基于GeoGebra的阿氏圆与卡西尼卵形线的可视化探究

黄武

摘要：阿氏圆与卡西尼卵形线是有名的轨迹问题，本文以其为载体，利用GeoGebra软件演示了两类轨迹的形成过程，实现了数学知识点的可视化。

关键词：GeoGebra;阿氏圆;卡西尼卵形线;可视化

平面内，到两定点F1、F2的距离之和等于定值2a（2a>F1F2）的点的轨迹为椭圆，到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于定值2a（2a

一、阿氏圆探究

1.    阿氏圆背景a

阿氏圆是阿波罗尼斯圆的简称.到两定点的距离之比为定值a（a>0且a?1）的点的轨迹为圆[1]，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现.

2.    基于GeoGebra的阿氏圆可视化探究构造步骤：

步骤1：选取滑动条工具构造参数a（区间可选为[0，10]），选取射线工具构造射线AB，选取对象上的点工具构造射线AB上任意点C.

步骤2：选取对象上的点工具构造x轴上任意点D、E，选取圆（圆心与半径）工具以D为圆心AC为半径构造圆c.

步骤3：选取距离/长度工具度量线段AC，在输入框中输入r=ACa，得到r的值，选取圆（圆心与半径）工具以E为圆心r为半径构造圆d.

步骤4：选取交点工具构造圆c、圆d的交点F、G，选取    线段工具，构造线段DF、DG、EF、EG.

步骤5：选取 轨迹工具构造F关于C的轨迹，同方法构造G关于C的轨迹.

构造说明：1、利用滑动条工具确定a的值（a>0且a?1）.

3.D、E为两个定点，F、G为两圆的交点.当C在射线AB上运动时，F、G也随之运动，但都有a=AC|/r=|DF|/|FE|=|DG|/|GE|，满足条件的轨迹为圆。

二、卡西尼卵形线探究

1.    卡西尼卵形线背景

到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹为卡西尼卵形线.卡西尼卵形线最先有法国籍天文学家和水利工程师乔凡尼·多美尼科·卡西尼在研究土星及卫星的运行规律时发现的.

2.    基于GeoGebra的卡西尼卵形线可视化探究

构造步骤：

步骤1、2同前面的步骤1、2.

步骤3：选取距离/长度工具度量线段AC，在输入框中输入r=aAC，得到r的值，选取圆（圆心与半径）工具以E为圆心r为半径构造圆d.

步骤4同前面的步骤4.

构造说明：1、利用滑动条工具确定a的值.

3.    D、E为两个定点，F、G为两圆的交点.当C在射线AB上运动时，F、G也随之运动，但都有a=r·|AC|=|FE|·|DF|=|GE|·|DG|

4.    对于DE=2，当a取大于0的不同值时，可以得到以下结论：

（1）当0

（2）当a=1时图像成?形自相交叉的双纽线（如图四）;

（3）当1

（4）当a=2时图像与第（3）种情况相似，曲线中部变平（如图六）;

（5）当a>2时，曲线中部凸起（如图七）.

三、结束语

阿氏圆与卡西尼卵形线都是有名的轨迹问题，以它们为背景的几何问题在近年来的高考中经常出现，运用GeoGebra软件对它们进行可视化探究，为知识的猜想、探究和证明提供帮助.

参考文献

[1]   温庆峰.从一道课本习题看“阿波罗尼斯”圆[J].中学数学，2019（07）：38-39.

[2]   https：//wenku.baidu.com/view/b05a064d650e52ea5518986b.html

[3]   徐永忠.阿波羅尼斯圆与高考试题[J].上海中学数学，2014（1-2）：90-93.

项目资助：湖南省职业院校教育教学改革研究项目（立项编号：ZJZB2019034）。