下，对其进行求取，并非看作小问题来解决，而是需用相对统一的方案，来自微分中的定量，经分析，在积分中也可有相应定量推导出，反之相同。二者表现为虽相互对应，同时又统一的关系，属相同事物呈现出的两个方面[1]。

2 哲学与数学相互照应与促进

在哲学思想中，只有一定的量变才能引起质变。高等数学是大学数学的三大巨头之一，在大学数学的学习中占有十分重要的地位。就高等数学而言，这是一众学生在本科学习阶段的基础科目，为日后对各种科目的学习，以及对各种理论的推导，提供了逻辑思维和解题方法。在对高等数学相关运算进行求解的过程中，从本质而言，是实现了事物自一个特殊数量层次，至另一特殊数量层次之间的质变，此种质量在无限量变后才可出现。较多无法求取的量，如变力、体积、面积做的功，在变化压强作用下物理所受的压力，变速直线运动中的位移情况，均可向微元的相关无限累积和转化，上述均是哲学思想中量变至质变的典型体现。在生活中，因能力相对局限，针对事物展开研究时，较难对其全部特征掌握。而从事物局部产生具体规律性的认识，符合哲学上的归纳法，数学中叫积分，由此可由点至线，再到面、体的呈现，自量变引发质变，表现数学与哲学存在相互照应与促进的关系，哲学可指导高数的学习，在高数的学习中，也可体现哲学思想。

3 哲学与数学有限与无限转化

对于一些较为重要的数学概念，例如像函数极限、无穷大与无穷小、函数的连续等，关于这些知识点，我们应该将其作为重点内容去理解。解题中。运用到的公式我们必须熟记并牢背，这对于之后的解题，会起到一个举一反三的效果和作用。有限与无限，在哲学中，相互转化，相互依存，可以在某种特定的情况下实现对立统一，也可在高等数学中，有从有限至无限的更为深入的认识。

在哲学的有限和无限思想中，我们要领悟极限和连续的含义。对于高数而言，极限问题会让人一个头两个大，甚至产生很多疑问，例如为什么要对这些字母或者数字进行如此“无厘头”的运算呢？这些看似十分奇怪的问题，其实都是可以找到缘由的。例如，在不规则运动中。如果我们想要求出一个小球的运动轨迹。那么我们首先会对他进行一个所谓的“正交分解”，然后在坐标轴上建模，进行推导函数的过程。我们要考虑到众多的参数对这个函数影响程度。这时，函数的复杂性、多元性的特点再次被展现得淋漓尽致。

函数的有限与无限之所以难，是因为其表达式的多样性和复杂性。我们可以利用等价无穷小和函数的定义去解题。在运用这些方法时，我们不能仅仅将其简单带入，因为函数的表现形式非常多样，运用这些解题方法同时，我们还要学会化繁为简。函数的化简过程，需要我们掌握一定的基础知识，要及时地预估其发展方向，这就需要我们平时多多练题，总结其中的出题规律和特色。在解决极限问题时，我们要以全局的眼光看待问题，不要过分执着于较少的那一部分，而是需要整体把握，这就充分运用到了哲学理念和知识。在求几个重要的极限，或者等价无穷大（小）时，我们要用上整体的概念，尽管会运用到一些复杂的代数形式，但只要符合解题要求，就能正确将其解出。除此之外，对于连续性的证明，最快捷方便的当属利用定义，即根据函数某处的极限求解函数值，这样一来，我们不仅能知道函数的连续性，还能极大地方便函数的使用[2]。

4 对称性原理

大学数学原理很讲究对称，注重逻辑思维和定理准则上的对称性，其也为哲学的重要思想。我们可以根据这个特点，从对称性的角度来解读数学。所谓的结构对称剖析，就是将数学分成多个结构层次进行剖析。这是数学学习中最为重要和关键的一步，也是对于学生来说最为枯燥的一步。

由于数学中普遍存在对称现象，对称性就成了大学数学的鲜明特征之一。了解大学数学的对称性特征后，对于数学的学习有许多好处。在求解积分的过程中，我们要特别注意利用积分的对称性。例如，可以利用分段积分的特点，将其两边的绝对值去除，后将积分求解出来。值得注意的是，二重积分的计算，以及后续的曲面积分，是高等数学考察的重点内容。除此之外，我们还需要融会贯通地掌握微分方程中，有关齐次和非齐次微分方程的求解方法，对于这些方程，我们要做到能够熟练的判断出方程类型，利用对应的求解方法去解题。

在学习高等数学的过程中，老师要积极引导学生，将所学知识进行内化。通过学生的自主思考和探究，纳入到自己的知识储备中去。老师可以通过积极引导学生探究和思考，制作一个知识脚本，将不懂知识摘录进去。这样一来，在之后的学习过程中，学生就可以做到举一反三，事半功倍。不仅节省了学习高等数学的时间，还能更好地提高学习水平。

5 辩证的思想

作为一门大学的基础性学科，高等数学以其高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性为特点。要想学好高等数学，我们就要用辩证的思想去看待它，做到抽象和具体的统一。

辩证思想在大学数学的学习中广泛存在，并且被很多同学熟练运用。举个简单的例子，函数与方程这两个数学概念，它们密切联系，相互结合，相互渗透。从某种角度而言，许多方程的推导和求解都需要用到函数知识，许多函数的问题同时也需要利用方程的定义去求解。这一来一去，就形成了有关函数与方程之间的辩证关系，后形成了一个较为完整的函数方程思想体系。

除此之外，数学的辩证性还体现在数学的逻辑性当中。这是指在数学理论的归纳和整理中，无论是概念还是表述问题，无论是判断还是推理过程，都需要运用逻辑思维和哲学理念，遵循人类思维的规律。所以说，数学是一种思想方法，学习数学的过程就是思维训练的过程。只有这样，我们才能深入了解和揭示其本质及发展规律，才能使它在其他领域得到更加广泛的应用。

6 结语

数学是从现实世界中抽象出来形成的科学，具有广泛的哲学特征。依据华罗庚学者的观点——宇宙之大、地球之变等，均可用数学来进行描述。数学需对辩证法进行遵循，掌握其规律和运动，以及相关变化和发展，均在哲学思想中有迹可寻，为重要的内容。

大学教学的本质，不仅仅是去学习一些基础知识，重要的是引导学生对数学深入理解，引发学生积极思考，领会其中的逻辑思维，如同哲学，在对整个世界进行研究时，得出普遍规律，可方便量解，为解决问题提供了科学、正确的方法类，对思维发展具启迪作用。数学中的哲学问题，需要在微分与积分、量变与质变、有限与无限等问题求解中去总结，在具体教学中，老师一定要找准数学教学体现哲学思想的定位，真正引领学生明确数学内涵、体会到哲学深度，进而为自身综合素养的增强提供保障。