“问题链”引导下的单元复习课的实践——以“解三角形”单元复习为例

江苏 陈伟斌 张启兆

单元复习课是一种重要的课型，通常安排在一个单元的最后，有构建知识网络、回顾主要问题、综合运用知识、提高探究能力等作用.笔者在“问题链”引导下，立足问题驱动，以“解三角形”单元复习为例，对单元复习课进行了实践探索，获得一些感悟，请各位同行不吝指教.

1 设计理解性问题，构建知识网络

知识回顾是单元复习课的起点，学生在新授课中，已大致经历了知识的形成过程，但留在脑海里往往是零散的、碎片状的知识，为了提高学生对本单元的认知，在单元复习课上，可通过设置一些理解性问题来唤起学生对知识的回忆，并借助此过程将碎片知识梳理成网.

在“解三角形”单元复习这节课中，笔者设置了如下问题，以下是教学片断.

活动方式学生笔算后，教师追问：什么叫解三角形？你用了哪些数学知识？还有其他方法吗？你能编制一道题吗？

设计意图明确什么是解三角形；在不断编题中牢牢掌握解三角形的方法，做到知三(至少有一条边)求三，在此过程中复习正弦定理、余弦定理，理解求AC的优化方法，培养逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养.

2 设计问题串，建立知识间的联系

知识之间是存在联系的，在进行复习时，利用问题串，引导学生对知识进行梳理，建立起知识间联系的结构，不仅有利于学生对知识间关系的理解，也有利于学生产生新的认识与理解，不仅提升了认识水平，而且提高了学习知识的能力.

在“解三角形”单元复习这节课中，笔者引导学生编写了如下问题串，以下是教学片断.

问题 2如图，问题1的条件不变，在△ABC中添加线段CD，使BD=1，求CD的长.

活动方式学生独立思考后展示，

教师追问：还有其他方法吗？

解完△ABC后，学生可以在△ACD中求CD， 也可以在△BCD中求解.

设计意图形成解三角形的策略 1：先集中条件解某一个三角形，进而延伸到其他三角形.

教师追问：三角形中的主要线段有哪些？你能用三角形中的主要线段改编本题吗？

问题 3如图，变问题2中的线段CD为三角形的中线，求CD的长.

活动方式学生独立思考、展示、研讨、优化.

教师追问:还有其他较为简便的方法吗？

方案2：倍长中线CD；

设计意图总结出解三角形的策略 2：同时着眼于两个三角形，抓住联系，形成等量关系，解方程，培养逻辑推理等核心素养.

问题 4如图，变问题2中的线段CD为角平分线，求CD的长.

活动方式学生独立思考、展示、研讨、优化.

教师追问:还有其他较为简便的方法吗？

小组研讨，形成方案：S△ACD+S△BCD=S△ABC，解方程得CD.

设计意图通过面积相等，同时关注三个三角形，形成等量关系，培养整体性分析问题的能力,培养逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养.

问题 5如图，变问题2中的线段CD为AB边上的高，D为垂足，求CD的长.

活动方式学生独立思考、展示、研讨、优化.

教师追问:还有其他较为简便的方法吗？

设计意图通过两种不同的方式计算△ABC的面积，利用方程思想，形成等量关系，培养学生用不同视角看问题，培养逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养.

3 设计综合性问题，强化知识应用

因为是在整个单元知识学习之后上复习课，为综合运用本单元知识、解决问题提供了可能，所以在单元复习课上，设置一些综合性的问题，将多个知识融合在一起，可以提高学生分析问题与解决问题的能力.

“解三角形”单元复习这节课中，笔者设置的综合性问题是一道正弦定理与余弦定理的综合题和一道实际应用问题，以下是教学片断.

( )

A.6 B.5 C.4 D.3

活动方式学生独立思考、展示、研讨、优化.

设计意图形成解三角形的策略 3：遇到边、角混合条件时，通常运用正弦定理或余弦定理进行转化，最好转化为只有边或只有角的问题，并注意式子的结构形式与正弦定理，余弦定理的关系.培养化归与转化等数学思想.

问题 7如图，某湖泊湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台P，已知射线AB，AC为湿地两边夹角为120°的公路(长度均超过2千米)，在两条公路AB，AC上分别设立游客接送点M，N，从观景台P到M，N建造两条观光线路PM，PN，测得AM=2千米，AN=2千米.

(Ⅰ)求线段MN的长度；

(Ⅱ)若∠MPN=60°，求两条观光线路PM与PN之和的最大值.

活动方式学生独立思考、展示、研讨、优化.

设计意图综合运用正弦定理与余弦定理来解决实际应用问题，体现数学的应用意识，培养数学建模等核心素养.

在此问题的解决过程中，要充分发挥追问的功能，本节课上笔者作了如下追问：

①第(2)小题的目标是什么？你以前遇到过求最大值的问题吗？有哪几种策略？

②要想把PM与PN分别用函数表示出来，就需要引入一个自变量，选择什么为自变量呢？不妨观察一下图形，看看PM与PN在哪里？引导学生设∠PMN=α或∠PNM=α.

4 设计课堂小结问题，提升整体认知

问题8引导学生从基础知识、基本方法、基本经验、基本应用四个方面谈论本节课的感悟与收获.

活动方式学生独立思考、交流.

设计意图引导学生对认知结构中已有的一些解法进行反思与提炼，掌握正确的学科思想方法，发展积极的情感态度与价值观，积累基本经验.

(1)基础知识：正弦定理、余弦定理、面积公式，反映了三角形边、角关系的相互转化.

(2)基本方法：解三角形问题，实质是列方程，求未知数；有多个三角形时，注意路径选择，可以突破一个三角形，延伸到其他三角形，也可以着眼题中特殊条件，从整体上寻求结构联系，建立等量关系.

(3)基本经验： 已知三角形的中线、角平分线、高线时，如何解三角形、如何优化运算等经验.

(4)基本应用：从金字塔的建造到尼罗河两岸的土地丈量，从大禹治水到都江堰的修建，从天文观测到精密仪器的制作等，人们都离不开对几何图形的测量、设计与计算，而解三角形是研究几何问题的最基本方法，在实际生活中有广泛的应用.

5 教学思考

通过实践，笔者认为“问题链”引导下的单元复习课有易于提高学生认知、易于把握单元结构、易于提高解题能力、易于发挥主体作用等，值得提倡.

5．1 数学问题链教学是单元复习课的一个好形式

郑毓信先生曾指出，从“深度学习”到“深度教学”的具体工作中应特别强调问题引领的重要性，这也是教师如何做到“深度教学”最重要的一种方法途径，让思维在问题链中由浅入深，可以这么说，数学问题链教学是促进数学深度学习的一个抓手.

5．2 单元复习课要关注学生素养的提升

《普通高中数学课程标准(2017年版)》中指出数学核心素养体现在能用数学的眼光看待世界，能用数学的思维思考世界，并能用数学的语言表达世界，为了更好地培养学生的核心素养，单元复习课应进一步关注基于视觉观念与方法观念的问题链教学研究，通过视角关联、方法关联实现学生数学学习的广迁移．本节课通过问题设计引导学生思考三角形边、角之间的逻辑关系，感悟其中蕴含的数学思想方法、问题解决的策略，帮助学生将知识结构化，逐步形成良好的思维能力.

5．3 有效的“问题链”要遵循“三条基本原则”

核心素养是学生在学习过程中逐渐形成的必备品质和关键能力，是知识、能力、思维、方法、情感和价值观的有机统一，核心素养的培养和发展不是一蹴而就的，培养和发展核心素养，一定要关注教学过程，使教学过程成为培养和发展学生核心素养的有效载体．因此，单元复习课不能上成知识罗列课，或解题教学课，或专题复习课，而要根据教学目标在“问题链”引导下，精心设计问题串，浙江师范大学的唐恒钧先生认为，有效的“问题链”要遵循三条基本原则：一是指向数学并提供高水平的数学内容；二是问题之间关系要展现思考的合理脉络；三是问题之间要提供思考跨度．这样才能实现单元复习课的深度教学.此外，“问题链”教学对学生的要求是：有效先学、独立思考、适当合作、主动交流、大胆质疑、认真倾听、善于归纳；对教师的要求是：内容科学、善于引导、充分激励、语言精练，媒体适当.在“前置练习”中设置有关核心概念、重要性质的基础题，通过前置练习梳理出相关的概念与性质，进而拓展出与之相关的外延知识．变式教学的内容不宜提前印在导学案上，而应在课堂上生成，利用多媒体即时呈现，这样才能充分调动学生学习的热情，激励学生的探索精神，培养学生的创新意识，增强课堂生成的灵动性.

5．4 及时反思与提炼是培育核心素养的有效途径

要及时引导学生对认知结构中已有的一些解法进行反思与提炼，掌握正确的学科思想方法，发展积极的情感态度与价值观．教学中既要引导学生对认知结构中已有的一些解法进行反思与提炼，让学生认识到知识与方法之间的联系，帮助学生建立起对一类问题的整体认知，进而生成处理一类问题的基本方法、基本经验，这样才能让学生做到举一反三，触类旁通；还要重视算理算法，优化解题方法，培养运算能力.教学中需对学生的解题方法进行梳理、改造，让学生明白每一种方法的优点(适用面)和缺点(不适用面).在学生已经解答的基础上，可以通过展示学生的解答，点拨方法、纠正错误、规范格式，如本节课的典型例题的讲评，尽量让学生阐述思路、联想拓展、自制试题、小结归纳，鼓励学生多元参与，提升思维能力，培育核心素养.