分布式事件触发的多单摆系统一致性跟踪控制

陈 雪，姜玉莲

(长春工业大学 电气与电子工程学院，吉林 长春 130012)

0 引 言

单摆，是物理学、力学分析中最常用的经典模型之一，它是一个形状和大小都可以看成质点的小球系在不计伸长和质量的摆线上的理想模型。每个单摆可看作一个智能体，那么多单摆网络系统就可看作为一个多智能体网络系统。与文献[1]中单控制系统的控制方法不同，多智能体系统的协调控制能够解决更为复杂的控制任务。由多个具有自主计算能力的个体组成的分布式多智能体系统，通过个体间的协调与协作能够完成相对复杂的任务，而单个个体由于其功能简单，不具有解决复杂困难、高强度问题的能力[2]。多智能体一致性问题作为协调控制的最基本问题，在国内外已取得很多研究成果[3-4]。文献[5]研究了多智能体系统的一致性问题，提出了分布式控制算法和用于描述多智能体网络系统一致性问题的理论框架。文献[6]研究了无领导者多智能的一致性问题，分析了在有向网络中的一致性问题。文献[7]针对高阶线性多智能体系统的一致性跟踪问题，设计并分析了在固定和切换通信拓扑下的控制协议及其稳定性条件。文献[8]研究了多智能体系统在干扰下的一致性问题，设计了基于输出反馈控制器，给出了实现渐进一致的条件。

近年来，随着通信技术发展和节能减排的要求，为提高系统的通信效率和能源利用率，减少多智能体系统硬件资源的浪费，大量有关事件触发控制的研究开始出现[9-15],事件触发机制的控制效果优于时间触发机制。Zeno行为意味着在某个时间无限累计的执行，文献[16-18]中为了排除Zeno行为，在触发条件中引入常数，使得最小时间间隔严格大于零。文献[19-23]提出了分布式事件触发采样数据传输策略，利用该策略可以保证最小间隔时间至少为一个采样周期，避免了Zeno行为。

文中提出了一种分布式事件触发机制下的多单摆网络系统的一致性跟踪控制协议和触发函数。设计的事件触发函数的触发时刻仅依赖单摆系统自身和其邻居的相对状态。应用矩阵论和稳定性理论等对分布式事件触发机制下的多单摆网络系统一致性跟踪的稳定性进行了分析，得到了多单摆网络系统渐进达到一致性跟踪的充分条件。

1 电机驱动的多单摆网络系统建模

直流电机驱动的单摆系统工作原理示意图如图1所示。

图1 直流电机驱动的单摆系统

图中u是电枢绕组的终端电压，R为电枢电路中的电阻，L为电枢电路中的电感，ia和E分别为直流电机的电枢电流和电动势，单摆杆的摆角和长度分别为θ,l,m为单摆的质量。

每一个直流电机驱动的单摆系统可看作一个智能体，那么由多个直流电机驱动的单摆系统可组成一个多单摆网络系统。这里，用i表示每个单摆系统，i=1,2,…,N，N为一个多单摆网络系统中单摆系统的个数。

第i个单摆系统的动力学模型为：

(1)

其中，KT为电机的转矩常数，KE为直流电机的电动势常数，g为重力加速度。

(2)

(3)

其中 ，

2 多单摆网络系统的通信拓扑结构及其性质

为方便分析，给出以下性质：

引理：L为联通图GP的Laplacian矩阵[7]：

(1)λ1=0为L的一个特征值，其特征向量为1N，满足L1N=0N。

(2)若H=L+D，其特征值λ(H)>0。

3 基于分布式事件触发的一致性跟踪控制

3.1 问题描述

文中研究领导-跟随多单摆网络系统(3)，对于由节点0表示的领导者，其动力学方程可以描述为：

(4)

其中，x0(t)∈Rn为领导者的状态。

定义：领导-跟随多单摆网络系统(3)-(4)实现渐进一致性跟踪控制目标是:当且仅当存在控制协议ui(t)使得系统在任意初始条件下满足：

假设1：(A,B)是可稳定的。

在该假设下，对于任意β>0存在一个正定解P>0满足如下黎卡提不等式[7]：

PA+ATP-2βPBBTP+βI<0

(5)

设计反馈增益矩阵K=BTP

3.2 分布式事件触发控制器的设计

设计基于事件触发机制的控制协议为：

定义状态测量误差为：

(6)

di(x0(t)-xi(t))]‖2}}

(7)

其中，δi>0是常数，每个单摆系统的事件触发时间间隔是由单摆系统自身及其邻居的相对状态决定，所以事件触发机制(7)是分布式的。

(8)

(9)

证明：构造Lyapunov函数为：

V(t)=εT(t)(IN⊗P)ε(t)

如果，

(10)

用节点集W1(t)和W2(t)表示多单摆网络系统(3)-(4)最新的事件触发瞬间，因此，

W1(t)∪W2(t)={1,2,…,N},W1(t)∩W2(t)=∅

式(10)成立的充分条件是：

(11)

即：

(12)

‖Kei(t)‖2≤

s‖(H⊗K)ε(t)‖2

(13)

‖IN⊗BK‖+2(‖IN⊗A‖+

令ζ(t)=‖(IN⊗K)e(t)‖/‖(H⊗K)ε(t)‖，进而得到ζ(t)≤ψ(t,ψ0)是如下伯努利方程的解：

(14)

其中，a=‖H2⊗KB‖,b=‖IN⊗A‖+‖H⊗BK‖，c=‖IN⊗BK‖。

其中的τ满足以下三种情况：

III：若b2>ac，

则τ=

4 仿真实验

文中给出多单摆网络系统的参数为：

仿真实验中共有4个跟随者和一个领导者，该系统通信拓扑结构如图2所示。选取δ1=0.05,δ2=0.045,δ3=0.04,δ4=0.035,τ1=0.05,τ2=0.04,τ3=0.03,τ4=0.02,φ=0.2。

图2 多单摆网络系统的通信拓扑

对基于分布式事件触发机制(7)的一致性控制协议(6)作用下的多单摆网络系统进行仿真实验。图3～图5反映了系统状态随时间变化的情况，可以看出系统在分布式事件驱动控制下达到了渐进一致性跟踪目标。图6标注出了每个单摆系统在时间间隔[0，100]中的事件时刻，从图中看出，采样是分散并非等时间间隔，即分布式事件触发有效地降低了信息传输和控制器更新频率。

图3 电枢电流的变化轨迹

图4 角位移的变化轨迹

图5 角速度的变化轨迹

图6 每个跟随者事件触发时间

5 结束语

对多单摆网络系统建模且进行线性化，解决了多单摆网络系统的一致性跟踪问题，提出分布式事件触发机制及其作用下的一致性跟踪控制器并分析了其稳定性。运用图论、矩阵论和Lyapunov稳定性理论，证明了多单摆网络系统可以实现渐进一致性跟踪目标，且每一个单摆系统不会发生Zeno行为。最后进行仿真实验，验证了控制协议的有效性，且分布式事件触发降低了信息传输和控制器更新频率。