让错误“美丽”起来

刘瑞

【摘要】初中数学学习的过程，就是运用数学知识解决数学问题的过程，但是在学生解题过程中，总是出现这样那样的错误，针对学生常见的几个错误类型，解题中经常遇到的解题障碍，笔者简单从培养学生综合运用数学知识的能力、逻辑思维能力和解题技巧，实施策略谈谈自己的看法。

【关键词】初中数学;解题技巧;思维能力;实施策略

【中图分类号】G633.6【文献标识码】A【文章编号】1992-7711（2020）30-145-03

美国心理学家桑代克说过：“学习的过程，是一种渐进的尝试错误的过程。”有错误的课堂才是真实的课堂，没有错误就没有真正意义上的学习。学生的错误是宝贵的再生课程资源，教师要充分利用好学生的错误，经营好学生的错误，让错误“美丽”起来。在初中生数学学习的过程中，往往会暴露出这样或那样的错误，这都是正常现象，关键在于教师如何巧借错题资源，引导学生有效反思自己的错误思维路径，找到解决问题的方式方法，发展学生的思维能力，提高学生的解题技巧和准确率。笔者针对学生解题过程中经常出现的问题并对此进行分析，就如何提高学生的数学解题技巧谈些自己的体会。

一、活用定义定理，准确找到切入点，提高解题技巧

学习数学离不开解题，而解题的关键在于快速准确地找到解题的切入点，一旦切入点找准了，试题可能会迎刃而解。寻找切入点的方法很多，其中，从数学定义、定理、公式、辅助线出发找寻解题切入点是常用而有效的方法。其实，在初中数学教学中，牢固掌握并灵活运用概念、定义、定理是非常重要的，这对解答一些灵活性试题非常关键和有效，否则，就会出现解题的困惑甚至错误。

如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，且点D是BC的中点.试判断AD与BC的位置关系，并说明理由。

這是2019-2020八年级第一学期期末考试的一道试题，是一道典型的证明全等的试题，难度并不算大。但我在监考中发现，做错的学生非常多。问题集中表现为两类，一是部分学生对课本上的基本定义、全等判定掌握不牢、思维定势较为严重，不能灵活运用所学定理。在此题中，从所给已知条件中，是不能够直接证明AD⊥BC或AB=AC的。由于学生缺乏对三角形全等判定定理的变通能力，于是就没有了正确的解题思路，不得不跟着感觉走，就认为图中两个三角形是全等的，也不再考虑三角形全等的判定原理运用是否正确，直接按已知条件写出解题过程，凭侥幸解题，希望老师能够给分。二是不能准确找到解题的切入点，导致解题出现障碍。在此题中，所给的条件就是“边边角”，但如果根据课本，利用“边边角”来判定，这个判定不存在，直接写也是不对的。

怎么办？还有什么条件我没考虑到？题目中除了一条公共边之外，就是线段中点，还有一个就是角平分线，这个时候如果学生对角平分线的性质熟知能详的话，他们应该能够想到根据角平分线性质往角的两边做垂线，从而增加了一组条件，也就是增加了图2中的DE=DF和∠DFB=∠DEC=90°这两个条件，这样他们就能证明ΔAFD≌ΔAED或者Rt△BDF≌Rt△CDE（HL），从而根据等腰三角形三线合一性质，AD⊥BC.

其实，在学习全等判定的时候，我们对于几种全等判定的方法都是经过探究、练习、证明了的，在练习和讲解的过程中，也反复强调一般三角形没有“边边角”这一证明方法，学生也记住了几种全等的判定方法。但是，当遇到了不能直接用这些方法证明全等时，可以考虑转化成其他证明全等的方法。然而，当成绩出来并进行统计时，我们发现该题的得分率非常低，为什么会出现这种现象呢？原因在于学生不能够从直接证明转化为间接证明。对于本道试题，命题人的目的是想让学生适切地寻找判定方法去证明三角形全等，正确地选择解题方法和技巧。再者，在解答这道题目时，根据条件不能直接证明两个三角形全等，应考虑借助辅助线或是二次全等的方法来解题。解题过程如下：

证明：如图，

作DF⊥AB，DE⊥AC，

∵AD平分∠BAC，

∴DE=DF，

∠BFD=∠CED=90°，

∵D是BC的中点，

∴BD=CD，

在Rt△BDF和Rt△CDE中，

∴Rt△BDF≌Rt△CDE（HL），

∴∠B=∠C，

∴AB=AC，

∴根据等腰三角形三线合一性质，AD⊥BC.

做任何事都需要变通，教学也不例外所以。在数学教学中，我们要引导学生学会在坚守着变通，在变通中创新，在创新中精彩，善于从不同角度去分析、思考问题，灵活运用数学定义、定理，另辟蹊径寻找解题的切入点，而不能死搬硬套，不求变通。否则，学习就会走入机械僵化的死胡同。

二、精准审题，强化融合，发展思维，提高解题技巧

核心素养背景下的数学教学特别强调数学知识的整合、勾连，做到活化知识，从而培养学生综合运用数学知识的能力、逻辑思维能力和解题技巧。提高学生解题技巧解题都是从审题开始的，审题的质量直接关系到解题的成功率。初中数学所涉及到的知识点非常多，学生想要在较短的时间里快速准确解决问题，一是要求学生对所学知识要熟知、熟练;二是要求学生认真审题，明确试题指向和意图，思考解题所用知识和思路;三是要求学生能把相关知识进行串联、并联、融合;四是要求学生逐渐从感性思维转为理性思维，提升自己的思维力。

当学生解题时，首先要认真研读试题内容和设问，对题目中的条件、结论和问题进行分析、归纳，弄清楚题目的条件和结论间的内在联系，分析这些联系与哪个或那些数学原理相匹配，从而锁定解题所用到的定理，这样就能较快地确定解题方法和解题思路。

如，2020年徐州市中考数学试题的第18小题：在△ ABC 中，若AB=6，∠ACB=45°，则△ABC的面积的最大值为;;;;。这是试卷上最后一道填空题，这道题的得分率也是很低的，原因是什么？经过了解学生得知，其原因是一部分学生没读懂题目，出现了思维“空白”现象，不知道如何下手，根本没想到三角形和圆结合，也就没有了解题方法。

在此道试题中，AB边等于6是定值，我们作CM⊥AB，找到CM的最大值，此题就可以迎刃而解。根据三角形全等的知识，从试题所给的两个条件，说明ΔABC是不唯一的，怎么找不固定三角形的高，最好的方法结合圆的知识，也就是知识的嫁接、融合。AB的长度一定，在构造的圆中作为定弦，它所对的圆周角度数是固定的，三角形ABC会随着点C的运动发生变化，C到AB的距离也就是三角形ABC的高也在不断变化，但是在高的变化中，我们能够确定高的最大值，从而也就找到了面积最大值的求法。

解题步骤如下：

解：作三角形ABC的外接圆⊙0，过0作CM⊥AB，

∴AM=BM（垂径定理），

∴AC=BC

∵∠AOB=2∠ACB=2×45°=90°

∴OM=AM= ;AB=3

∴AO=3  2

∴CM=OC+OM=3  2 +3

∴SΔABC= ;×6×（3  2 +3）=9  2  +9

思维是数学的生命和核心，数学教学是锻炼学生思维能力的体操，“为学生思维发展而教”是数学教师为师之本、教学之道。在解题时，培养学生的思维力就要让思维贯穿于解题的全过程，即贯穿于审题、思考、解题的整个过程。所以，我们在以后教学生解题时，要做到以下几点：（1）分析所给已知条件。要明确题目中的已知条件，思考、发现隐含条件，把复杂的目标转化成简单的目标，把抽象的目标转化成具体的目标。（2）确定解题思路。在弄清楚试题已知条件的基础上，要准确厘定解题思路，做到思路清晰，推理准确，步骤完整，无懈可击，从而提高解题的成功率。（3）注重知识的融合。数学知识的碎片化是制约学生解题出现障碍的主要因素。一道题目中的条件和结论之间存在着必然的联系，这些联系就是解题之关键。用哪些相关联的知识去解决问题是教师在教学中必须关注的重要课题。在此题中，三角形知识与圆的知识进行整合，是解题的关键。三角形能够确定一个圆，那三角形和圆有着不可分割的联系，这就需要学生心中有个知识联系的思维框架。由于学生没有想到三角形和圆的完美结合，就造成这道题没有解出正确答案。所以，培养和发学生思维的广泛性和深刻性、思维的灵活性和整合性、思维的逻辑性和创造性，是数学教学的重中之重。

三、巧用图形运动，发展学生想象力，提高解决技巧

图形的运动在初中阶段应用非常广泛，图形运动类试题也越来越受到命题者的青睐。图形运动类试题是以图形的平移、翻折、旋转等图形变换为解题思路的题目，这类试题把图形的性质和图形之间的数量关系、位置关系融合在变化的、相互依存的状态之中，设置问题，考查学生的想象力、思维力。有不少学生在解答此类试题时往往会不知所措，望而生畏。其实，只要掌握了做此类试题的技巧，就不会不知从何下手或者出现错误。

如，在九年级复习轴对称图形时，为检验学生对所学知识的掌握情况，我出了一道利用对称（也就是翻折）求面积的题目：如图所示，在等腰直角三角形ABC中，AB=4，两腰AC、BC与半圆相切于点D、E，求图中阴影部分的面积。

析解：这个题目直接解决是有难度的，也是容易出现错误的试题。在此題中，将整个图形沿AB所在的直线为对称轴翻折，得到如图4所示的正方形AGBC，根据对称性就能把不规则图形转化成规则图形，不少学生要么没有任何思路，要么出现各种错误。其原因是缺乏解图形运动类试题的思路和技巧。此题主要就是利用了图形的运动，通过两个三角形的平移、翻折、旋转，说明ACBG是轴对称图形（正方形），从而解决该题。在教学过程中，不少数学题目中充满着对称，利用对称性是解决数学问题的一种有效方法，也就是利用图形的翻折，找到解决问题的办法。但许多具体数学问题往往不具有对称的形式，因此，需要构造对称的图形来解决问题。

如图可知：

解：S阴 = ;（S正方形-S⊙O）

在RtΔABC中，

AB2=2BC2=42=16

∴BC2=8

∴⊙O的半径r= ;BC=;×2  2 =  2

∴S阴 =  （8-2π）=2-

再如，利用对称求最值。动点问题结合图形的运动对于初中的学生是比较困难的，比如我们常见的“小牛喝水”问题，讲了好多遍，每次遇到还是有一大部分学生不能正确解答，做这类题，我们一定要教会学生在“动中找静”，使隐蔽的条件明朗化，使分散的条件集中化，然后根据轴对称图形的性质，简化解题过程。

如图5，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，且（下转第149页）（上接第146页）点D为BC的中点，点P为AC上一个动点，求PB+PD的最小值。

析解这道题，PBD三个点，p是个动点，不好确定它的位置，但是，利用对称性，我们能确定B的对称点，B'D的长度就是PB+PD的最小值。 将△ABC以AC为对称轴翻折得△ACB'，连结B'D交AC于点P，连结PB'，PB.

解：根据正方形的性质PB=PB'

∴PB+PD=PB'+PD=B'D

在RtΔPCB'中

B'D=  CD2+CB2;=  1+22  =  5

即PB+PD的最小值为  5

简单说来，学生要正确解答图形运动类问题时，必须具有扎实的基础知识和灵活的解题能力，并且能够综合运用转化思想、数形结合思想、分类思想、方程思想等。在解题过程中，不被“动”所迷惑，从特殊情况入手，变中找不变，动中求静，以静制动，把动态的问题转化为静态的问题来解决，找到了“动”与“静”的联系，也就确定了解决问题的突破口。

总之，学生在解题时出现的各种错误是不可浪费的教育教学资源，利用错误拓展师生共同成长的空间，使教学在“出现错误——分析错误——经营错误——解决错误——再生错误”的过程中更加有效、更加精彩，这是新课程改革背景下教师促进学生学习，达成教学目标的必由之路。数学学习，无论是老师的教学过程还是学生的学习过程，必须要对基本概念深入透彻地理解，深层次地掌握数学公式、相关定理，对数学问题能多角度的思考，多向度的思维，善于归纳、总结做题的得失原因以及方法技巧，不断积累知识、经验，学生的数学学习会逐渐有灵感，解题会逐渐有灵性，从而使学生增强数学学习的获得感、成就感，同时学生的思维也会越来越敏捷，从而也提高了学生的数学解题能力。

【参考文献】

[1]杨斌：初中数学解题中的常见思维转化[J]数学学习与研究（教研版）2008.（08）.

[2]关维新：浅谈类比在数学解题中的技巧[J].中学教学参考，2010.（11）.

[3] 田维华：谈初中数学解题技巧[J].新课程（教育学术版）2007.（12）.

[4] 袁定洲：初中数学教学如何培养学生解题技巧[J].江西教育，2009.（Z3）.