递推关系求数列通项公式的五种常见模型

蔡华远 程玉林

【摘要】已知数列的递推公式，求其通项公式是高考数列中一类常见的题型，这类题型如果单纯的看某一个具体的题目，它的求解方法是灵活多变的，构造的技巧性也很强，但是此类题目也有很强的规律性，存在着解决问题的通法，本文就高考中常见的五类题型从解决通法上做一总结，方便于学生学习和老师的教学。

【关键词】递推关系 通项公式

【中图分类号】G633.6【文献标识码】A【文章编号】1992-7711（2020）30-233-01

类型一an+1=an+f（n） 型数列

【典型例题】1.已知数列{an}满足：a1=1，且an=an-1+n+3n（n≥2），求数列{an}的通项公式.

【详解示范】解：由an-an-1=n+3n（n≥2），∴a2-a1=2+32，a3-a2=3+33，a4-a3=4+34，…，an-an-1=n+3n，以上（n-1）个等式左右两边分别相加，得an-a1=2+3+4+…+n+32+33+34+…3n=      +       =      +  （3n-1-1）=    +  +  -  （n≥2）

又∵ a1=1，∴an=   +  +  -  （n≥2）

经验证，当n=1时也符合上式，∴数列{an}的通项公式为an=   +  +  -  .

【解后反思】形如an+1=an+f（n），将其转化为an+1-an=f（n），这是广义的等差数列，利用累加法求解，即利用恒等式an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）求通项公式。

【技能提升】已知数列{an}满足：a1=1，且an=an-1+

（n≥2），求数列{an}的通项公式。

类型二 an+1=an·f（n）型数列

【典型例题】2.在数列{an}满足：a1=1，an=2nan-1（n≥2），求数列{an}的通项公式.

【详解示范】 解：∵an=2nan-1（n≥2），∴   =2n（n≥2），∴    =2n-1，   =2n-2，…， =22，以上（n-1）个式子左右两边分别相乘，得  =2n·2n-1·2n-2……22=22+3+....+n=2

=2    ，∴an=2    （n≥2）.

经验证，当n=1时，a1=1也符合上式，∴数列{an}的通项公式为an=2    .

【解后反思】形如an+1=an·f（n），将其转化为  =f（n），这是广义的等比数列，利用累乘法求解，即利用恒等式an=a1· · ……   求通项公式。

【技能提升】在数列{an}中，a1=1，an=   ·an-1（n≥2），则数列{an}的通项公式。

类型三 an+1=ban+d型数列

【典型例题】3.已知数列{an}满足：a1=1，且2an+1=3an+5，求数列{an}的通项公式。

【详解示范】解：∵2an+1=3an+5，∴2（an+1+5）=3（a+5）.由a1=1，且2an+1=3an+5，知an>0，∴an+5≠0，   =  ，

∴数列{an+5}是首项为6，公比为  的等比数列，

∴an+5=6·（  ）n-1，

∴数列{an}的通项公式为an=6·（  ）n-1-5.

【解后反思】形如an+1=ban+d﹙其中b，d为常数，b（b-1）≠0﹚的数列，常用构造法.其基本思路是：构造an+1+x=b（an+x）﹙其中x=  ﹚，則{an+x}是公比为b的等比数列，再利用等比数列的性质即可求出an.

【技能提升】在数列{an}中，a1=1，an+1=4an+9n-3，求数列{an}的通项公式。

类型四 an+1=pan+qn型数列

【典型例题】4.已知数列{an}满足：a1=3，an+1=3an+2·3n+1求数列{an}的通项公式。

【详解示范】解：将an+1=3an+2·3n+1两边同除以3n+1，得   =  +2，∴数列{ }是以1为首项，2为公差的等差数列，∴   =1+（n-1）×2=2n-1，∴an=（2n-1）·3n.

【解后反思】形如an+1=pan+qn﹙其中p，q均为常数，且pq（p-1）（q-1）≠0﹚，一般在两边同除以qn+1，得    = · +  ，引入辅助数列{bn}﹙其中bn=  ﹚，得：bn+1= bn+ ，这样就转化为an+1=ban+d模型了。

【技能提升】在数列{an}中，a1= ，an+1=5an+3n，则数列{an}的通项公式。

类型五 an+1=    型数列

【典型例题】5.已知数列{an}满足：a1=1，且an+1=

求数列{an}的通项公式。

【详解示范】解：∵an+1=   ，a1=1，∴an≠0.

将an+1=   两边取倒数，得   =   ，即   =  +  ，∴ { }是以1为首项，

以   为公差的等差数列，

∴  =1+（n-1）· =    ，

∴an=   .

【解后反思】形如an+1=   ﹙p，q，r是常数﹚的数列，将其变形为   =  ·  +  .

若p=r，则{  }是等差数列，且公差为 ，可用公式求通项;

若p≠r，则再采用an+1=ban+d模型求解.

【技能提升】已知数列{an}中，a1=  ，an+1=   ，n∈N*，则数列{an}的通项 an=     .

结束语：本文选取了高考中常见的由递推关系求数列通项公式的五种典型例题，并详细总结出了每一种模型的解题套路，五类典型例题都各配备一道题型相似的技能提升训练题。

期望通过本文的学习，学生们可以熟练掌握由递推公式求数列通项公式的这五种常见模型，在考试中遇到这类题目时能够利用模型规范化快速准确求解。

【参考文献】

[1]刘毅然 路丽梅.提分宝典[M].上海交通大学出版社，2019（28）：32-33.