基于响应面法的导向筛管结构尺寸优化

王 晶 罗 敏 林志强 徐亭亭

（东北石油大学a.数学与统计学院；b.机械科学与工程学院）

超短半径径向侧钻水平井技术在挖潜剩余油、降低钻井成本及提高原油产量等方面有着不可忽视的作用［1～4］。 目前，超短水平井技术主要采用的钻井方法可分为高压射流钻井［5，6］和柔性钻具钻井［7，8］两种。

国内外学者对柔性钻具的研究做了相关工作。 苏义脑和赵俊平在二维井身条件下建立了铰接式柔性钻具的力学模型，并进行了分析，得到了影响钻头侧向力的主要参数［9］。 赵俊平等将铰看作平面铰，通过静力学分析，确定了井底钻压与大钩载荷之间的关系以及任一铰链处的受力情况［10］。 Liu H等对柔性钻杆进行了力学分析，得到了柔性钻杆所能承受的极限载荷［11］。 帅健等采用凝聚自由度的方法推导出含铰接梁单元和杆系结构的刚度矩阵和载荷列阵［12，13］。 Gourley G对设计的柔性钻具开展了实验研究，并对其开窗侧钻能力进行了评价，结果表明采用柔性钻具钻井可提高采收率［14］。

虽然学者们对柔性钻具开展了相关的研究工作，但是大都针对铰接柔性钻杆，而对于单侧开槽的导向筛管的研究则较少。 为此，笔者根据导向筛管的工作状态，采用有限单元法，建立导向筛管材料和接触双重非线性有限元模型，采用响应面法进行结构优化设计，并对优化后的导向筛管进行力学分析。

1 导向筛管有限元模型

1.1 物理模型

导向筛管是柔性钻具的关键部件，在超短半径水平井钻井中，导向筛管主要传递轴向力。 导向筛管结构如图1 所示， 单节筛管长度l1为100mm， 竖缝长度l为58mm， 筛管竖缝宽度b为4mm，两竖缝中心线的夹角θ为70°，筛管横缝宽度h为4mm，外径D为110mm，内径d为95mm，d′为截面形心到y轴的距离，y1为开缝截面上距离形心的最大距离，它与竖缝夹角有关。

1.2 有限元模型

导向筛管的材料为35CrMo， 弹性模量为211GPa，泊松比为0.3，屈服极限为835MPa，强度极限为980MPa。 以单节导向筛管为研究对象，采用有限单元法将导向筛管离散为实体单元，将导向筛管应力-应变关系简化为多线性等向强化模型。 当应力未达到屈服极限σs时，应力-应变关系符合弹性关系；当应力值超过屈服极限σs时，则为线性强化关系。 边界条件为：导向筛管下端全固定，上端加40kN的轴向力Fy（钻井时承受的开窗点轴向力），横缝之间为接触摩擦边界，摩擦系数取0.3。 导向筛管的力学模型及有限元模型如图2 所示。

图1 导向筛管结构示意图

图2 导向筛管的力学模型及有限元模型

导向筛管应力σ与应变ε之间的关系是非线性的，物理方程可写为：

由于横缝宽度较小，因此导向筛管的变形为小变形，应力表达的平衡方程仍是线性的，几何关系依然成立，但是以节点位移列阵表示的平衡方程则是非线性的，可表示为：

其中，K（δ）为导向筛管的弹塑性刚度矩阵，δ、F分别为节点位移列阵和节点力列阵。

为了分析导向筛管横缝上、 下表面间的接触，分别在上、下表面创建接触单元和目标单元，采用增广拉格朗日法计算接触力。 将实体单元与接触单元相结合，可以得到分析导向筛管材料和接触双重非线性的静力学总体平衡方程：

其中，Kn（δ）为接触刚度矩阵；Fn为接触力列阵，是节点位移的函数。

上述方程均采用修正的牛顿辛普森法进行求解。

2 导向筛管静力学分析

通过对导向筛管的静力学分析，得到剖切过后的导向筛管等效应力云图如图3所示。 可以看出，单节导向筛管的最大等效应力为941.81MPa，位于竖缝两端。

为了使导向筛管的变形在弹性范围内，需以导向筛管危险部位为评价标准，即导向筛管背部不能出现塑性应变，所以笔者在导向筛管内部受压的危险截面设置一条路径，以这条路径上的最大应力为响应参数，得到该路径上的最大等效应力为703.11MPa，如图4所示。

图3 剖切过后的导向筛管等效应力云图

图4 自定义路径上的等效应力

导向筛管转过的弧长如图5所示， 最大值为1.672 6mm。 为了提高导向筛管的柔度，使导向筛管能够更好地实现转向能力，需要导向筛管具有更大的弯曲量，所以以导向筛管的弧长为响应参数， 把危险截面上的最大等效应力作为约束函数，在后续的响应面优化分析中求解出符合强度条件的导向筛管优化模型尺寸。

3 优化模型

3.1 目标函数与设计变量

以导向筛管的转角为响应参数，把危险截面上的最大等效应力作为约束函数，求解出符合强度条件的导向筛管优化模型尺寸。 该优化问题可描述为：

图5 导向筛管转过的弧长

为了给出设计变量的取值范围，根据几何关系和强度条件进行计算。 随着竖缝夹角的增加，截面面积随之增加， 距离形心的最大距离增大，惯性矩增加，最大应力和弯矩增加，安全系数降低。

当导向筛管整体结构达到井眼曲率半径ρ1时，强度条件为：

其中，N为安全系数，σmax为导向筛管等效应力的最大值，E为材料的弹性模量。

导向筛管达到井眼曲率半径ρ1时其初弯矩M的计算式为：

其中，Iy′为开缝截面对形心轴y′的惯性矩。

根据式（5）、（6）可以得出，井眼曲率为2.8m时导向筛管中心夹角不小于50°，所以在优化过程中给出夹角的范围为50～70°。

内壁最大应力强度条件为：

其中，ρ为弯曲导向筛管的曲率半径，k1为单节导向筛管竖缝的长度与单节长度的比值，k1min为k1的最小值。

竖缝长度l的计算式为：

由几何关系可得竖缝宽度最小值bmin为：

通过计算可以得出， 竖缝长度的范围为40～70mm，竖缝宽度的范围为2～8mm。 考虑到横缝宽度h太小会造成加工不便，而h太大又不利于密封，综合考虑后给出横缝宽度的范围为2.0～7.5mm。

3.2 响应面法

二阶响应面模型为：

其中，xi是m维优化设计变量的第i阶分量，β0、βi、βii、βij是多项式的待定系数。

选取n个样本点， 采用最小二乘法对多项式的待定系数进行确定，即：

3.3 优化结果

通过优化分析，得到了导向筛管结构尺寸的优化结果（表1）。

表1 导向筛管尺寸优化结果

优化后，导向筛管强度满足要求，其危险截面上的最大等效应力（672.99MPa）相比原结构的（703.11MPa）有所降低。

4 结论

4.1 以单节导向筛管为研究对象，根据导向筛管各结构尺寸参数，考虑导向筛管材料非线性及导向筛管横缝之间的接触非线性， 采用实体单元，建立了单节导向筛管的有限元模型，给出了数值求解方法。

4.2 通过静力学分析，得到了导向筛管应力分布状态及危险截面位置，应力较大位置出现在竖缝内壁边缘。

4.3 采用响应面法对导向筛管的主要尺寸进行了优化，优化后：两竖缝中心线的夹角为62°，竖缝长度40mm，竖缝宽度4mm，横缝宽度7.5mm。优化后的导向筛管强度满足要求， 整体应力水平与原结构相比有所降低， 转过的弧长增加了90.8%。