证明不等式的方法与技巧

江西 廖东明

不等式的证明没有固定的程式，证法因题而异，技巧性强，难度较大.基本方法有比较法、综合法、分析法、反证法、数学归纳法.此外，还有放缩法、构造法、换元法、待定系数法、函数法、判别式法等.

一、比较法

【证明】(Ⅰ)3(a3+b3+c3)-(a+b+c)(a2+b2+c2)=

2(a3+b3+c3)-a(b2+c2)-b(a2+c2)-c(a2+b2),

因为a,b∈R+，所以a3+b3-a2b-ab2=a2(a-b)+b2.(b-a)=(a-b)2(a+b)≥0，即a3+b3-a2b-ab2≥0，同理b3+c3-b2c-bc2≥0，c3+a3-c2a-ca2≥0，所以2(a3+b3+c3)-a(b2+c2)-b(a2+c2)-c(a2+b2)≥0.

因此(a+b+c)(a2+b2+c2)≤3(a3+b3+c3)，当且仅当a=b=c时取得等号.

而2(a2c+b2a+c2b)-(a2b+c2a+b2c+3abc)

=ac(a-c)+ab(b-a)+bc(c-b)+ac(a-b)+ab(b-c)+bc(c-a)

=c(a-c)(a-b)+a(a-b)(c-b)+b(b-c)(a-c)

=c(a-c)(a-b)-a(a-b)(b-c)+b(b-c)(a-c)

≥(b-c)(ca-cb-a2+ab+ab-b2)=(b-c)·[a(b+c-a)+b(a-b-c)]

=(b-c)(a-b)(b+c-a)≥0，当且仅当a=b=c时取得等号，原式得证.

二、分析法

【例2】若x,y是实数，y≥0，y(y+1)≤(x+1)2，求证：y(y-1)≤x2.

即证得y(y-1)≤x2成立.

三、综合法

【例3】(2015·全国卷Ⅱ·文24理24)设a,b,c,d均为正数，且a+b=c+d，证明：

(Ⅱ)(ⅰ)先证必要性.若|a-b|<|c-d|，则(a-b)2<(c-d)2，

于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2．因此|a-b|<|c-d|.

【点评】综合法的思路是“由因导果”，也就是从已知的不等式(题设或证明过的不等式)出发，再结合不等式的性质不断地用必要条件代替前面的不等式，直至推导出欲证的不等式.常用的基本不等式有：(1)均值不等式；(2)真分数的性质(糖水不等式)；(3)绝对值不等式；(4)柯西不等式.

【变式3】(2017·全国卷Ⅱ·文23理23)已知a>0,b>0，a3+b3=2.证明：

(Ⅰ)(a+b)(a5+b5)≥4；

(Ⅱ)a+b≤2.

【证明】(Ⅰ)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=22+ab(a2-b2)2≥4，当且仅当a=b=1时取得等号.

或用反证法证明：假设a+b>2，则a>2-b.由y=x3在R上单调递增，得a3>(2-b)3，所以a3>8-12b+6b2-b3，所以6b2-12b+6<0，即6(b-1)2<0，这与6(b-1)2≥0矛盾，故假设错误，因此a+b≤2.

四、利用均值不等式

【例4】(2019·全国卷Ⅰ·文23理23)已知a,b,c为正数，且满足abc=1.证明：

(Ⅱ)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.

(Ⅱ)因为a,b,c为正数，且满足abc=1，所以

当且仅当a=b=c=1时取得等号.

【点评】利用均值不等式证题，有时需要几个同向不等式相加或几个同向不等式相乘来证，一要注意不等式的方向(要顺向，不要出现方向打架的现象)，二要注意等号成立的条件要一致.

【点评】利用均值不等式证明不等式，常常要巧添因子或项.要抓住等号成立的条件去添加或配凑.

【证明】(Ⅰ)因为a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca，所以a2+b2+c2≥ab+bc+ca.因为a+b+c=1，

五、利用柯西不等式

(Ⅱ)因为a,b,c为正数，且a+b+c=1，所以a+1+b+c=2.由柯西不等式，得

【点评】柯西不等式的实质是一个“系数分离器”：将式子中的系数通过柯西不等式分离成两个单独的式子，从而便于证明或求解，巧配系数就成为解决问题的关键.运用柯西不等式，要熟知它的几个变形式，证题就会更加方便.

六、换元法

【点评】根据abc=1作比值代换,将非齐次式转化为齐次式，从而创造了运用柯西不等式的条件.