素养导向下的高考数学——新高考I卷(供山东省使用)试题分析

山东 杨长智

新高考I卷(供山东省使用)试题是国家考试中心为山东省命制的高考试题(以下简称山东卷)，试题以《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》(以下简称课标)为依据，以高考评价体系为准绳.命题突出数学学科特色，试题由能力立意向素养导向转变，试题稳中求变，变中求新，多项选择题、半开放试题的出现体现了课改方向.

笔者参加了教学考试杂志社“优师计划”一轮基础知识测评体系(山东省)项目，这个项目适用于新高考地区高三学生一轮复习阶段，其研发成果将作为一轮复习阶段的基础知识检测, 对一轮复习阶段的学习成果进行检验，故项目整体研发逻辑是构建一个完善的知识体系，并拟定以原创试卷的形式结合测评体系，检测学生在一轮复习阶段知识的薄弱点，实际高效地帮助学生夯实基础知识，为二轮复习奠定基础.

本文将从试题特点、项目匹配度、内容主线、思维维度、教学启示等方面对山东卷进行分析.

一、试题特点

1.在题型和试卷结构上进行了调整

山东卷的题型结构为8个单选题，每题5分，共40分；4个多选题，每题5分，共20分；4个填空题，每题5分，共20分；6个解答题，共70分，其中有一道半开放试题.

原来高考题中单纯的单项选择题，存在着一定的猜测几率，而多项选择题，可以考查学生对每个选项的思考，减少了答题的随机性，作为5分的选择题，学生得3分的较多，更容易得到基础分.多选题的多级得分模式有利于提高低水平考生的得分，也有利于区分出高能力考生.半开放试题的引入，增强试题条件的开放性，对数学理解能力、数学探究能力的考查能够起到积极的作用.

2.试题背景设置彰显立德树人的育人目标

山东卷强调应用背景与前沿问题、现实及体育、劳育的衔接，第4题日晷问题将传统文化与立体几何完美结合；第6题再生数与“抗疫”结合；第12题信息熵与科技前沿联系；第5、15题分别考查了体育、劳育；第19题环保问题让学生意识到保护环境的重要性.从试题的背景来看，引导学生关注社会，坚持立德育人.

3.注重数学理性思维，突出数学本质

山东卷注重对数学理性思维的考查，第7题正六边形中的数量积问题，考查了数量积的运算法则，利用坐标运算更加接近问题的本质；第17题半开放试题，学生选择可能不同，但考查的都是三角形中边角的数量关系；第22 题椭圆问题，对数学本质的考查更加到位，从角度为直角可以得出直线恒过定点.

4.从能力立意向素养导向转变，突出对核心素养的考查

22道题目，每道题都对数学运算进行了考查，虽然高考提倡“多一点思维，少一点运算”，但不可否认，运算关仍然是制约学生成绩提高的关键因素.直观想象不单纯是在立体几何中考查，在第8，10，18题的函数、三角、数列中也有所体现.

二、项目匹配度

从项目的考点细目表来看，设置内容包括知识点的考查、试题的呈现方式、试题结构、试题情境、数学思想方法、核心素养的落实及试题的难度系数等方面.从对山东卷的分析可以看出，我们的项目与国家命题中心的思路完全吻合.

1.知识点分布依据全国卷及新高考地区的考频特点分布，整卷涉及知识点数不少于40个.

2.题型与结构

单选题8道、多选题4道、单空题3道、多空题1道(虽然今年高考没有此题型，但近几年的高考中都显露出此信息)、解答题6道.

3. 试卷命题素材

命题情景创设(素材选择)标准：坚持科学性、反映时代性、体现民族性并凸显公共性.素材本身无科学性错误，不存在由于学生生活环境偏差导致的不公平测量结果的可能.素材主题积极向上，弘扬民族精神.

4.试题情境

试题情境可分为课程学习情境、探索创新情境、生活实践情境.

课程学习情境：选取的情境型材料直接源于学生已有的数学课程学习，材料所隐含的知识与方法之间的关联也为学生所熟悉，相应的情境活动的进行直接源于已有知识与方法的回忆性再现.

探索创新情境：选取的情境型材料源于学生已有的数学课程学习，但材料的表述方式、材料所隐含的知识与方法之间的关联，较为隐形地源于学生的已有学习体验或学习储备.相应情境活动的进行必须依赖于材料的创造性解读与转换、相关方法的创造性迁移与运用.

生活实践情境：选取的情境材料源于实际的社会生活问题(包括衣食住行、卫生健康、文体娱乐、生产制造、经济发展、科学技术等方面)，材料所隐含的数学知识和方法、数学问题模型的建构和解决都较为直接地源于学生已有的学习储备.

从山东卷分析可以得出课程学习情境题15道，探索创新情境题3道，生活实践情境题4道，与 “优师计划”项目中试题的设置大致相当.

三、内容主线

课标将高中知识内容分为预备知识、函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动几个方面，按四基中基础知识层次，各部分设置分值如下表：

题号内容分值知识点 预备知识(课时:18)函数(课时:82)几何与代数(课时:86)概率与统计(课时:46)1集合52复数 53排列组合54立体几何55统计56函数57向量58函数59圆锥曲线510三角函数511不等式512概率513圆锥曲线514数列515三角函数516立体几何517三角函数1018数列1219概率1220立体几何1221函数1222圆锥曲线12分值合计15595422分值占比0.10.3930.360.147课时占比0.0780.3530.3710.198

从上表可以看出，教学内容与高考考查对应分值占比大致相当，这就提示我们在平时教学时，夯实基础知识，落实通性通法，不要为赶进度压缩课时，造成“夹生饭”现象.

四、思维维度

对每道题目的分析主要从以下几个方面入手：知识点的考查、试题的呈现方式(文字题、图表文字题、图形文字题)、试题结构(单一、综合、创新或新定义)、试题情境(课程学习情境、探索创新情境、生活实践情境)、数学思想方法、核心素养的落实及试题的难度系数等方面.

(一)预备知识

1.设集合A={x|1≤x≤3},B={x|2

A.{x|2

C.{x|1≤x<4} D.{x|1

【答案】C.

本题考查了集合的并集运算，试题的呈现形式是文字题，试题结构单一，试题情境为课程学习情境，难度系数在0.9左右，体现了数学运算的核心素养.

5.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( )

A.62% B. 56% C. 46% D. 42%

【答案】C.

本题以体育锻炼为背景，考查集合内容，试题的呈现形式是文字题，试题结构单一，试题情境为生活实践情境，需要有一定的阅读理解能力，与韦恩图结合，考查了数形结合思想，难度系数在0.8左右，体现了逻辑推理、数学建模与数学运算的核心素养.

11.已知a>0，b>0，且a+b=1，则( )

【答案】ABD.

本题以不等式为载体，对化归与转化思想进行了考查，试题的呈现形式是文字题，试题结构综合，试题情境为课程学习情境，难度系数在0.7左右，体现了逻辑推理与数学运算的核心素养.

(二)函数

6.基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)=ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) ( )

A. 1.2天 B. 1.8天

C. 2.5天 D. 3.5天

【答案】B.

本题与生物学融合，跨学科命题，考查指数函数与对数函数，试题的呈现形式是文字题，试题结构创新，试题情境为探索创新情境，基于新冠肺炎疫情初始阶段累计感染病例数的数学模型的研究成果，考查相关的数学知识以及从资料中提取信息的能力，突出数学和数学模型的应用，需要有一定的阅读理解能力，考查了化归与转化的思想，难度系数在0.6左右，体现了逻辑推理、数学抽象与数学运算的核心素养.

8.若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减，且f(2)=0，则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是( )

A. [-1,1]∪[3,+∞)

B. [-3,-1]∪[0,1]

C. [-1,0]∪[1,+∞)

D. [-1,0]∪[1,3]

【答案】D.

本题以函数的性质为载体，对数形结合、化归与转化思想进行了考查，试题的呈现形式是文字题，试题结构综合，试题情境为课程学习情境，对思维的考查要求较高，难度系数在0.6左右，体现了逻辑推理、数学抽象与数学运算的核心素养.

10.如图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图象，则sin(ωx+φ)= ( )

【答案】BC.

本题考查了三角函数的图象与变换，对数形结合思想进行了考查，试题的呈现形式是图形文字题，试题结构综合，试题情境为课程学习情境，难度系数在0.7左右，体现了直观想象、逻辑推理与数学运算的核心素养.

14.将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．

【答案】3n2-2n.

本题考查了数列的通项与求和的公式，对化归与转化思想进行了考查，试题的呈现形式是文字题，试题结构综合，试题情境为课程学习情境，难度系数在0.8左右，体现了逻辑推理与数学运算的核心素养.

本题以三角函数为载体，对数形结合思想进行了考查，试题的呈现形式是图形文字题，试题结构综合，试题情境为生活实践情境，在考查几何知识的同时，培养学生的数学应用意识,难度系数在0.6左右，体现了逻辑推理、直观想象与数学运算的核心素养.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

本题以三角函数为载体，题目属于半开放试题，选择权交给考生是个新意，充分体现了能力立意和情境创新的要求，对数形结合以及化归与转化思想进行了考查，试题的呈现形式是文字题，试题结构综合，试题情境为探索创新情境，难度系数在0.7左右，体现了逻辑推理与数学运算的核心素养.

18.已知公比大于1的等比数列{an}满足a2+a4=20,a3=8．

(Ⅰ)求{an}的通项公式；

(Ⅱ)记bm为{an}在区间(0,m](m∈N*)中的项的个数，求数列{bm}的前100项和S100．

【答案】(Ⅰ)an=2n；(Ⅱ)S100=480.

本题以数列为载体，对函数与方程思想进行了考查，试题的呈现形式是文字题，试题结构综合，试题情境为课程学习情境，难度系数在0.6左右，体现了逻辑推理、数学抽象与数学运算的核心素养.

21.已知函数f(x)=aex-1-lnx+lna．

(Ⅰ)当a=e时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

(Ⅱ)若f(x)≥1，求a的取值范围．

本题以导数为载体，对分类讨论、化归与转化思想进行了考查，试题的呈现形式是文字题，试题结构综合，试题情境为课程学习情境，难度系数在0.3左右，体现了数学抽象、逻辑推理与数学运算的核心素养.

(三)几何与代数

A. 1 B. -1 C. i D. -i

【答案】D.

本题考查了复数的除法运算，学生需掌握共轭复数的概念、复数乘法的运算法则，试题的呈现形式是文字题，试题结构单一，试题情境为课程学习情境，难度系数在0.8左右，体现了数学运算的核心素养.

4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为( )

A.20° B. 40° C. 50° D. 90°

【答案】B.

本题以中国的传统文化日晷为背景，考查了线面角，对数形结合、化归与转化思想进行了考查，试题的呈现形式是图形文字题，试题结构综合，试题情境为生活实践情境，对阅读理解能力要求较高，难度系数在0.6左右，体现了逻辑推理、直观想象与数学运算的核心素养.

A. (-2,6) B. (-6,2)

C. (-2,4) D. (-4,6)

【答案】A.

本题考查了平面向量数量积，对数形结合、化归与转化思想进行了考查，试题的呈现形式是文字题，试题结构综合，试题情境为课程学习情境，对思维的考查要求较高，“多考一点想的，少考一点算的”，难度系数在0.6左右，体现了逻辑推理、直观想象与数学运算的核心素养.

9.已知曲线C:mx2+ny2=1.( )

A. 若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上

D. 若m=0，n>0，则C是两条直线

【答案】ACD.

本题以曲线为载体，对数形结合、化归与转化思想进行了考查，试题的呈现形式是文字题，试题结构综合，试题情境为课程学习情境，难度系数在0.7左右，体现了逻辑推理、数学抽象与数学运算的核心素养.

本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系，对数形结合思想进行了考查，试题的呈现形式是文字题，试题结构综合，试题情境为课程学习情境，难度系数在0.8左右，体现了逻辑推理与数学运算的核心素养.

本题以立体几何为载体，题目涉及了直四棱柱、球、截面的有关知识，对数形结合、化归与转化思想进行了考查，试题的呈现形式是文字题，试题结构综合，试题情境为课程学习情境，难度系数在0.3左右，体现了逻辑推理、直观想象与数学运算的核心素养.

20.如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．

(Ⅰ)证明：l⊥平面PDC；

(Ⅱ)已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．

本题以立体几何为载体，对线面关系及角的度量进行了考查，试题的呈现形式是图形文字题，试题结构综合，试题情境为课程学习情境，难度系数在0.4左右，体现了直观想象、逻辑推理与数学运算的核心素养.

(Ⅰ)求C的方程；

(Ⅱ)点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．

本题以椭圆为载体，对函数与方程思想进行了考查，试题的呈现形式是文字题，试题结构综合，试题情境为课程学习情境，难度系数在0.3左右，体现了数学抽象、逻辑推理与数学运算的核心素养.

(四)概率与统计

3.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有( )

A. 120种 B. 90种

C. 60种 D. 30种

【答案】C.

本题考查了排列组合，试题的呈现形式是文字题，试题结构单一，试题情境为课程学习情境，难度系数在0.8左右，体现了逻辑推理与数学运算的核心素养.

A. 若n=1，则H(X)=0

B. 若n=2，则H(X)随着p1的增大而增大

D. 若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为1,2,…,m，且P(Y=j)=pj+p2m+1-j(j=1,2,…,m)，则H(X)≤H(Y)

【答案】AC.

本题以随机变量为载体，对化归与转化思想进行了考查，试题的呈现形式是文字题，试题结构综合，试题情境为探索创新情境，考查学生获取新知识的能力和对新问题的理解探究能力.难度系数在0.4左右，体现了数学抽象、逻辑推理、数学建模与数学运算的核心素养.

19.为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5 和SO2浓度(单位：μg/m3)，得下表：

SO2PM 2.5 [0,50](50,150](150,475]32184[0.35](35,75]6812(75,115]3710

(Ⅰ)估计事件“该市一天空气中PM 2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率；

(Ⅱ)根据所给数据，完成下面的2×2列联表：

SO2PM 2.5 [0,150](150,475][0,75](75,115]

(Ⅲ)根据(Ⅱ)中列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关？

P(K2≥k)0.050 0.0100.001k3.8416.63510.828

.

【答案】(Ⅰ)0.64；

(Ⅱ)

SO2PM2.5 [0,150](150,475][0,75]6416(75,115]1010

(Ⅲ)有99%的把握认为该市一天空气中的PM2.5浓度与SO2浓度有关.

本题以统计概率为载体，对概率及列联表进行了考查，试题的呈现形式是图表文字题，试题结构综合，试题情境为生活实践情境，难度系数在0.7左右，体现了逻辑推理、数据分析与数学运算的核心素养.

五、教学启示

1.落实《课标》教学目标，注重教学的有效性

《课标》指导和规范了整个高中教学过程，面向全体高中学生.在每部分内容的后面，设置了“教学提示”，教师要结合提示落实每节课的教学目标.在教学过程中既要关注全体学生的发展，又要注重高考选拔的要求，以学生为中心，注重教学的有效性.

2.夯实四基，提高运算能力

鲍建生教授指出：数学的四基是以认知模块的形式呈现出来的，在教学中要达到数学知识的积累、基本技能的演练、基本思想方法的形成，在三者的基础上，基本活动经验填充其中；学生能够在规定的时间内，准确的完成解题过程，这对数学运算的核心素养有着较高的要求，教师要在每一节课，给足学生时间，让学生动手、动脑.

3.注重能力发展，提升数学素养