分离矩阵归一化的单通道盲源分离幅度不确定性校正方法

马艺伟，肖 瑛

(大连民族大学 信息与通信工程学院，辽宁 大连 116605)

盲源分离是一种在源信号和混合矩阵未知的条件下，仅仅通过观测信号获得源信号估计的一种技术[1]。近年来，盲源分离技术在语音信号处理、地震信号处理、故障检测等领域得到了广泛应用[2-3]。但是，单通道盲源分离和盲源分离的不确定性，仍然是制约盲源分离在工程上推广应用的技术瓶颈问题。盲源分离的不确定性问题包括排列不确定性、相位不确定性和幅度不确定性[4]，其中排列不确定性与相位不确定性通常仅在通信信号处理中需要解决，在其他较多工程应用中均不具有特别影响。而幅度作为信号统计特性分析的一个重要参数，对于信号的时域以及时频域分析往往不能忽略。如在飞行器试验遥测振动信号处理中，准确获得某路单通道振动信号包含的独立分量，并确定该分量的幅度，对于试验鉴定具有重要意义。

单通道盲源分离可看作欠定盲源分离的一种特例[5]，目前较为成功的是稀疏化盲源分离和分解扩维的盲源分离方法。其中稀疏化盲源分离利用信号的稀疏特性或信号经过频域或时频域转换后的稀疏特性，通过滤波实现源信号的估计[6]，当信号本身不具有稀疏特性，或在变换域中信号的频谱或时频谱具有交叠时，稀疏化盲源分离效果不佳。分解扩维方法是将观测信号进行分解，得到多个分解分量实现观测信号维数扩展，将欠定问题转化为正定问题，并在此基础上利用传统盲源分离方法实现源信号的估计，典型的如结合经验模态分解[7]、奇异值分解的ICA盲源分离方法[8]。而消除盲源分离幅度不确定性影响的主要方法为最小失真法[9]和分离矩阵能量归一化方法[10]。其中最小失真法以分离信号与观测信号方差最小为准则，实现对分离信号幅度的校正，这一方法隐含了混合矩阵具有单位方差的约束，而信号的混合过程常常是未知的，因此这一方法的应用范围受限。分离矩阵能量归一化方法强制所有信号的幅值以单位1为标准，在每个频率段上以单位阵为标准进行统一伸缩，从而消除各频率段上的幅度不确定性，而非平稳信号中频率的估计并不准确，从而会使得分离矩阵能量归一化方法的幅度校正方法失效或结果误差较大。

基于单通道盲源分离和盲源分离幅度不确定性的已有研究成果，本文提出一种分离矩阵归一化的单通道盲源分离幅度不确定性校正方法。利用小波分解实现单通道信号的扩维，将单通道盲源分离转换为正定盲源分离问题，再利用FastICA方法得到分离矩阵，对分离矩阵进行归一化处理，最后利用归一化分离矩阵与小波分解扩维信号相乘得到最终分离信号，实现对盲源分离过程中幅度不确定性的校正。此方法无需额外设定约束条件，相对于最小失真法适用范围更广，方法直接在时域分离矩阵上操作，与分离矩阵能量归一化方法相比实现更为简单。仿真结果证明，文中提出的分离矩阵归一化幅度校正方法在无噪声干扰条件下校正相对误差可以达到10-3，在信噪比大于15 dB条件下，校正相对误差可达到10-2，幅度校正误差小于最小失真法和分离矩阵能量归一化方法，可满足工程中信号处理分析需求。

1 盲源分离与幅度不确定性

X(t)=AS(t) 。

(1)

如果m=n，则式(1)中给出的混合模型的盲源分离模型称为正定分离问题，此时约束混合矩阵A满足非奇异且时不变，即分离矩阵A满秩可逆，则一定可以得到一个逆矩阵使得式(2)成立。

Y(t)=WAS(t) 。

(2)

式中，Y(t)为源信号S(t)的估计。如果源信号满足彼此独立并且最多有一路为高斯噪声信号的条件，分离矩阵W是可解的。如果m>n，即观测信号的数目多于源信号的数目，称其为超定盲源分离问题。根据矩阵变换原理，此时的混合矩阵可以简化为秩为m×m的矩阵形式，即超定问题一定可以简化为正定问题求解。更为普遍的情况是m

(3)

从最小失真法和分离矩阵能量归一化方法的实现过程中可知，虽然最小失真法和分离矩阵能量归一化方法均在一定条件下解决了盲分离幅度不确定性问题，但两者都存在一定的局限性。最小失真法本质上约束混合矩阵具有单位方差，这一条件在实际工程上往往难以保证，而分离矩阵能量归一化方法涉及频域变换，不仅存在能量泄漏带来的误差，同时对于非平稳信号，以傅立叶变换为基础的频谱本身就无法保证其有效性。

2 结合小波变换的单通道盲源分离

将多分量单通道非平稳信号分解得到单分量信号进行分析，是故障信号检测和分析的一般方法。目前，小波变换[13]、经验模态分解[14]、局域均值分解[15]等方法在非平稳信号处理中均取得了较好的效果。将非平稳信号分解与盲源分离结合可以进一步保证分解分量信号的正交性，获得更好的处理结果。文中结合小波变换和盲源分离实现单通道信号的处理和分析，处理流程如图1。

在非平稳信号的各种分解方法中，小波变换具有严格正交性，同时小波变换基函数包含尺度因子和平移因子，可以根据信号频率内容的不同得到更为精细的分解结果，因此小波变换在非平稳信号的处理中具有独特优势，根据Mallat算法[16]可以方便实现小波的分解与重构。

虽然单通道多分量信号x(t)经过小波分解可以得到一系列小波分量yi(t)，(i=1,2,…,m)，但由于小波分解层数和小波分解基函数的选择不同，小波分解的性能也有所不同，因此得到的小波分量yi(t)一般不会达到理想的分析结果。以小波分解分量作为盲源分离的观测信号进行盲源分离，可以进一步保证分量信号之间的正交性，得到分离后的信号分量xi(t)，(i=1,2,…,m)。在xi(t)基础上进行信号频域或时频域的处理，将更有利于得到清晰的处理结果，如采用xi(t)进行WVD求解信号的时频分布可以有效避免交叉项干扰问题[17]。

3 分离矩阵归一化幅度校正方法

针对盲源分离幅度不确定性问题，提出一种简单易实现的分离矩阵归一化幅度校正方法。根据单通道盲源分离的实现过程可知，利用小波分解后的细节分量和近似分量求和可以还原单通道多分量信号，即在单通道盲源分离模型中，等效的混合矩阵并未改变信号中各个分量的幅度信息，因此，经盲源分离得到的各个分离分量幅度的变化是由分离矩阵引起的。设经盲源分离算法估计得到的分离矩阵如式(4)。

(4)

那么分离信号Y(t)可以表示为

Y(t)=WX(t) 。

(5)

根据矩阵系数乘积展开后可以得到

(6)

根据式(6)可知，分离信号Y(t)可以表示成为分离矩阵W与观测信号X(t)的线性组合，那么如果保证经过分离后信号的幅度保持不变，则对于分离矩阵的每一列必然要求式(6)成立。

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

4 仿真实验

仿真中利用三个中心频率不同的正弦信号叠加模拟多分量单通道信号，采样频率fs=2 048Hz，三个正弦信号的中心频率分别为f1=5Hz，f2=20Hz，f3=100Hz。

(12)

其中幅度系数bi分别设置为b1=2、b2=3、b3=5，仿真信号的时域波形如图2。

实际应用中，单通道盲源分离需要事先确定源信号中独立分量数目，本文采用边际谱峰值确定源信号中所包含的独立分量数目[18]，仿真信号的边际谱如图3，从图中可以确定源信号中包含3个独立分量。

对仿真信号利用小波变换进行分解，分解层数设置为6，小波基函数选择db30，并重构小波细节分量和近似分量，依据各层分量所包含频率内容，将小波分解分量组合为3路观测信号，然后利用FastICA算法进行盲源分离。在FastICA算法中设置最大迭代次数为5 000，学习步长为0.005。分离后的信号如图4。

从图4中可知，经过盲源分离后的各个分量幅度均发生了畸变，利用FastICA算法估计得到分离矩阵W，并根据式(9)和式(11)对分离后的信号进行幅度校正，校正结果如图5。

由FastICA算法得到分离矩阵W为

(13)

计算得到校正系数

λ=[-0.2805 0.4703 -0.7003] 。

(14)

(15)

经过归一化分离矩阵进行幅度校正后，分离分量信号的幅度均接近对应的仿真信号分量幅度。为了量化说明幅度校正结果，利用幅度校正后的分离信号与对应源信号分量方差的残差评价幅度校正精度。

δj=|σyj-σsj| ，j=1,2,3 。

(16)

计算可得δ1=0.001,δ2=0.005,δ3=0.004，说明分离矩阵归一化盲源分离幅度不确定性校正方法具有较高的精度，而最小失真法和分离矩阵能量归一化方法幅度校正后的残差均大于本文提出方法。为进一步说明分离矩阵归一化幅度校正方法的有效性，在仿真信号中加入噪声，验证在噪声干扰条件下该方法的性能，以幅度校正后的分离信号与源信号方差的残差平均值作为幅度校正精度，与最小失真法、分离矩阵能量归一化方法进行比较，进行500次蒙特卡洛仿真的结果如图6。

从图6可知，最小失真法在信噪比较低的条件下幅度校正精度优于分离矩阵能量归一化方法，而当信噪比大于20 dB时，分离矩阵能量归一化方法幅度校正精度优于最小失真法，说明分离矩阵能量归一化方法受噪声影响较大。本文提出的分离矩阵归一化幅度校正方法在不同信噪比条件下均有最高的幅度校正精度。

(17)

5 结 语

针对盲源分离幅度不确定性问题，在深入分析幅度不确定性产生原因的基础上，通过小波变换扩维方法解决了单通道盲源分离问题，并利用分离矩阵归一化方法对分离信号幅度进行校正，仿真实验结果证明分离矩阵归一化方法实现简单，具有较高的校正精度。盲源分离特别是单通道盲源分离幅度不确定性问题的解决，对推进盲源分离技术的工程应用具有实际意义，是解决信号频域或时频域幅度能量准确获取和分析的前提。在单通道盲源分离问题中，单通道信号所包含信号源数目的准确判别仍有待进一步的研究。