基于改进灰色TOPSIS模型的信号—响应系统稳健参数设计

熊晓琼，李智豪，李昇平

(汕头大学 工学院，广东 汕头 515063)

0 引言

稳健参数设计的基本原理是利用产品/制造过程的响应变量与可控因子之间的函数关系，通过选择可控因子的最优水平组合来减少产品/制造过程对噪声变化的敏感性，从而达到减小系统性能波动的目的[1]。根据响应变量的变化特点，产品/制造过程可分为简单响应系统和信号—响应系统两类[2]，即田口方法中提到的具有静态特性和动态特性的系统。前者的响应变量具有特定的最优值，可能是望大、望小或望目特性；后者的响应变量随着信号因子的改变而取不同的值，响应值与信号因子之间存在一定的函数关系。在工程实际中，许多产品/制造过程可以被描述为信号—响应系统，例如机械加工工艺系统，通过改变工具钻头的进料速度可以加工出不同的零件表面粗糙度；又如汽车转向系统，通过调整方向盘的转动角度可以得到不同的车辆转弯半径；再如注塑成型系统，通过改变高注射压力可以实现不同的材料注入量。信号—响应系统的稳健参数设计方法研究的就是在噪声因子的干扰下，如何确定可控因子的最优水平组合，使得响应值与信号因子之间的关系尽可能稳定，从而得到波动较小且满足动态要求的响应值。

目前，大部分稳健参数设计研究主要针对简单响应系统，对信号—响应系统的稳健参数设计方法研究较少。Miller等[2]将信号—响应系统分为多目标系统和测量系统，提出性能指标建模方法和响应函数建模方法，建立了信号—响应关系和可控因子、噪声因子之间的多项式回归模型，由此评估产品的稳健性，确定最优的可控因子水平；Joseph等[3]和Dasgupta等[4]在此基础上分别对多目标系统和测量系统的稳健参数设计进行了研究;Gupta等[5]利用广义线性模型实现了信号—响应系统的稳健参数设计;Jung等[6]利用人工神经网络建立了信号因子、可控因子、噪声因子与响应之间的近似模型;崔庆安[7]提出一种基于支持向量回归机和遗传算法的信号—响应系统稳健参数设计方法;Xiong等[8]利用响应方差在信号因子变化范围内的均值和标准差描述非线性信号—响应关系的波动，提出一种基于kriging模型的非线性信号—响应系统稳健参数设计方法。上述研究关注的都是单个响应变量的情况。

田口方法作为传统的稳健设计方法，在许多领域得到了良好的应用[9-11]，但其不能很好地解决多响应问题。因此，一些学者在田口方法的基础上，通过建立一个综合性能指标，将多响应问题转化为单响应问题，以降低分析过程的复杂程度并减小计算量。李昇平等[12]运用灰色关联分析法建立静态特性和动态特性稳健设计方法。针对信号—响应系统，Tong[13]利用逼近理想解排序法(Technique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution, TOPSIS)构建了综合度量指标来解决动态多响应稳健参数设计问题；Wang[14]提出了基于主成分分析法与多目标决策的灰色关联度模型；马义中等[15]利用满意度函数对多个响应的系统敏感度和系统波动进行度量，以综合灰色关联度作为综合度量指标。针对简单响应系统，Li等[16]提出一种基于主成分分析和灰色关联分析的多响应稳健设计方法；Kalyon等[17]将基于田口方法的灰色关联分析法应用于高铬铸铁硬切削加工参数优化中；Roy等[18]将模糊层次分析法和模糊TOPSIS法相结合用于电火花加工工艺的多目标优化。然而，这些研究中大多数是假设响应变量之间相互独立，未考虑多个响应变量之间存在相关性问题。一般情况下，多响应系统的各个响应变量之间普遍存在关联冲突的问题，相互制约、相互影响。

随着顾客需求层次和产品复杂程度的不断提高，产品制造过程已逐步由简单响应系统向信号—响应系统发展。目前，大多学者的研究主要集中在简单响应系统的稳健参数设计方法，不能适用于信号—响应系统；对于多响应变量之间的相关性也很少加以考虑和处理，这会对设计结果产生影响，甚至导致非最优的设计解。针对上述问题，本文以田口方法为基础，利用主成分分析法解决多响应的关联冲突问题，结合灰色关联分析法和TOPSIS法建立改进的灰色TOPSIS模型，提出灰色相对贴近度作为综合性能指标来反映系统的稳健性，为具有多个响应变量的信号—响应系统的稳健参数设计提供了一种有效的解决方案。

1 信号—响应系统描述

信号—响应系统通过改变信号因子的输入水平使产品性能允许在一定范围内变化，以满足顾客的不同需求。例如不同的用途要求零件具备不同的表面粗糙度，因此需要某种能够控制零件表面粗糙度的方法。这是一个典型的信号—响应系统，响应变量是零件表面粗糙度，可以选择工具钻头的进料速度作为信号因子，选择车床类型、切割速度、工具深度、角半径、切割边缘角等作为可控因子。稳健参数设计的目标是确定最优的可控因子水平组合，使得进料速度与表面粗糙度之间的关系对噪声变化不敏感，通过进料速度能够有效、可靠地控制表面粗糙度。

本文研究的是具有一个信号因子和多个响应变量的信号—响应系统(如图1)。响应变量Y受到信号因子M、可控因子X和噪声因子Z三类因子的影响。其中，M与Y之间存在一定的相关关系，Y=f(M)+ε，这种相关关系还受到X的影响，不同的可控因子水平组合对应不同的相关关系。噪声因子则是系统性能波动的主要来源，即Z的存在使得Y在相同的M，X水平时产生随机波动ε；噪声因子主要包括外噪声、内噪声和产品间噪声。

信号因子与响应变量之间的关系可以是线性相关或者非线性相关，目前相关文献中大多考虑线性相关的信号—响应关系，或将非线性关系通过函数变换转化为线性关系[19]。因此，本文针对线性相关的信号—响应系统研究多响应稳健参数设计问题。响应变量Y与信号因子M之间的线性关系可以用一元线性回归模型表示如下：

(1)

Taguchi[1]提出采用动态信噪比η=In(β2/σ2)作为稳健性指标，利用正交试验和内外表设计对动态信噪比和灵敏度进行方差分析，确定稳健性最优的可控因子组合，再选择一个对灵敏度有显著影响而对动态信噪比影响很小的调节因子，通过改变调节因子的水平使β达到目标值。该方法在实践中应用比较广泛，但是不能很好地解决多响应问题。因此，本文根据具有多个响应变量的信号—响应系统的特点，在田口方法的基础上，建立改进的灰色TOPSIS模型，提出灰色相对贴近度作为综合性能指标，将多响应问题转化为单响应问题，避免复杂的数学或统计过程，提高方法的易操作性。

2 改进的灰色TOPSIS模型

TOPSIS法是多目标决策分析中一种常用的有效方法。其基本原理是通过构造多目标决策问题的理想解和负理想解，对各方案进行排序，若方案最靠近理想解同时又最远离负理想解则为最佳，否则不为最佳。该方法计算简便、应用灵活、评价结果合理，具有直观的几何意义，但也存在不足之处：传统TOPSIS法采用欧氏距离计算各方案到理想解与负理想解的距离，主要考虑数据序列之间的相对位置，由此得到的是一个刚性解，不能很好地适用于复杂、动态的情况。

灰色关联分析法是灰色系统理论的重要组成部分，其基本思想是根据因素之间发展态势的相似或相异程度来衡量因素间的关联程度，即数据序列曲线的形状越相似，其关联度越大，否则越小。由于灰色关联分析法是根据发展趋势进行分析，对样本量的大小没有太高的要求，也不需要典型的分布规律，而且分析的结果一般与定性分析相吻合，因此具有广泛的实用价值。

传统TOPSIS法考虑各方案与理想解和负理想解的相对位置，忽略了各方案的变化趋势；而灰色关联分析法主要衡量数据序列曲线的相似性，尤其适合分析变化趋势和发展态势。因此，将TOPSIS法和灰色关联分析法相结合，可以充分发挥这两种方法各自的优点并弥补不足。近年来，已有一些学者将灰色关联分析法和TOPSIS法相结合应用于稳健设计方法的研究[20-23]，但是存在以下几方面的不足：

(1)没有考虑和处理多个响应变量之间的关联冲突问题，这会对设计结果产生干扰。

(2)通过各种主、客观方法确定各个响应变量的权重值，不同的赋权方法会对设计结果造成影响。

(3)大多是用灰色关联系数替代欧氏距离来计算相对贴近度，如何确定一个合理且有效的综合性能指标还有进一步的研究空间。

针对以上几点不足，本文结合主成分分析法、灰色关联分析法和TOPSIS法提出一种改进的灰色TOPSIS模型。该模型具有如下特点：

(1)利用主成分分析法考虑并处理了多个响应变量之间的关联冲突问题，并采取只消除相关性但不降维的策略，其优点是保证互不相关的主成分的个数和响应变量的个数一致，使得消除相关性的同时最大程度地保留原始变量的信息，而且在工程实际中产品/制造过程的响应变量个数一般不会太多，不降维不会对计算量有太大的影响。

(2)由于构建综合性能指标是基于转化后的主成分序列，因此将主成分分析中确定的各个主成分的方差贡献率作为权重值用于后续的计算中，以保证赋权客观和合理。

(3)将灰色关联度和欧氏距离以偏好系数赋权组合来替代传统TOPSIS法中的欧氏距离，进而定义灰色相对贴近度作为综合性能指标，这样可以同时反映响应数据序列的相对位置和变化趋势，更全面地体现信号—响应系统的稳健性。

3 稳健参数设计实现过程

本文基于所提出的改进灰色TOPSIS模型来实现信号—响应系统的稳健参数设计，方法流程图如图2所示。

方法的具体步骤如下：

步骤1根据试验数据计算信噪比和灵敏度。

对于线性相关的信号—响应系统，假设响应值和信号因子之间的线性模型为：

Yij=βijM+εij。

(2)

式中：Yij为第i轮试验中第j个响应的响应值(i=1,2,…,m，j=1,2,…,n);M为信号因子;βij为Yij的斜率;εij为Yij的随机误差，且εij服从均值为0、方差为σij的正态分布。

信号—响应系统的动态信噪比和系统灵敏度的计算公式如下：

(3)

(4)

其中：ηij为第i轮试验中第j个响应的动态信噪比;δij为第i轮试验中第j个响应的系统灵敏度。

步骤2执行主成分分析，计算主成分序列。

首先需要对信噪比和灵敏度进行标准化处理，确保其量纲和数量级的统一。这里采用极差变换法进行标准化处理，由于信噪比和灵敏度均具有望大特性，因此信噪比和灵敏度的标准化公式如下：

(5)

(6)

步骤3构建标准化加权决策矩阵，确定理想解和负理想解。

在本文所提出的改进灰色TOPSIS模型中，信噪比决策矩阵由信噪比主成分序列构成，灵敏度决策矩阵由灵敏度主成分序列构成，且决策矩阵需经过标准化和加权处理。

信噪比主成分序列和灵敏度主成分序列的标准化公式分别为：

(7)

(8)

灵敏度的理想解和负理想解集合为

步骤4定义灰色相对贴近度。

(1)计算欧氏距离

(9)

(10)

(11)

(12)

(2)计算灰色关联度

(13)

(14)

(15)

(16)

其中ρ为分辨系数，且ρ∈(0,1)，通常ρ=0.5。

(17)

(18)

(19)

(20)

(3)计算灰色相对贴近度

(21)

(22)

(23)

(24)

其中α1和α2表示对响应数据曲线的相对位置和变化趋势的偏好系数，α1+α2=1。

作为综合性能指标的灰色相对贴近度定义如下：

(25)

(26)

步骤5通过因子效应分析确定稳健参数设计结果。

(1)通过信噪比灰色相对贴近度的因子效应分析，得到最优的因子水平组合和可控因子的重要程度排序。

(2)结合灵敏度灰色相对贴近度的因子效应分析，确定调节因子。调节因子的作用是在保证系统波动尽可能小的前提下，使得均值尽可能接近目标值。本文中调节因子是对灵敏度灰色相对贴近度有重要影响但对信噪比灰色相对贴近度影响很小的因子。

步骤6预测和比较不同因子水平组合下各响应的信噪比以及综合信噪比。

根据正交试验的要求，需要按照最优因子水平组合进行验证性试验。对于不具备试验条件的情况，本文采用相加模型(additive model)[24]对不同因子水平组合下各响应的信噪比进行预测，根据预测结果的比较来验证本文方法的有效性。

首先，第j个响应在i轮正交试验下的信噪比均值为：

(27)

(28)

假设各响应的重要程度相同，则取相同的权重计算得到综合信噪比

(29)

4 算例分析

运用本文所提方法对温控电路和注塑成型试验两个算例进行分析，以验证该方法的适用性和有效性。

4.1 温控电路稳健参数设计

温控电路是一个比较常见和典型的信号—响应系统，其功能是将一个房间或某个物体的温度维持在一个目标值上，常用于制冷或制热系统。温控电路有一个热敏电阻RT，会随室内温度的上升而降低。当人们给定一个目标温度T时，温控电路用其特定机构(惠斯特电桥)将T转化为热敏电阻的目标值mT。当温度下降时，热敏电阻RT上升，当RT超过mT时，就会打开加热器；反之，当温度上升时，热敏电阻RT下降，当RT低于mT时，就会关闭加热器[24]。简言之，温控电路的目的就是将目标温度与所测温度相比较以做出相应的决策：打开加热器或关闭加热器，其示意图如图3所示。

温控电路所关注的两个具有望目特性的响应变量分别是加热器处于打开状态下的电阻RT-ON和关闭状态下的电阻RT-OFF。

根据电路分析技术，RT-ON和RT-OFF与温控电路中其他参数的关系为：

(30)

(31)

其中：R1、R2、R3、R4为电阻标称值;E0为电源电压，EZ为二极管的端点电压;RT-ON和RT-OFF是连续变量，且直接与开关加热器有关。

在温控电路中，4个电阻R1、R2、R3、RT形成一个惠斯特电桥，可用R1、R2、R3中任何一个来调整RT。本文选择R3作为信号因子，这样信号因子与响应变量之间存在线性关系。由于E0是电源电压，其变化不可控制，因此可控因子为R1、R2、R4和EZ。信号因子和可控因子及其水平如表1所示。

表1 温控电路因子水平表

该算例选择正交表L18(37)，对于信号因子R3的每个水平，由式(30)和式(31)分别计算响应变量RT-ON和RT-OFF在综合噪声因素不同水平下的响应值，因此每轮试验中RT-ON和RT-OFF可分别得到9个试验数据。限于篇幅，试验数据不在文中详细列出。

依据上文提出的方法步骤，温控电路的稳健参数设计具体如下：

(1)由式(3)和式(4)分别计算得出动态信噪比ηij和系统灵敏度δij(i=1,2,…,18,j=1,2)，计算结果如表2所示。

表2 温控电路的动态信噪比和系统灵敏度

表3 温控电路的主成分分析结果

续表3

以对应的特征向量的元素作为主成分线性组合的系数，信噪比主成分序列和灵敏度主成分序列分别计算如下：

其中i=1,2,…,18。计算结果如表4所示。

表4 温控电路的主成分序列

表5 温控电路的灰色相对贴近度

续表5

(4)因子效应分析。

温控电路的信噪比灰色相对贴近度和灵敏度灰色相对贴近度的因子效应分析如图4所示，由此可得出以下结论：

1)根据R1，R2，R4，EZ在各水平处的信噪比灰色相对贴近度的平均值，可确定温控电路的最优因子水平组合为(R1)1(R2)1(R4)3(EZ)3。

2)根据各可控因子在各水平处的信噪比灰色相对贴近度的波动极差，可确定可控因子的重要程度排序为R4>R2>EZ>R1。

3)由于因子R1对信噪比灰色相对贴近度的影响最小，而对灵敏度灰色相对贴近度具有重要影响，确定R1为调节因子。

(5)结果分析与讨论。

为验证本文方法的有效性，选择温控电路初始因子水平组合和文献[24]中确定的最优因子水平组合与本文确定的最佳因子水平组合进行对比，根据式(27)～式(29)预测不同因子水平组合下RT-ON和RT-OFF的信噪比以及综合信噪比，具体结果如表6所示。从表6中可看出，虽然在本文最优因子水平组合下，RT-OFF的信噪比预测值略低，但RT-ON的信噪比预测值和综合信噪比预测值均优于初始组合和文献[24]的组合。

表6 温控电路设计结果对比

根据温控电路响应变量RT-ON和RT-OFF的原始试验数据，可以计算得到二者之间的相关系数为0.84，由此可知RT-ON和RT-OFF之间存在高度相关性。若对这种相关性不加以处理，两个响应变量之间会互相影响，导致不能同时达到最优，使设计结果出现偏差。本文通过主成分分析法消除了RT-ON和RT-OFF之间的相关性，基于不相关的主成分序列构建了灰色相对贴近度，从而提高了设计结果的合理性和有效性。

在温控电路的设计过程中，稳健参数设计结果起到了很好地指导意义。根据上文得到的最优因子水平组合确定温控电路设计参数的取值，使温控电路在噪声因子的干扰下，可以通过信号因子R3有效地控制响应变量，保证RT-ON和RT-OFF的波动尽可能小。由于电阻R4和R2的重要程度较高，为显著性因素，应重点保证其最优水平，而二极管的端点电压EZ重要程度稍低，可以结合成本考虑其水平，以达到更高的性价比。同时，可通过调节因子R1使响应值尽可能接近目标值。

综上所述，本文所提方法能够有效地实现温控电路的稳健参数设计，具有一定的优越性。

4.2 注塑成型试验稳健参数设计

注塑成型广泛用于制造各种塑料材质的零部件，是将塑料(一般为粒料)在注塑成型机的料筒内加热熔化后，在柱塞或螺杆加压下，通过料筒前端的喷嘴以很快的速度注入温度较低的闭合模具内，经过一定时间冷却定型后得到制品。本文考虑文献[2]所提注塑成型试验，由于注塑成型机需要根据不同的使用情况或顾客需求注射不同量的材料，这样注塑成型过程就可以看成是信号—响应系统——将零件重量作为响应变量，选择高注射压强作为信号因子，因为它可以改变材料注入量。试验中包含7个两水平的可控因子(如表7)和4个噪声因子，为减少试验次数和试验费用，定义一个两水平的综合噪声因子来表示这些噪声因子的水平(如表8)。

表7 注塑成型试验可控因子及水平

表8 注塑成型试验综合噪声因子及水平

续表8

该算例选用正交表L8(27)，根据综合噪声因子的不同水平分别进行试验。对于每一个可控因子水平组合，信号因子以每次增加50 Pa的步长从650 Pa变化到1 000 Pa。在每个信号因子水平下，制造并称重4个零件。原试验数据详见文献[2]。

由于该试验原为单响应问题，因此本文对原试验数据进行处理，每轮正交试验中，每个信号因子水平下，计算原响应变量(零件质量)的均值和标准差。这样，该信号—响应系统转换为一个双响应问题，两个响应变量为零件质量的均值y1和零件质量的标准差y2，分别具有望目和望小特性。处理后的试验数据如表9所示。

表9 注塑成型试验的响应变量数据

续表9

同样按照前述方法步骤对注塑成型试验进行稳健参数设计，可依次计算得到动态信噪比、系统灵敏度、主成分序列以及灰色相对贴近度。限于篇幅，仅列出灰色相对贴近度的计算结果，如表10所示，因子效应分析结果如图5所示。通过分析可得，注塑成型试验的最优因子水平组合为(x1)1(x2)2(x3)2(x4)1(x5)2(x6)2(x7)1，重要程度排序为x1>x5>x6>x2>x4>x3>x7，调整因子为x7。

表10 注塑成型试验的灰色相对贴近度

对本文确定的最优因子水平组合与文献[2]中确定的最优组合分别进行信噪比预测，其对比结果如表11所示。从表11中可看出，在本文的最优因子水平组合下，响应y1，y2的信噪比预测值以及综合信噪比预测值都比文献[2]的最优因子水平组合下的预测值大，且y2的信噪比得到了较大幅度的改善。因此，本文方法具有一定的优越性。

表11 注塑成型试验设计结果对比

5 结束语

本文针对具有多个响应变量的信号—响应系统，利用主成分分析法消除多响应之间的相关性且最大程度地保留原始响应信息，基于不相关的主成分序列，构建了灰色相对贴近度作为稳健性指标，以此建立了改进的灰色TOPSIS模型，并结合田口方法获得了稳健参数设计方案。通过温控电路和注塑成型试验两个算例验证了所提方法的有效性，由结果对比可以看出应用所提方法可以得到更好的稳健参数设计方案。

传统的制造过程多为简单响应系统，但是随着制造过程的日益复杂化，会出现越来越多的信号—响应系统，且由单响应问题向多响应问题发展。本文所提方法避免了复杂的数学或统计计算，对数据的样本量和分布规律没有明确的要求，适应性好，可以为实现信号—响应系统的多响应稳健参数设计提供一种有效的途径，具有很好的工程应用前景。

需要指出的是，本文仅考虑了信号因子与响应变量之间存在线性相关关系的情况，而对于非线性的信号—响应关系，动态信噪比具有一定局限性。未来信号—响应系统会愈加复杂，如包含多个信号因子、信号—响应关系高度非线性等，因此下一步将研究合适的稳健优化模型和方法以适用于更加复杂的信号—响应系统。