不确定条件下的零售商库存鲁棒均值-CVaR决策模型

2020-11-16孙艺萌邱若臻张多琦关志民

计算机集成制造系统 2020年10期

孙艺萌，邱若臻，张多琦，关志民

(东北大学工商管理学院，辽宁沈阳 110169)

0 引言

科技的进步和电子商务的发展使得产品信息获取壁垒降低、客户转换成本减少，直接导致消费者偏好的不确定性，从而增加了零售商获取精确需求信息的难度。需求不确定性已成为影响零售商库存决策的重要因素之一。同时，原材料价格的波动、有效劳动力的变动、机器损坏的影响以及自然灾害等突发事件使得供给不确定也成为零售商在库存管理中面临的重要问题。大多数情况下，零售商库存管理面临着供给与需求双重不确定性的考验。以水果销售为例，一方面，新品种的出现和购买渠道的增加导致了水果需求的不确定性；另一方面，天气变化、病虫害影响和运输途中损耗增加了水果供给的不确定性。供需不确定性存在于诸多行业中，如食品加工、生物制药、采矿业、农业等，使得很多营运资金有限的中小企业和个体商户具有不同程度的风险厌恶态度。因此，在供需不确定环境下，研究能够权衡不同程度的风险与收益偏好的零售商库存问题至关重要。

报童模型是在需求不确定环境下解决零售商库存决策的经典模型，许多学者针对该问题进行了广泛研究。Fard等[1]建立了报童决策模型来获得随机需求下的最优库存水平，并利用金融工具缓解需求不确定带来的风险;Hu等[2]以最大化期望利润为目标，在价格敏感型随机需求下建立了采购和定价联合决策的报童模型，并证明了该联合决策优于分离决策;Mitra[3]以最大化收益为目标，以剩余库存的回收/清仓价格为决策变量，在季节性需求是外生随机的而季末需求是内生确定的、季节性需求是外生随机的而季末需求是内生随机的以及季节性需求和季末需求均是内生随机的3种不同条件下，建立随机规划模型并进行了求解;赵文燕等[4]在报童模型框架下，针对易逝品的溢价预售问题，基于前景理论构建了需求不确定条件下的零售商预售决策模型。

如前所述，零售商库存决策不仅受市场需求不确定性的影响，还受到供应商供给能力的影响;Bengen等[5]在报童模型中同时考虑需求和供给的不确定性，研究了需求不确定、供给不确定以及为减少不确定所做的努力对于生产量和总成本的影响;Golmohammadi等[6]在供给不确定和价格敏感型需求不确定下，考虑了有生产能力限制的农产品联合批量生产与定价问题;Chaturvedi等[7]在需求和供给不确定的无限期运营背景下，对持有安全库存，规划过剩产能和多样化供应来源进行联合优化;He等[8]研究了由生产不确定的供应商与面临需求不确定的零售商组成的二级供应链的供应链协调问题。

以上研究虽然在报童模型中同时考虑了需求和供给的不确定性，但都是在需求和供给分布已知的条件下，通过最大化期望利润或最小化期望成本获得最优订货决策。然而现实中，在促销、竞争等各种因素的干扰下，决策者通常难以为报童模型获得准确的需求和供给分布信息。Roy[9]指出模型参数的错误假设会严重影响优化绩效;这促使决策者在运营管理决策中寻找合适的建模与求解方法，以抵御不确定参数的扰动。作为有效应对不确定参数扰动的方法，鲁棒优化被广泛应用于不确定性建模问题中。Scarf[10]首次考虑需求自由分布下的库存控制问题，在仅知需求均值和方差的情况下，利用最小最大鲁棒建模准则获得单周期报童模型的最优订货量。在此基础上，一些学者利用鲁棒优化方法解决了基于报童模型的各种库存决策问题。Abdel-Aal等[11]在不确定需求环境下，考虑选择性报童问题，并利用基于集合的鲁棒优化方法在不同的不确定需求集合下制定最优订货策略;Bai等[12]利用分布式鲁棒优化方法，解决了不确定需求下考虑两种碳减排放计划的双供应源报童模型，即碳排放较高但成本较低的离岸供应源，和碳排放较低但成本较高的近岸供应源;Wang等[13]在报童模型中同时考虑订货和定价问题，在需求与价格相关且需求概率分布不确定环境下，建立了以最小最大后悔值为准则的报童模型。

上述利用鲁棒优化方法解决供需不确定下库存管理问题的文献，均假定决策者是风险中性的。而现实中，受不确定性的影响，决策者通常会呈现不同程度的风险偏好。实证研究表明，决策者实际订货策略通常与风险中性下报童模型所获得的订货策略有一定偏差[14]。为解决这一问题，许多学者采用均值—方差、风险值(Value at Risk, VaR)、条件风险值(Conditional Value at Risk, CVaR)等风险测度来反应决策者的风险态度。然而，均值—方差风险测度对于收益有严格的正态分布假设；VaR风险测度无法测量超过预设置信水平的损失情况，并且不满足一致性风险测量。相比之下，CVaR对于收益没有分布假设，能够度量一定置信水平下的损失超过VaR的尾部事件期望值，同时满足一致性风险测度。因此，CVaR近年来广受学者关注。Xue等[15]以最大化CVaR绩效为目标，在随机需求下制定最优订货决策，并通过购买看跌期权来对冲低需求风险;陈建新等[16]针对风险厌恶且具有资金约束的零售商和风险中性供应商组成的两级供应链，在CVaR准则下研究了供应链回购契约协调问题。类似地，代建生[17]在销售商实施促销努力并拥有部分定价权下，采用CVaR方法研究了供应链收益共享契约协调问题;刘咏梅等[18]针对风险厌恶型零售商，基于CVaR准则建立了考虑战略顾客行为的报童模型，并分析了零售商面对战略顾客时的订购和定价决策。

然而，以CVaR绩效为目标的建模属于风险规避型建模，所做出的决策过于保守[19]。均值-CVaR允许决策者在制定库存策略时平衡风险与收益，其中CVaR用来度量风险，期望利润用来度量收益。Gao等[19]以最大化均值-CVaR绩效为目标，在单周期不确定需求环境下，制定订货与套期保值联合决策;Qiu等[20]在需求分布不确定条件下，分别以期望利润、CVaR绩效和均值-CVaR绩效最大化为目标进行建模来获得报童模型下的最优库存决策;邱若臻等[21]针对风险厌恶型零售商建立了基于均值-CVaR的单周期库存优化模型，通过构建基于似然估计的需求概率分布不确定集合并运用拉格朗日对偶理论，将模型转化为可解的凹优化问题。

由上述分析可以看出，目前关于报童问题的研究大多侧重于单一需求不确定性，对综合考虑需求和供给不确定性研究相对较少；而关于供需不确定下的报童问题研究通常考虑决策者为风险中性，并且假定已知供应和需求概率分布信息，从而导致模型结果缺乏实践中的可应用性。基于此，本文在报童模型框架基础上，针对风险厌恶零售商，综合考虑供给和需求概率分布的不确定性，在均值-CVaR准则下建立具有较低保守性的零售商库存鲁棒优化模型。进一步，在供给与需求概率分布的椭球不确定集下，利用标准对偶理论将所建模型转化为易于求解的数学规划问题，并通过数值实验证明本文模型与方法的有效性。

1 供需不确定条件下基于报童问题的零售商库存优化模型

在单周期环境下，考虑如图1所示的零售商库存控制系统。其中，零售商同时面临来自下游市场的不确定需求d和来自上游供应商的不确定供给能力s，并以利润最大化为目标做出最优库存决策Q。在销售季节开始前，零售商向上游供应商下达Q单位的订单，单位产品采购成本为c；由于供应商受自身产能不确定性影响，仅能供应min{Q,s}单位的产品。销售期开始后，零售商以单位价格为r(r为外生变量)向市场销售产品。在销售期末，若采购量小于实际市场需求，即min{Q,s}c>v。

πij(Q;di,sj)=rmin{min{Q,sj},di}+

v(min{Q,sj}-di)+-g(di-min{Q,sj})+

-cmin{Q,sj}=(r+g-c)min{Q,sj}-

(r-v+g)(min{Q,sj}-di)+-gdi。

(1)

令π=(πij)N×M表示零售商在不同供给和需求情景下的利润矩阵，其中πij(i=1,2,…,N，j=1,2,…M)表示市场需求为di，供给能力为sj下的零售商利润。当需求情景概率p和供给情景概率q已知时，零售商可通过式(2)确定最优订货量Q*：

(2)

2 基于均值-CVaR的零售商库存决策模型

给定订货量Q，在市场需求d和供给能力s下，零售商利润π(Q;d,s)不低于阈值α的概率为：

Φ(Q,α)=Pr{π(Q;d,s)≥α}。

(3)

在给定风险厌恶程度β∈(0,1)下，零售商利润的风险值为：

VaRβ(Q)=sup{α∈R|Φ(Q,α)≥1-β}。

(4)

式(4)表明零售商利润高于阈值α的概率不低于1-β，β越小，决策者风险厌恶程度越高。在式(4)的基础上，零售商利润的条件风险值定义为[21]：

CVaRβ(Q)=bVaRβ(Q)+(1-b)CVaRβ(Q)+。

(5)

CVaRβ(π(Q;d,s))=

(6)

在均值-CVaR准则下，零售商库存优化问题可描述为：

(7)

其中θ(θ∈[0,1])为乐观系数，θ越高，决策者越倾向于获得高利润。特别地，当θ=0时，式(7)等价于条件风险值最大化问题；当θ=1时，式(7)等价于期望利润最大化问题。为了给出不确定供给和需求分布下，式(7)的鲁棒对应，下面将分别给出最坏条件下的条件风险值和期望利润。

最坏供给和需求分布下的零售商利润条件风险值为：

uij≥0,i=1,2,…,N,j=1,2,…,M。}。

(8)

最坏供给和需求分布下的零售商期望利润为：

WC_[π(Q,d,s)]

(9)

综合式(8)与式(9)，基于均值-CVaR的零售商库存优化问题(7)的鲁棒对应模型可描述为：

WC_CVaRβ(Q;d,s)}

(10)

其中u=(uij)N×M，i=1,2,…,N，j=1,2,…,M。式(10)给出了供给和需求最坏分布情形下，零售商CVaR绩效和期望利润间的权衡。因此，基于均值-CVaR的零售商库存策略满足帕累托最优。在不同参数θ下，通过求解问题(10)，可以获得相应的帕累托有效前沿。进一步，式(10)等价于：

s.t.

uij≥α-πij,i=1,2,…,N,j=1,2,…,M,

uij≥0,i=1,2,…,N,j=1,2,…,M。

(11)

注意到，问题(11)因含有min{·}项而难以直接求解。为解决该问题，下文将在不确定概率向量p和q定义基础上运用标准对偶理论将式(11)转化为易于求解的数学规划问题。

3 椭球不确定集下基于均值-CVaR的零售商库存鲁棒优化模型

实施鲁棒优化的关键在于获得易于处理的鲁棒对应模型，这通常取决于不确定参数所隶属的不确定集合。根据Ben-Tal等[23]的研究，椭球不确定集合可以通过调节缩放矩阵的大小来调整不确定集合的范围，能在保证相应策略鲁棒性的同时，降低其保守性。基于此，本文假定不确定需求与供给的概率分布隶属于如下椭球不确定集。

(12)

(13)

3.1 最坏分布下的零售商期望利润

在式(12)与式(13)的基础上，考虑问题(11)第一个约束右端的第一个最小化问题，即

(14)

问题(14)描述了椭球不确定集合下的零售商最坏期望利润。为方便建模，令x=[ξT,ηT]T∈N+M，满足则式(14)可表示为：

(15)

s.t.

Bx≤b。

(16)

其中：

令χf={x∈N+M|Bx≤b}为模型(16)可行域，显然χf为N+M上的凸子集。因此，若可行域χf的半径r0有界，即‖x‖≤r0，∀x∈χf，则模型(16)至少存在一个全局最优解。为利用标准对偶转换求解二次规划问题(16)，引入附加约束‖x‖2≤2μ，从而将问题(16)转化为如下参数规划问题，即

s.t.

Bx≤b,

‖x‖2≤2μ。

(17)

(18)

可以看出：χμ为N+M上的闭凸子集，因此问题(17)至少存在一个全局最小值若可行域χf的半径r0满足则也是二次规划模型(16)的解。因此，下面将利用标准对偶转换，获得参数规划问题(17)的标准对偶模型。

根据Gao[24]提出的标准对偶转换方法，问题(17)的标准几何算子可定义为如下向量值映射：

=(ε,ρ):N+M→S×。

(19)

其中S=N+M+4。定义f为=S×上的一个凸子集，即

f={y=(ε,ρ)∈S×∣ε≤b,ρ≤μ}。

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

=(DΛ(x)T)y*,x∈χf}

(25)

={(ε*,ρ*)∈S×∣ε*≥0,ρ*≥0,

det(A+ρ*I)=0}。

(26)

可得问题(22)中目标函数的标准对偶为：

bTε*-μρ*。

(27)

综合式(26)和式(27)，问题(17)或问题(22)的标准对偶问题可描述为：

(A+ρ*I)-1(k-BTε*)-bTε*-μρ*};

s.t.

ε*≥0,ρ*≥0,

det(A+ρ*I)=0。

(28)

其中：extψ(x)为函数ψ(x)的极值;det(Δ)表示矩阵Δ的行列式。

定理1通过标准对偶转换，原问题(17)与其对偶问题(28)的对偶间隙为零。证明详见附录。

(29)

且

(30)

下述定理2表明，求解原问题(17)或其无约束标准形式(22)，等价于求解其对偶问题(28)的最大化问题。

(31)

证明详见附录。

根据定理2，原问题(17)的等价对偶问题可描述为：

(A+ρ*I)-1(k-BTε*)-bTε*-μρ*。

s.t.

ε*≥0,

ρ*>-min{eig(A)}。

(32)

其中eig(A)为矩阵A的特征值构成的集合。

定理2进一步表明，求解零售商最坏分布下的期望利润可等价转化为求解一个最大化数学规划问题，而不需要指定最坏分布的具体形式。定理1和定理2一方面确保了原有不可解问题和转化后问题的严格等价性，另一方面为解决同类问题提供了方法上的借鉴，尤其适用于多种不确定性扰动下的库存模型的求解。综上所述，椭球不确定集下，最坏分布下的零售商期望利润(15)等价于如下问题的最优值：

s.t.

ε*≥0,

ρ*>-min[eig(A)]。

(33)

3.2 最坏分布下的零售商CVaR绩效

基于式(12)与式(13)中对于椭球不确定集的定义，考虑问题(11)第一个约束中的第二个最小化问题，即

(34)

根据3.1节对变量x的定义，问题(34)可描述为

(35)

s.t.

Bx≤b。

(36)

根据3.1节中的标准对偶转换方法，问题(35)的标准对偶形式为：

(A1+γ*I)-1(k1-BTω*)-bTω*-μγ*};

s.t.

ω*≥0,

γ*>-min[eig(A1)]。

(37)

综合问题(33)与问题(37)，在供给和需求不确定条件下，供需不确定条件下基于均值-CVaR的报童鲁棒优化模型(11)等价于：

uij≥α-πij,i=1,2,…,N;j=1,2,…,M;

uij≥0,i=1,2,…,N;j=1,2,…,M;

ε*≥0;

ω*≥0;

ρ*>-min{eig(A)};

γ*>-min{eig(A1)}。

(38)

其中决策向量(ζ,Q,α,u,ε*,ρ*,ω*,γ*)∈×××N×M×S××S×。

4 数值算例与分析

4.1 风险厌恶程度β对零售商库存决策及运作绩效的影响

由图2可知，由于不确定性的存在，椭球不确定集合下的鲁棒订货量低于已知真实分布下的订货量，并且随着风险厌恶程度降低(即β增加)，零售商订货量呈现递增趋势。由图3可知，随着β的增加，均值-CVaR呈现递增趋势，最坏供需分布下的均值-CVaR绩效低于真实分布下的情况，而鲁棒订货量应用于真实分布下的均值-CVaR绩效接近于真实分布下的均值-CVaR绩效。表1所示为不同β值下鲁棒订货量应用于真实分布下的均值-CVaR绩效相较于真实分布下的均值-CVaR绩效的绩效损失比。由表1可知，不同β值下，该绩效损失比很小。上述结果表明本文所构建的椭球不确定集下的鲁棒优化模型不仅具有良好的鲁棒性，还有效改善了解的保守性，获得了接近于真实分布下均值-CVaR绩效的鲁棒订货策略。

由图4和图5可以看出，基于均值-CVaR的零售商期望利润和CVaR绩效均随着β的增加呈现递增趋势。这是因为在固定θ和α值下，β越大，表明决策者风险厌恶程度越低，相对应的CVaR绩效越高。同时，β增加意味着零售商更倾向于拥有更多库存以获得更高利润，因此订货量和期望利润指标均增加。综合图2～图5中的指标变化趋势可知，在固定的参数θ和α下，随着风险厌恶程度降低(即β增加)，零售商更倾向于增加订货量来获得更高的系统绩效(均值-CVaR)，此时期望利润和CVaR绩效均提高。

表1 不同风险厌恶程度β下的零售商库存绩效及损失情况

4.2 乐观系数θ对零售商库存决策及运作绩效的影响

为了分析不同乐观系数θ对零售商库存决策及相应的均值-CVaR绩效的影响，令参数θ={0.0,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1.0}，同时固定参数β=0.15,α=0.02。图6～图9所示为不同乐观系数θ下的零售商订货量、均值-CVaR绩效、期望利润和CVaR绩效，各指标的计算方式同上。

由图6和图7可知，随着乐观系数θ的增加，零售商倾向于增加订货量来获得更高的系统绩效。图7同样展示了最坏供需分布下的均值-CVaR绩效低于真实分布下的均值-CVaR绩效，而鲁棒订货量应用于真实分布下的均值-CVaR绩效接近于真实分布下的均值-CVaR绩效。表2所示为不同θ下依据文中方法得到的鲁棒订货量所导致的较低的绩效损失比。图6、图7和表2同样验证了文中所建模型具有良好的鲁棒性，相应鲁棒解具有较低的保守性。图8和图9分别表明，随着乐观系数θ的增加，零售商所能获得的期望利润增加而CVaR绩效降低。这是因为随着θ的增加，零售商将更高的权重赋予期望利润而将更少的权重赋予CVaR，以此来获得更高的系统绩效。这与Rockafellar等[26]所述相符，即零售商的期望利润总是高于其利润的条件风险值，因此，θ越大，期望利润和条件风险值的加权之和越大，即系统总绩效越高。

综合图6～图9中的指标变化趋势可知，在固定的参数β和α下，随着乐观系数θ的增加，零售商更倾向于依据期望利润指标进行库存决策，期望利润增加并带动订货量水平和系统整体绩效(均值-CVaR)的增加，而CVaR绩效降低。

表2 不同乐观系数θ下的零售商库存绩效及损失情况

如前所述，依据式(11)所做的决策满足帕累托最优，因而可获得CVaR绩效与期望利润间权衡的帕累托有效前沿。当θ=1时，相当于期望利润最大化问题，此时系统绩效将不受参数β的影响；当θ=0时，相当于单一CVaR最大化问题。为避免这一问题，令θ∈[0.1,0.9]。在固定参数β=0.15,α=0.02下，帕累托有效前沿如图10所示。图10表明，随着θ的增加，零售商期望利润增加而CVaR绩效降低。

4.3 不确定性程度对零售商库存决策及运作绩效的影响

为了进一步考察不同不确定性程度对零售商库存决策及相应的均值-CVaR绩效的影响，令参数α={0.00,0.01,0.02,0.03,0.04,0.05}，同时固定参数β=0.15，θ=0.10。其中，α=0等价于没有不确定性时的真实分布，α越大，表示不确定参数的波动范围越大，不确定程度越高。遵循4.1节中计算过程，获得零售商鲁棒订货量、均值-CVaR绩效、期望利润和CVaR绩效分别如图11～图14所示。可以看出，随着不确定程度的增加(即α增加)，零售商鲁棒订货量、均值-CVaR绩效、期望利润和CVaR绩效均呈下降趋势。这是因为不确定程度的增加使得零售商面临更大的风险，为规避供需不确定性带来的风险，零售商采取更为保守的订货策略，从而获得较低的系统绩效。进一步，由表3可知，随着α的增加，鲁棒订货量用于真实分布下的均值-CVaR绩效相较于真实分布下的均值-CVaR绩效，其绩效损失比增加。这一结果表明决策者应该提高对不确定性预测的精度，以降低可能的绩效损失。

表3 不同扰动系数α下的零售商库存绩效及损失情况

4.4 风险厌恶程度β、乐观系数θ和扰动系数α对零售商库存决策运作绩效的综合影响

在4.3节的基础上，为进一步分析不同风险厌恶程度β和乐观系数θ下，扰动系数α对零售商库存决策及相应的均值-CVaR绩效的影响，在参数β=0.15，θ=0.10以及β=0.50，θ=0.90下进行数值实验。两组参数中，前者具有较高的风险厌恶程度和较低的乐观系数，将其定义为保守型零售商；而后者具有较低的风险厌恶程度和较高的乐观系数，将其定义为开放型零售商。两组参数下零售商的订货量和均值-CVaR绩效如图15～图16所示。由图15可知，扰动系数α的增加对开放型零售商订货量的影响小于对保守型零售商订货量的影响，即随着α的增加，β=0.50，θ=0.90下订货量的变动幅度小于β=0.15，θ=0.10下订货量的变动幅度。这是因为相比于保守型零售商，开放型零售商对于不确定性所致风险的敏感性程度较低，因此不确定性程度的变动对其订货决策的影响较小。

由图16可知，随着扰动系数α的增加，开放型零售商的最坏绩效(即最坏供需分布下鲁棒均值-CVaR绩效)与鲁棒真实绩效(即鲁棒订货量用于真实分布下的均值-CVaR绩效)之间的差距显著增加，而保守型零售商的这一差距较为平稳。一方面，开放型零售商倾向于订购更多产品以获得较高利润，从而更容易造成较高订货成本和库存剩余。因此，随着不确定性程度的增加(即α增加)，开放型零售商所承担的市场风险更大，导致其最坏情况系统绩效波动更大，因此鲁棒真实绩效与最坏绩效之差较大;另一方面，与开放型零售商相反，保守型零售商已经采取较为稳健的订货策略，因此其最坏情况系统绩效在扰动系数α增加时波动较小，从而使鲁棒真实绩效与最坏绩效之差变化较小。综合图16中乐观型零售商与保守型零售商的绩效变化可知，随着扰动系数α的增加，虽然乐观型零售商的鲁棒绩效波动比保守型零售商的大，但是两者的鲁棒订货量在真实分布下的绩效波动均较小。这表明，本文所用求解方法既能保证模型的鲁棒性，又能保证鲁棒解应用于实际需求时所获绩效表现良好。

进一步，图17～图18分别描述了保守型零售商和开放型零售商的期望利润以及CVaR绩效。由图17和图18可知，保守型零售商与开放性零售商的期望利润和CVaR绩效均随着不确定程度α的增加而减少。特别地，由图17可以看出，对于保守型零售商，随着不确定程度α的增加，期望利润的下降程度高于CVaR绩效的下降程度。而由图18发现，对于开放型零售商，随着不确定程度α的增加，CVaR绩效的下降程度高于期望利润的下降程度。这是因为保守型零售商为获得更稳定的系统绩效，赋予CVaR更高的权重，使条件风险值在决策中起主要作用，因此随着不确定程度α的增加，CVaR绩效下降相对缓慢；而开放型零售商为获得较高的系统绩效，赋予期望利润更高的权重，使期望利润在决策中起主要作用，因而随着不确定程度α的增加，期望利润下降相对缓慢。

4.5 管理启示

针对供需不确定环境下具有风险厌恶的报童产品零售商，得到以下管理启示：

(1)零售商风险厌恶程度越高，越要实施保守的订货策略，但会导致均值-CVaR绩效降低，同时期望利润绩效和CVaR绩效均降低。

(2)零售商乐观程度越高，越要增加订货量以提高均值-CVaR绩效，此时零售商期望利润会增加，而CVaR绩效降。

(3)供需不确定程度增加，均值-CVaR绩效、期望利润绩效和CVaR绩效均会降低，此时零售商要采取保守的订货策略以规避不确定性风险。

(4)零售商要综合考虑其风险厌恶程度与乐观程度，判断其风险偏好类型，若为保守型零售商，则要减少订货量，以减轻供需不确定带来的风险，这样该零售商的最坏情况系统绩效在供需不确定性程度增加时变化较为平稳；若为开放型零售商，则可相对增加订货量，以提高系统整体绩效，但是该零售商的最坏情况系统绩效在供需不确定程度增加时波动较大。