剪力铰对地铁列车-劣化浮置板轨道振动的影响

2020-11-13蒋吉清张佳斌董北北魏纲廖娟

中南大学学报（自然科学版） 2020年10期

蒋吉清，张佳斌，董北北，魏纲，廖娟

(1.浙大城市学院工程学院，浙江杭州，310015；2.浙江大学建筑工程学院，浙江杭州，310058)

地铁在缓解城市交通压力、方便市民出行等方面发挥了巨大的作用，但同时也产生了环境振动及噪声等相关问题。目前国内常见的地铁轨道主要包括轨枕埋入式整体轨道、弹性支承轨道、浮置板轨道等，其中钢弹簧浮置板轨道因其优良的减振降噪作用而被广泛应用于国内外城市轨道交通的特殊减振区段，如德国柏林地铁、北京地铁13 号线、杭州地铁1 号线等。目前，针对地铁浮置板轨道的研究主要集中在结构完好状态下的车轨振动性能及其隔振效果[1-5]、板端剪力铰约束作用[6-7]等方面。然而，由于浮置板混凝土质量不良、顶升安装施工技术不当、长期运营荷载作用等因素的影响，地铁浮置板道床可能出现裂纹损伤[8]，进而导致内部钢筋锈蚀，影响浮置板的整体受力性能。对于轨道板开裂及损伤问题，已有不少学者进行了研究。林红松等[9]引入损伤函数模拟道床裂纹，探讨了道床裂纹对双块式无砟轨道动力特性的影响，发现道床裂纹对道床及下部结构的动应力影响显著；朱胜阳等[10]基于损伤塑性模型和线弹性模型，研究了道床板损伤时轨道-路基结构的动力特性；方树薇[11]对北京地铁各类无砟轨道结构损伤情况进行调查，建立了含道床裂纹的车轨耦合模型，并针对不同的分析工况选取了相应的求解模式；陈小平等[12]建立了考虑轨道板损伤的轨道-桥梁纵向相互作用力模型，通过有限元法分析了轨道板开裂对系统纵向力的影响。本文作者通过引入浮置板道床抗弯刚度折减系数，建立并求解地铁列车-劣化浮置板轨道-衬砌-土体耦合动力分析模型，研究地铁浮置板道床刚度劣化、板端剪力铰约束、车速等因素对于地铁列车-浮置板轨道系统振动性能的影响，以期为地铁安全运营和后期维护提供参考。

1 车轨模型

1.1 列车模型

本文采用悬挂质量模拟地铁列车，如图1(a)所示。车体、转向架、轮对均视为刚体，轮对与转向架、车体与转向架之间分别通过一系、二系弹簧-阻尼悬挂装置连接。车体和2 个转向架同时考虑竖向平动与点头运动，4 个轮对仅考虑竖向平动，共计10个自由度。

1.2 轨道模型

地铁离散型钢弹簧浮置板轨道系统的简化模型如图1(c)所示。其中，地铁钢轨采用两端简支的有限长Euler 梁模型进行模拟[13-14]，浮置板采用两端自由的Timoshenko 梁模型，衬砌采用Timoshenko 简支梁模型，隧道下方土体采用均布弹簧阻尼单元进行模拟。钢轨与浮置板之间的扣件、浮置板下方的钢弹簧等支承元件均采用离散弹簧阻尼单元模型，其中扣件间隔Lrs为0.625 m，钢弹簧间隔Lst为1.25 m。相邻浮置板之间通过剪力铰连接[15]，以增强轨道的整体刚度。剪力铰采用弯剪弹簧阻尼单元模型[16]，如图1(b)所示。

图1 浮置板轨道车轨系统及剪力铰模型Fig.1 Model of vehicle-track system and dowel joint of floating slab track

2 动力平衡方程

2.1 列车方程

根据结构动力学理论建立列车的动力平衡方程：

式中：Mv，Cv和Kv分别为列车的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵；zv为列车位移向量；Fv为列车各部分所受外力，主要包括自重和轮轨接触力；上标“˙”和“˙˙”分别表示位移关于时间的一阶和二阶导数。

本文的轮轨关系采用线弹性接触理论，轮轨接触力Fw表示为

式中：zr为钢轨竖向位移；Kwr为轮轨接触刚度；zw,i为第i个轮对的竖向位移；xw,i(t)为t时刻第i个轮对所在的位置。ε(x)函数用于判断轮对是否位于钢轨之上，当脱离钢轨时，ε(x)取为0，反之为1。

2.2 轨道方程

钢轨采用两端简支的Euler 梁进行模拟，其动力控制方程如下：

式中：Er为钢轨弹性模量；Ir为钢轨截面惯性矩；ρr为钢轨密度；Ar为钢轨截面面积；Fr(x,t)为钢轨所受外力；ns为计算长度内的浮置板数量；nrs为单块浮置板上的扣件数；δ(x-xw,i)为Dirac 函数，x为钢轨坐标，xw,i为第i组轮对的位置；为第i块浮置板上第j个扣件对钢轨的作用力；为第i块浮置板上第j个扣件的位置。

浮置板采用两端自由的Timoshenko 梁进行模拟，相应的动力方程为

式中：zs和φs分别为浮置板竖向位移和转角位移；Fs(x,t)和ms(x,t)分别为浮置板所承受的竖向外力及分布弯矩；κ，As和Gs分别为浮置板剪切系数、横截面面积和剪切模量；ρs，Es和Is分别为浮置板的密度、弹性模量和截面惯性矩。

地铁隧道的衬砌结构视为两端简支的Timoshenko 梁，衬砌的动力平衡方程参照浮置板动力方程。

考虑板端剪力铰对浮置板的约束作用，此时，浮置板板端将承受剪力铰所产生的集中力F和集中弯矩M的作用，以第i块浮置板为例，其板端荷载的具体表达式为：

式中：ls为单块浮置板的长度；Kt和Ct分别为剪力铰的抗剪刚度和抗剪阻尼系数；Km和Cm分别为剪力铰抗弯刚度和抗弯阻尼系数。

2.3 车轨耦合系统动力平衡方程

联立列车与钢轨、浮置板、衬砌的动力平衡方程[17]，可得到车轨耦合整体动力方程如下：

式中：MG，CG和KG分别为耦合系统总体质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵；FG为耦合系统总体外力向量；zG为耦合系统总体位移向量。

3 车轨整体振动求解

考虑振型的正交特性，对梁的振动微分方程进行模态分解[18]。

钢轨竖向位移zr的表达式可设为

式中：qr,k(t) 为第k阶钢轨广义振型坐标；zr,k(x)为第k阶钢轨主振型函数；mr为钢轨振型计算数量。两端简支的Euler 梁自振模态及自振频率分别为zr,k(x)=sin(kπx/lr) 和其中lr为钢轨长度。

浮置板的竖向位移zs(x,t) 及转角位移φs(x,t)可表示为：

式中：qs,k(t)为第k阶浮置板广义振型坐标；zs,k(x)和φs,k(x)为第k阶浮置板位移主振型函数和转角模态；Ns为浮置板振型的计算数量。

两端自由的Timoshenko 梁前2 阶振动模态反映刚体的竖向平动和刚体转动，表达式如下：

式中：ωs,1和ωs,2分别为第1和第2阶浮置板自振频率。

3阶及以上振动模态可结合Timoshenko梁控制方程及边界条件进行计算，经推导可得：

式中：λ1k和λ2k为第k阶浮置板振动波数；c1k，c2k，s1k，s2k，g1k和g2k均为第k阶浮置板振动模态系数。

同样，结合Timoshenko 梁方程和两端简支的边界条件，可推导得到衬砌的竖向位移和转角位移表达式。

将振型分解后的位移或转角表达式代入车轨整体动力方程，形成常微分形式的车轨耦合振动矩阵，最后通过Newmark-β数值计算方法求解出车轨系统的振动响应。

4 浮置板劣化模型和相关工况

由于施工技术不当、长期运营荷载作用等因素的影响，地铁浮置板道床可能出现裂纹损伤并造成整体抗弯性能劣化。为此，本文引入劣化系数α表示折减后的浮置板抗弯刚度，即EαIα=(1-α)EsIs。当α为0 时，浮置板处于完好状态；当α为1时，代表完全劣化的情况。将EαIα代替浮置板方程中的EsIs，可得到劣化浮置板的自振频率及振动模态，并进一步求解得到浮置板劣化情况下的车轨动力响应。

本文假定轨道跨中处的浮置板出现劣化情况(即第7块浮置板，150≤x≤175 m)，如图2中的阴影部分所示。

5 数值结果及分析

以地铁B型车辆为例，参考钢弹簧浮置板轨道的参数取值范围，确定车轨模型的计算参数，如表1所示。

5.1 剪力铰的作用

图2 浮置板劣化工况Fig.2 Deterioration of floating slab

为研究板端剪力铰在浮置板抗弯刚度劣化情况下的约束作用，分别对无剪力铰和有剪力铰2种工况下列车-劣化浮置板轨道-衬砌-土体整体振动进行对比分析。浮置板抗弯刚度劣化系数取为α=0.5，列车车速取为v=54 km/h。

车体及首个轮对加速度响应如图3(a)～(b)所示。由图3可见：在有剪力铰的情况下，车体加速度幅值和轮对加速度幅值相比无剪力铰情况都显著减小。其中，无铰状态下车体加速度幅值为0.011 m/s2，有铰状态下车体加速度幅值为0.007 m/s2，比无铰状态减小了36.6%；轮对加速度幅值较无铰状态下减小了71.2%。由此可见，在浮置板劣化情况下，剪力铰对车体竖向加速度和轮对加速度均有显著的减弱作用。

图4(a)和图4(b)所示为列车轮下钢轨位移和轮下浮置板位移的时程曲线。从图4可以观察到：轮下钢轨位移和轮下浮置板位移在劣化区域(150≤x≤175 m)响应显著增大；此外，在无剪力铰情况下，由于浮置板板端位置处的刚度不连续，钢轨位移和浮置板位移在板端处会发生突跳现象，产生显著的板端位移差[7]，并且可能进一步加剧浮置板的损伤；而剪力铰对板端突跳现象有良好的抑制效果，使位移变化相对平缓。具体而言，钢轨位移幅值相较无剪力铰状态减小了11.7%，而浮置板位移幅值则减小了18.7%。

表1 车轨模型参数表Table 1 Parameters for train-track model

图3 车体及轮对加速度Fig.3 Acceleration of the carriage and wheelset

劣化浮置板左端的首个扣件和首个钢弹簧的反力曲线分别如图5(a)和图5(b)所示。可见有剪力铰情况下钢弹簧反力幅值减小了20.2%，扣件反力幅值减小了23.1%，且扣件拉力(负值部分)大幅减小，能有效避免扣件在大幅度交变荷载循环作用下的松弛失效及疲劳破坏。

5.2 浮置板抗弯刚度劣化程度的影响

为深入研究浮置板抗弯刚度劣化程度对地铁车轨振动的影响，计算不同刚度劣化系数(α=0～0.9)情况下列车-轨道系统的振动响应，见图6。

如图6(a)所示，车体竖向加速度幅值随着劣化系数的增大而增大，有剪力铰情况下从0.006 m/s2增至0.009 m/s2，无剪力铰时则从0.011 m/s2增至0.012 m/s2，增幅分别为46.6%和10.5%。总体而言，板端剪力铰对抗弯刚度劣化情况下的车体加速度有一定的减缓作用，但随劣化系数增大，其作用效果逐渐减小。

图6(b)和图6(c)所示分别为轮下钢轨位移幅值和轮下浮置板位移幅值随刚度劣化系数的变化曲线，可见二者均随劣化程度的增加而增大，但钢轨位移受浮置板劣化系数的影响较小，在无剪力铰状态下钢轨位移幅值的改变量仅为8.8%。

此外，经计算表明，浮置板劣化系数对浮置板钢弹簧力以及衬砌的各类动力响应影响较小。

图4 轮下钢轨及浮置板位移Fig.4 Displacement of rail and floating slab under wheel

图5 劣化板左端首个扣件反力和钢弹簧反力Fig.5 Reaction forces of the first fastener and steel spring at the left end of deteriorated slab

图6(d)所示为劣化浮置板板中的加速度幅值随劣化程度的变化曲线。可见，板中加速度幅值对劣化程度非常敏感，在有剪力铰和无剪力铰状况下分别增加了2.9 倍和1.8 倍，可将其作为观察浮置板抗弯刚度劣化的敏感指标。

5.3 列车速度对车轨振动的影响

列车车速对于地铁车轨耦合系统的动力性能有较大影响[19-20]。根据40～80 km/h 的常见地铁列车速度，分别选取10，15 和20 m/s 等3 种情况进行计算分析，抗弯刚度劣化系数取为α=0.5。

图6 劣化浮置板车轨系统随劣化系数的振动响应Fig.6 Dynamic responses of the deteriorated slab train-track system with deterioration coefficient

图7 车体和首个轮对加速度随车速变化时程曲线Fig.7 Time-history curves of carriage and the first wheelset acceleration under different train speeds

如图7(a)和图7(b)所示，当列车速度由10 m/s增大到20 m/s 时，车体竖向加速度增幅达到了37.5%，而列车首个轮对的加速度增幅则达到了2.9 倍。可见，在浮置板刚度劣化情况下，提高列车速度会大幅加剧车体振动，从而降低乘客的舒适度。

不同列车速度下轨中加速度、劣化浮置板(第7 块板)板中加速度及衬砌中心点加速度的时程曲线分别如图8(a)～(c)所示，可见随着车速的提高，三者均显著增大，其中，当列车速度由10 m/s增加到20 m/s时，轨中加速度幅值绝对值由0.144 m/s2增至0.584 m/s2，增加了3.1倍；劣化板板中加速度幅值绝对值增加了3.8 倍；衬砌中心点加速度增幅最大，增加了5.2倍。

总结来看，列车速度对浮置板抗弯刚度劣化情况下的车轨加速度响应有显著影响，但计算表明，车速变化对于钢弹簧力、钢轨位移等响应的影响并不明显。