等效建模与SR-UKF算法的SOC估算研究

吉伟康，王顺利，邹传云，夏黎黎，时浩添

(西南科技大学信息工程学院，四川 绵阳 621010)

0 引言

目前，随着经济的迅速发展，世界所面临的污染问题与交通问题越来越严重，能源损耗过度所造成的能源危机已经引起世界各国广泛关注。因此，各个国家都致力于新型能源的开发与研究，以满足巨大的能源需求，缓解环境污染问题[1]。在众多新能源项目研究成果中，锂电池以其能量密度高、寿命长、体积小、无污染、无记忆效应、输出功率大等优点，得到业界的广泛关注与研究，并且在新能源领域得到了诸多应用，已成为新能源开发领域的重点项目，发展前景广阔[2]。在锂电池技术蓬勃发展的同时，其荷电状态(state of charge,SOC)与健康状态(state of health,SOH)成为了锂电研究的重点与难点。准确的锂电池荷电状态估计，对充分发挥锂电池性能与实现对锂电池实时状态检测与安全控制具有重要意义[3]。因动力锂电池具有强烈的非线性，故其SOC无法通过传感器或其他测量手段直接获取，必须通过测量电池电压、工作电流、电池内阻等物理量并采用一定的数学方法估计得到[4]。这使得锂电池的荷电状态估计需要依赖于针对锂电池特性建立的等效模型。不仅如此，由于锂电池在复杂工况下所表现出的强烈非线性特性，仅仅依靠等效模型很难准确地对锂电池特性进行表征[5]。将由无迹卡尔曼滤波算法改进后的平方根无迹卡尔曼算法运用于锂电池SOC估算，建立准确的等效电路模型，可提高算法估算效果。试验结果表明，相较于传统无迹卡尔曼算法，平方根无迹卡尔曼算法在SOC估算方面具有更高的精确性[6]。

1 理论分析

1.1 等效电路建模

在进行锂电池SOC估算时，建立电池等效模型来模拟电池工作状态与工作特点十分重要。SOC的估算精度很大程度上取决于等效模型对电池动态特性的表征程度。考虑到方法、环境、工程应用等多方面因素，在几种常用等效模型中选择等效电路模型中的Thevenin模型作为锂电池仿真模型。Thevenin模型由内阻模型并联一个RC回路所构成，具有原理简单、参数少等优点，并且模型中的RC回路能够较好地模拟电池充放电过程中的极化效应，表征电池内部化学反应[7]。Thevenin模型是常用的等效电路模型之一，其电路图如图1所示。

图1 Thevenin等效电路图Fig.1 Thevenin equivalent circuit model

图1中：UOC为开路电压；UL为电路端电压；Ro为欧姆内阻；RP为极化电阻；CP为极化电容。

采用Ro反映锂电池放电以及放电结束瞬间电池端电压变化，RP和CP的并联电路表征电池充放电过程中的极化效应[8]。由图1的电路模型可得电路方程：

(1)

对应图1，以电池放电时的电流方向为正、充电时电流方向为负，用UP(0)表示电池极化过程的初始电压，并根据τ=RPCP，可建立如式(2)所示的Thevenin等效电路模型时域关系方程。

(2)

1.2 模型参数辨识

为建立能够模拟电池工作状态的等效电路模型，选用三元锂电池进行模型参数辨识。电池的额定容量为70 A，经过三次完整充放电试验测得电池的实际容量为68.2 A。在温度为25 ℃条件下，对电池进行混合动力充放电(hybrid pulse power characterization,HPPC)试验。通过电路关系方程式以及构建的参数方程对模型中的各个参数进行辨识，并结合试验数据与仿真辨识结果对模型精确度进行验证。

为获取模型参数辨识所需的电压、电流等数据，对三元锂电池进行HPPC试验,分析在特定温度条件下下电池的工作过程以求取所需参数。HPPC试验一次充放电循环的电压与电流变化曲线如图2所示。

在图2(a)所示的电压变化曲线中，造成电池放电以及放电结束瞬间电压突变的原因是电池欧姆内阻的分压作用，分别对应U1～U2以及U3～U4段；造成电压缓慢下降与缓慢回升的原因是电池的极化效应，分别对应U2～U3以及U4～U5段。利用式(1)中等效电路端电压与参数之间的关系，可建立参数方程：

图2 HPPC试验数据变化曲线Fig.2 Data change curves of HPPC experiment

(3)

三个参数a、b、c为曲线拟合目标系数，与模型参数具有如下关系：

(4)

根据式(4)所示的辨识系数与模型参数之间的关系，再通过曲线拟合得到的具体辨识系数，就可以得到在不同SOC值下各个模型参数的具体数值。

3.3 平方根无迹卡尔曼迭代计算

目前，常用的电池荷电状态估算方法有以下几种：开路电压法、安时积分法以及卡尔曼滤波法。①开路电压法无法实现对电池SOC的实时在线估计。②安时积分法虽然能够满足实时SOC估计的要求，但由于其计算过程容易产生较大的累积误差，故不适用于精度较高的SOC估算场合。③卡尔曼滤波(Kalman filter，KF)算法，以其能够实时估算SOC值并且具有较高估算精度等优点，成为目前SOC估计的研究热点[9]。KF算法是由时域内的状态空间理论创立的滤波理论，算法的核心思想是对动态系统的状态进行小均方意义上的最优估计，利用“预测估计预测”的算法体系提高系统估算精度。然而，KF算法只适用于线性系统，在锂电池工作过程中，大部分呈现出非线性特性，必须首先运用卡尔曼波算法将非线性系统进行线性化处理。这个过程会引入误差[10-11]。

平方根无迹卡尔曼滤波算法(square root unscented Kalman filter，SR-UKF)是基于无迹卡尔曼算法(unscented Kalman filter，UKF)改进的算法，它与无迹卡尔曼算法一样，摒弃了对非线性函数进行线性化的做法，直接对非线性系统进行处理[12]。它与无迹卡尔曼算法最大的区别在于：SR-UKF算法用状态变量的误差协方差的平方根来代替状态变量的误差协方差，直接将协方差的平方根值进行传递，避免在每一步中都进行再分解。该方法能够保证状态变量协方差矩阵的半正定性和数值的稳定性，从而克服滤波发散。相对于UKF而言，SR-UKF在锂电池SOC估算中具有更高的精确性和抗干扰性[13]。SR-UKF算法示意图如图3所示。

图3 SR-UKF算法示意图Fig.3 Flowchart of SR-UKF algorithm

平方根无迹卡尔曼算法使用了三种强大的线性代数技术，分别是QR分解、Cholesky因子更新和高效最小二乘法。平方根无迹卡尔曼算法的具体算法流程主要包括四个部分，分别是初始化、Sigma点采集、时间更新和状态更新[14]。

(1)初始化。

确定状态变量初始值和误差协方差的初始值P0，S0是协方差P0的cholesky分解因子，初始值确定如式(5)所示。

(5)

(2)Sigma点采集。

(6)

(3)时间更新。

在得到(k-1)时刻的状态变量及输入变量的值的基础上，通过状态方程对状态变量进行一步预测。

(7)

(8)

(9)

(10)

根据式(7)状态变量的一步预测结果，由观测方程得出观测变量的一步预测值如下所示。Syk表示k时刻观测变量的误差协方差的平方根更新值。

(11)

(12)

(13)

(14)

(4)状态更新。

状态变量与观测变量的互协方差将直接影响卡尔曼增益的大小，而卡尔曼增益的准确度将影响SOC的估计效果。互协方差与卡尔曼增益的计算式如式(15)与式(16)所示。其中，yk为k时刻的试验测量值。

(15)

(16)

(17)

在SR-UKF算法中，通过Cholesky因数分解，计算状态变量协方差矩阵的平方根来初始化滤波器。然而，在随后的迭代中，传播和更新的Cholesky因子直接形成了Sigma点。Cholesky因子的时间更新Sxk是采用包含加权传播的Sigma点加上过程噪声协方差的矩阵平方根的复合矩阵的QR分解来计算的，随后进行的Cholesky更新是必不可少的。这两步替换了状态变量协方差中Px,k|k-1的时间更新，克服了UKF算法稳定性差的缺陷，同时保证了协方差矩阵的半正定性[15-16]。

2 试验结果分析

在对锂电池进行合理建模并对平方根无迹卡尔曼算法进行SOC估算应用的基础上，为了验证等效电路模型的准确性以及算法对SOC估算的精确性，在各种工况条件下对模型估算精度、估算收敛性以及模型仿真对真实试验数据跟踪性进行研究，得出相关结论。

2.1 参数辨识效果分析

对于等效模型的参数辨识，根据前文中的参数辨识理论基础，选用70 Ah三元锂电池，在25 ℃的恒温条件下对进行脉冲放电测试试验。通过试验测得的电压电流数据，计算得出的不同SOC状态下的模型参数，如表1所示。

表1 不同 SOC 状态下的模型参数Tab.1 Model parameters under different SOC states

根据表1求出的Ro、Rp、Cp、Uoc模型参数值，分别与对应的SOC值进行曲线拟合，设定合适的拟合阶数，得到各个模型参数与SOC的关系曲线。将相应曲线表达函数分别导入MATLAB/Simulink的仿真模块，利用安时积分法得到的SOC对Thevenin模型进行仿真，将电池的开路电压作为数据输出，与HPPC试验所得的真实电压相比较，并且计算出模型估算误差。电压对比及误差分布如图4所示。

图4 电压对比及误差分布图Fig.4 Comparison and error distribution of voltage

通过数据对比得出，HPPC测试条件下模型表征最大电压绝对误差约为42 mV，平均绝对误差约为22 mV，模型最大辨识误差约为1.1%，平均辨识精度在99.3%以上。通过试验与仿真，验证了Thevenin模型的表征精确性与可行性。

2.2 恒流放电工况效果验证

为了验证平方根无迹卡尔曼算法的实用性与精度，在25 ℃的温度条件下，对额定容量为70 Ah的三元锂电池进行恒流放电，得到电池的真实SOC变化数据；在MATLAB/Simulink中运用模型和算法对电池的SOC值进行预测，得到仿真SOC预测数据；将真实值与预测值进行比较，并计算误差。SOC对比及误差分布如图5所示。

图5 SOC对比及误差分布图Fig.5 Comparison and error distribution of SOC

在放电初期，算法预测值与真实SOC值具有较大误差。这是由于电池自身的非线性所造成的，在短时间内预测值迅速跟踪到真实值，说明平方根无迹卡尔曼算法具有良好的收敛效果。当算法收敛后，SOC的估算误差稳定在0.58%以内，验证了SR-UKF算法在恒流放电工况下对SOC的估算具有较高精度。

2.3 DST工况效果验证

动态应力测试(dynamic stress test,DST)工况是美国联邦城市运行工况简化后的一种复杂工况，对验证算法的SOC估算效果具有重要作用。为进一步检验SR-UKF算法的SOC估算精度，在25 ℃的温度条件下，对额定容量为70 A的三元锂电池进行DST工况测试，运用模型与算法对锂电池SOC值进行估算，并将UKF算法与SR-UKF算法在相同条件下的估算结果相比较，DST工况算法SOC估算结果对比如图6所示。

图6 DST工况算法SOC估算结果对比图Fig.6 Comparison of SOC estimation results of DST algorithm

试验结果表明，在DST工况下，SR-UKF算法对锂电池SOC值的估算具有较高的精确性，估算误差稳定在0.55%以内。相较于UKF算法，SR-UKF 算法不但具有减少计算量的优点，并且在放电初期和末期对锂电池非线性特性的处理更加有效，具有更高的SOC估算精度。试验验证了算法的改进价值，对锂电池荷电状态的估算研究具有一定意义。

3 结论

为了对锂电池SOC进行准确估算，利用等效电路模型对锂电池特性进行表征，模拟其工作状态。通过HPPC试验得到电池充放电状态中的电流、电压数据，根据定义求出锂电池SOC值，运用曲线拟合法建立SOC与等效模型中各参数之间的函数关系，在MATLAB/Simulink中进行仿真。对比电压估算曲线与真实电压曲线，得到模型辨识精度在1.1%以内。利用恒流放电工况测试和DST对SR-UKF算法的SOC估算精确度进行验证，预测误差分别在0.58%和0.55%以内，相较于无迹卡尔曼滤波算法有较大精确度提升，验证了算法的改进意义和精确性。本文研究对锂电池SOC估算算法提供了改进思路，具有一定研究意义。