Hardy型算子的一些端点估计

杨会会，高贵连

(杭州电子科技大学理学院，浙江 杭州 310018)

0 引 言

1 一维Hardy型算子的端点估计

定理1设f为R+上的非负可测函数，其中α∈R，β>-1且η>-1。

证明(1)由Fubini定理知

(2)利用Fubini定理知，若α>-η-1，则

当β=η=0时，定理1验证了文献[9]中的相应结果对指标的要求是必要的。事实上由定理1证明可得更一般结论：设α∈R，β>-1与η>-1，则

2 n维Hardy型算子的端点估计

将第1节的结果推广到高维情形，得到如下结果。

证明(1)利用球面坐标变换可得

根据Fubini定理知

(2)利用球面坐标变换得

利用Fubini定理知，当α>-η-n时,

类似于第1节，也可以得到n维Hardy型算子在加幂权的Lebesgue空间上的有界的充要条件。

3 结束语

本文在文献[9]的基础上推广了一维及高维情形的Hardy型算子的一些端点估计，并证明这些端点估计对某些指标的限制是必要的。将本文的结果推广到一些其他形式的分数次Hardy型算子与多线性Hardy型算子上是下一步研究的重点。