弯曲LED矩形阵列的光斑特性*

刘 沁

(重庆工商大学 艺术学院，重庆 400067)

0 引 言

LED(发光二极管)作为一种节能、耐用的新型光源，已在各种照明环境(包括公共场所照明、家庭照明、景观照明等)中广泛地使用[1-3]。为了更加充分地发挥LED这种新型光源在照明领域的应用，从理论上对LED的照明特性进行研究显得越来越重要，并取得很多重要的研究成果。如罗晓霞等[4]对单个LED光源的大视场角准直照明问题做了研究[4]，丁毅等[5-6]研究了单个LED光源的均匀照明问题。由于单个LED光源的亮度较小，因此绝大多数的LED光源都是由多个LED灯芯构成的阵列来实现照明的。为了在理论上弄清楚LED阵列的照明特性，开展了对这个领域的研究。对方形阵列和圆形阵列的照度特性做了研究[7-10]， 得出了方形阵列和圆形阵列的光斑的发散规律和照度的变化规律。进而研究了圆形阵列和矩形阵列的照度均匀性[11-12]，得出这两种阵列的照度均匀性的特征和变化规律。

在上述对LED的阵列研究中，都是将LED阵列面固定在一个平面内。而实际的LED阵列光源，多数的LED灯芯的分布是在一个曲面上。因此研究曲面LED阵列的照度特性以及变化规律在理论上和应用上都有着非常重要的价值。将利用非相干光的叠加原理，针对弯曲LED矩形阵列这一对象，引入弯曲度的概念，推导出计算阵列的光斑半径公式、照度公式和发散角公式。利用这些公式研究弯曲LED矩形阵列的照度峰值随弯曲度的变化规律，光斑半径随弯曲度的变化规律，光斑发色角随弯曲度的变化规律。研究结果的获得将进一步加深和丰富对LED阵列照明理论的认识，也为设计LED阵列的照明方案提供理论依据和研究方法。

1 模型与理论

首先建立这样一个弯曲的LED矩形阵列模型，矩形阵列在没有弯曲时，是由若干个边长为a的小方形网格构成，每个网格的节点上放置一个LED芯片。矩形阵列的长边为40a,宽边为20a，即长边方向上有41个节点，宽边方向上有21个节点，阵列的总芯片数为 41×21=861。LED矩形阵列放置于z=0平面内，阵列的中心坐标在(0,0,0)处，长边沿y轴方向，宽边沿x轴方向。用Aij标记在坐标为(ia,ja)节点处的芯片。目标平面置于z=h处。现将矩形阵列的长边向z轴方向成圆弧弯曲，而宽边不发生弯曲，如图1所示。

弯曲的LED矩形阵列在目标平面产生照度是由阵列上的每个LED芯片产生照度的非相干叠加。而单个LED芯片在视角θ方向上的光强I由下式确定[7]，如图2，芯片到P点的距离为l。

(1)

其中I0为0°角的光强，m值由LED芯片的产生工艺确定。

若芯片的坐标在(X，Y,Z)处,目标平面上的照明点P的坐标在(x,y,h)处，则芯片在P点处产生的照度E由下式确定[11]：

(2)

由式(1)、式(2)得到单个芯片在P点的照度：

(3)

如果阵列是由N个芯片构成的，这N个芯片发出的光彼此是非相干光，由非相干光的叠加原理阵列在P点处产生的照度为[12]：

E(x,y,h)=

(4)

其中Xn、Yn、Zn为第n个LED芯片的坐标。

为了将式(4)应用于上述弯曲的LED矩形阵列，首先应引入长边成圆形弯曲的弯曲圆半径RK,下标K是用来表示将矩形阵列的长边(40a)弯曲为弯曲圆的K分之一周长，即40a=2πRK/K。由此得弯曲圆半径RK与K关系：

(5)

K越大RK越大，阵列长边弯曲的弯曲程度就越小。为了能用一个与弯曲程度成正比的量来描述长边的弯曲程度，引入弯曲度D：

D=1/K

(6)

弯曲度D越大，长边弯曲程度越大。D就是描述阵列长边的弯曲程度的量。当长边不弯曲时K=,对应的D=0。当长边弯曲为半圆周时K=2,对应的D=1/2。当长边弯曲为一个圆周时K=1,对应的D=1，弯曲度达到最大。

利用图1可以得到芯片Aij的3个坐标分别为

(7)

将式(7)代入式(4)可得弯曲LED矩形阵列在目标平面上的照度公式：

(8)

式(8)就是计算弯曲LED矩形阵列的照度公式。

x轴和y轴上的照度分布Ex和Ey，可以分别将式(8)中的y取为0和x取为0而得到：

(9)

光斑中心的照度(照度峰值)E0，可以将式(8)中的y和x取为0得到：

(10)

LED阵列在目标平面上形成的光斑大小由下列关系确定[12]：

E≥0.2E0

(11)

x轴和y轴上的光斑半径Rx和Ry由于芯片在x轴和y轴上分布的不同而不同。由式(9)和式(11)可求出Rx和Ry：

(12)

光斑在x轴和y轴上的发散角φx和φy可以由公式求得[10]：

(13)

利用式(12)和式(13)可以研究弯曲LED矩形阵列的光斑半径和发色角的变化特征。

2 光斑特性

利用式(5)—式(13)，采用数值计算法研究弯曲LED矩形阵列的照度峰值、光斑半径、发色角随矩形的弯曲度的变化规律。

2.1 照度峰值与弯曲度的关系

固定I0=2cd，m=10,a=0.04 m，h=3 m，研究照度峰值随弯曲度的变化关系。取K=、20、18、16、14、12、10、8、6、4共10组数据，计算出对应的弯曲度D和照度峰值E0的数据，见表1。利用表1中的数据绘出照度峰值E0随弯曲度D的响应曲线，如图3所示。图3中把10个数据点用线连接。

表1 不同弯曲度下的照度峰值E0Table 1 E0under different curvature

分析表1和图3可知：当长边不弯曲(K=)时，其弯曲度D=0,光班中心的照度(照度峰值)E0=158.3 lx。随着长边弯曲度的增加，光班中心的照度成非线性增大。当长边弯曲为四分之一圆周时(K=4、D=1/4),中心的照度E0增加为168.74 lx。照度峰值随弯曲度的这一变化规律表明，弯曲LED矩形阵列对照度有聚光的作用，弯曲度越大对照度的聚光效果越明显。在照明设计中，利用这一规律可以到达提高目标中心亮度的效果。

2.2 光斑半径与弯曲度的关系

固定I0=2cd，m=10,a=0.04 m，h=3 m，研究光斑半径随弯曲度的变化关系。仍取K=、20、18、16、14、12、10、8、6、4共10组数据，计算出对应的弯曲度D以及光斑在x轴和y轴上的半径Rx和Ry,见表2。为了直观地反映光斑的变化情况，计算出长边不弯曲(K=)时的光斑和长边弯曲为1/4周长(K=4)时的光斑，如图4。由图4(a)、(b)可知：长边不弯曲时的光斑和长边弯曲为1/4周长时的光斑都是椭圆形，Rx都小于Ry。长边不弯曲时的光斑大于长边弯曲为1/4周长的光斑。

由表2中的数据，计算出Rx和Ry随弯曲度D的变化曲线，如图5所示。图5中实线连接的曲线是Ry随弯曲度D的响应曲线，虚线连接的曲线是Rx随弯曲度D的响应曲线。分析表2和图5可知：当长边不弯曲时，光斑是长轴在y轴上的椭圆，其Rx=1.672 m、Ry=1.847 m，Ry/Rx=1.11。随着长边弯曲度的增加，Rx和Ry都缓慢减小。当长边弯曲为1/4圆周时其Rx减小为1.621 m、Ry减小为1.775 m，Ry/Rx减小为1.09，光斑更接近于圆形。光斑半径随弯曲度的这一变化规律表明：弯曲LED矩形阵列对光斑大小有汇聚的作用，弯曲度越大对光斑大小的汇聚效果越明显。在照明设计中，利用这一规律可以控制光斑的大小。

表2 不同弯曲度下的光斑半径Rx和RyTable 2 Rxand Ryunder different curvature

2.3 发散角与弯曲度的关系

固定I0=2cd，m=10,a=0.04 m，h=3 m，研究光斑发散角随弯曲度的变化关系。仍取K=、20、18、16、14、12、10、8、6、4共10组数据，计算出对应的弯曲度D以及光斑在x轴和y轴上的发散角φx和φy,见表3。由表3中的数据，计算出光斑的发散角φx和φy,随弯曲度D的变化曲线，如图6所示。图6中实线连接的曲线是φy随弯曲度D的响应曲线，虚线连接的曲线是φx随弯曲度D的响应曲线。分析表3和图6可知：当长边不弯曲时，两个轴上的发散角分别是φx=22.977°、φy=19.069°，φy/φx=0.83，光斑在y轴上的发散小于在x轴上的发散。随着长边弯曲度的增加，φx和φy都缓慢减小。当长边弯曲为1/4圆周时其φx减小为22.154°、φy减小为18.003°，φy/φx减小为0.81，即光斑在y轴上发散角的减小更快。光斑发散角随弯曲度的这一变化规律进一步表明：弯曲LED矩形阵列对光斑的发散角也有汇聚作用，弯曲度越大对光斑发散角的汇聚效果越明显。

表3 不同弯曲度下的发散角φx和φyTable 3 φxand φyunder different curvature

3 结 论

建立了弯曲LED矩形阵列的模型，引入弯曲度来描述矩形阵列的弯曲程度。利用非相干光的叠加原理，推导出计算弯曲LED矩形阵列的光斑半径公式、照度公式和光斑发散角公式。研究了弯曲度对照度峰值、光斑半径、发散角的影响。通过数值计算研究了照度峰值随弯曲度的变化规律、光斑半径随弯曲度的变化规律、发散角随弯曲度的变化规律。通过计算得出：当弯曲度为0时照度峰值为158.3 lx，随着弯曲度的增加照度峰值逐渐增大，当弯曲度增加到0.25时照度峰值增加为168.74 lx；当弯曲度为0时,光斑半径为1.847 m，随着弯曲度的增加光斑半径逐渐减小，当弯曲度增加到0.25时光斑半径减小为1.775 m；当弯曲度为0时发散角为19°，随着弯曲度的增加发散角逐渐减小，当弯曲度增加到0.25时发散角减小为18°。计算结果表明阵列面的弯曲对照度、光斑半径、发散角都有明显的汇聚作用。结果的获得在理论上和方法上为利用弯曲LED矩形阵列来实现照明设计提供依据，弥补了之前在研究LED阵列中阵列面仅限于平面的不足。主要创新为

(1) 建立了弯曲LED矩形阵列的模型，引弯曲度来描述矩形阵列的弯曲程度，弥补了之前在研究LED阵列中阵列面仅限于平面的不足。

(2) 推导出计算弯曲LED矩形阵列的光斑半径公式、照度公式以及光斑发散角的公式。在理论上和方法上为利用弯曲LED矩形阵列来实现照明设计提供依据。

(3) 计算出弯曲LED矩形阵列的照度峰值随弯曲度的变化规律、光斑半径随弯曲度的变化规律、发散角随弯曲度的变化规律。研究结果表明阵列面的弯曲对照度、光斑半径、发散角都有明显的汇聚作用。