基于一种新Lyapunov泛函方法的时滞复杂动态网络同步采样控制

2020-11-13陈刚李佳肖伸平

中南大学学报（自然科学版） 2020年10期

陈刚，李佳，肖伸平

(1.湖南工业大学电气与信息工程学院，湖南株洲，412007；2.电传动控制与智能装备湖南省重点实验室，湖南株洲，412007)

复杂动态网络本质上是一种具有复杂拓扑结构特征的图论[1]。在过去的几十年中，复杂动态网络广泛应用于现实世界物理和社会系统建模，如神经网络、互联网、社交网络、传感器网络的目标追踪、电力系统和食物链网络[2-8]。在复杂动态网络中，系统的同步性是复杂动态网络代表性现象，其应用于信息处理、安全通道、交通系统等领域，已成为控制领域的研究热点[9-11]。文献[12-16]对一些复杂动态网络的同步性和稳定性分析工作进行了研究，并取得了一些突出成果。随着通信技术的不断发展及数字控制在连续系统的控制过程中具有速度快、体积小、精度高和成本低的优点，人们对复杂动态网络的数据采样同步控制问题进行了研究。实际上，在数据采样控制中，在tk时刻更新信号并将信号从采样器成功传输到控制器和零阶保持器，会经历信号传输延迟，故研究时滞复杂动态网络具有重要意义，其主要目的是通过采样控制来保证时滞复杂动态网络有尽可能大的采样间隔[17-23]，同时设计出1 个采样控制器使系统达到同步稳定。如文献[18]提出了一种新的凸优化方法和神经元激活函数的不等式，得到1个保守性较小的采样区间。文献[19]对具有记忆的时滞复杂动态网络的非脆弱指数同步采样控制进行了讨论，进一步增大了采样区间间隔。文献[22]为进一步获得更多的采样区间间隔，优化所构建的泛函，建立了一些含自由权矩阵的恒零等式去增强增广泛函中各向量之间的组合关系。然而，尽管人们对数据采样控制和时滞复杂动态网络的同步性进行了研究，但所得到的成果具有很大的保守性。为此，本文基于一种新Lyapunov 泛函方法研究时滞复杂动态网络同步采样问题，主要步骤为：1)构造一种新Lyapunov 泛函，这种泛函的部分系统状态变量使用状态区间相关矩阵连接，使得Lyapunov 泛函中的向量组合关系增强，同时，这也进一步优化了双闭环泛函；2)利用一些积分不等式估计泛函求导中的积分项并结合线性矩阵不等式方法，得到1个较少保守性的复杂动态网络稳定的新判据；3)设计1个能保证时滞复杂动态网络同步的数据采样控制器；4)通过仿真实例结果和状态轨迹图说明本文方法的优越性和可行性。

1 问题描述

采用如下标号：上标“T”和“-1”分别表示转置和求逆；Rn和Rn×m分别代表实数域的n维向量和n×m的矩阵；矩阵P>0 表示矩阵P是正定的；0和I分别表示合适维数的零矩阵和合适维数的单位矩阵；P为矩阵；Sym{P}表示P+PT；符号“*”表示块对称矩阵中的对称项；⊗表示Kronecker 乘积；diag{a1,…,an}代表块对角矩阵；col{a1,…,an}代表一组列向量，其中a1,…,an为矩阵元素。

考虑N个相同耦合节点组成的时滞复杂动态网络，其中每个节点都是1 个N维动力系统，其方程为

式中：i=1，2，…，N；xi(t)和ui(t) ∈Rn分别表示时间t时刻时复杂动态网络其第i个节点的状态向量和控制输入；φ(xi(t))为连续状态值函数；c表示耦合强度；A=(γij)n×n∈Rn×n，为2 个连通节点间的内部耦合矩阵；G=(Gij)n×n，为网络拓扑节点的外部耦合矩阵，Gij若满足节点j到节点i(i≠j)连接，则Gij> 0，否则Gij=0，且矩阵G的对角元素为

另外，时变时滞h(t)满足0 ≤h(t) ≤h和(t) ≤μ。其中，h和μ是大于0的常量。

令s(t) ∈Rn表示自然孤立点，(t)=φ(s(t))表示状态轨迹，φ(xi(t))的定义与式(1)中的相同。

定义ri(t)=xi(t)-s(t)，其含义是节点i的状态xi(t)与期望的状态向量s(t)之间的误差，故误差系统可表述为

其中：i=1，2，…，N；f(ri(t))=φ(xi(t))-φ(s(t))。

ui(t)结合数据采样控制可表示为

其中：i=1，2，…，N；tk≤t

其中：d为最大采样期间。将式(4)代入式(3)得

其中：

引用如下假设和主要引理。

假设1U和V为合适维度的定值矩阵，则非线性函数φ(·) 满足以下条件：[φ(x)-φ(y)-U(x-y)]T×[φ(x)-φ(y)-V(x-y)]≤0,∀x,y∈Rn。

引理1文献[24]给出正定矩阵X∈Rn，对于任意可导函数w(s) ∈[α,β]→Rn，有不等式成立。其中：Γ1=w(β)-w(α)Γ2=w(β)+

引理2文献[25]给出正定矩阵X∈Rn，任意可导函数w(s) ∈[α,β]→Rn，Γ1∈Rn×k，Γ2∈Rn×k，任意矩阵D1∈Rn×k，D2∈Rn×k和向量ζ∈Rk，有如下不等式成立：

其中：

2 主要结果

为简化本文复杂的计算过程，本文只考虑含3个节点的复杂网络系统模型，并有如下符号定义：

定理1给定标量h>0，d>0，μ>0，ε>0，若存在矩阵P1>0，Q1>0，Q2>0，Z1∈R2n×2n，P2>0，P3>0，S>0，Z3>0，Z4>0∈Rn×n，任意矩阵Z2∈R4n×4n，Fi∈Rn×n(i=1，2，3)，M1∈R2n×11n和M2∈R2n×11n，有如下矩阵不等式成立：

则误差系统(6)渐近稳定。其中：

证明选择如下Lyapunov泛函：

其中：

然后，对构建的泛函求导，经过简单计算后，有如下积分项存在：

应用引理1处理式(10)，可得

运用引理2处理式(11)和式(12)，可得

此外，若存在常数ε> 0，则由假设1可得

同时，在计算过程中存在如下恒等式成立：

综上所述，可得

其中：tk≤t

注释1在泛函V1(t)中，通过引入状态区间相关的矩阵去连接系统的状态向量，若P2=P3=P，则转变成经典的泛函rT(t)Pr(t)，故本文的泛函更具有广义性与少保守性；另外，在双闭环泛函中，构造含更多状态信息的增广向量，优化文献[26]中泛函。

注释2在定理1中，F1，F2，F3和控制器增益K没有给出，从而矩阵不等式(7)和(8)是非线性矩阵不等式，无法用MATLAB 中工具箱求解，下面给出定理2去实现线性化并求解数据采样控制器。

定理2给定标量h>0，d>0，μ>0，ε>0，若存在矩阵P1>0，Q1>0，Q2>0，Z1∈R2n×2n，P2>0，P3>0，S>0，Z3>0，Z4>0∈Rn×n，任意矩阵Z2∈R4n×4n，Fi∈Rn×n，Hi∈Rn×n，Ki∈Rn×n(i=1，2，3)，M1∈R2n×11n，M2∈R2n×11n，且控制增益矩阵K=F-1H，有如下矩阵不等式成立：

则误差系统(6)渐进稳定。其中：

其他变量的定义与定理1中的一样。

证明令F1=λ1F，F2=F，F3=λ2F和H=FK，其他证明过程与定理1 的证明过程相同，可得定理2。证明完毕。

注释3在定理2中，采用文献[20,22]中的线性化方法，设F1=λ1F，F2=F和F3=λ2F，矩阵不等式(18)和(19)中的数据采样控制器增益K=F-1H可直接用MATLAB工具箱求出。

3 仿真实例

下面通过仿真实例证明本文方法的有效性和优越性。

考虑含3个节点的复杂动态网络模型，并有如下系统参数：

假设h=0.25，μ=0.5，则非线性函数g(xi(t))为

易知该非线性函数满足假设1，且

基于定理2，参数λ1和λ2选取与文献[22]中的相同，在MATLAB 工具箱中建立仿真，不同耦合强度c下的最大允许区间上界d如表1所示。

表1 不同c下的最大允许上界dTable 1 Admissible upper bound d for different c

由表1可知：选取λ1=0.20，λ2=1.00，c=0.50 和λ1=0.60，λ2=0.80，c=0.75 以及λ1=1.75，λ2=1.0，c=1.0，通过对比本文可以得到最大数据采样区间d与参考文献[18-19,21-23]中采样区间d，结果显示了本文方法具有明显的优越性。

基于定理2，设初始条件为：

当λ1=0.2，λ2=1.0，c=0.5 时，利用MATLAB工具箱得采样控制器增益为：

误差系统(6)的无控制输入状态轨迹由图1所示。由图1可知：当u(t)=0 时，系统是发散的。当加入本文设计的控制器后，控制输入u(t)仿真图和误差系统(6)状态轨迹r(t)仿真图分别如图2和图3分别所示。由图2和图3可知：基于定理2计算的控制输入矩阵增益能够使误差系统(6)的状态轨迹最终趋于稳定，这也证明了本文方法是有效的。