关于方程logax=ax解的个数的讨论

邓子峻

【摘要】本文讨论了函数y=ax与其反函数y=logax的交点个数问题，即方程logax=ax的解的个数问题，针对满足a>0且a≠1的实参数a进行分类讨论，讨论每一类方程logax=ax解的情形，从理论上给出了这个问题较系统完整的分析。

【关键词】指数函数;对数函数;方程

【中图分类号】G633.6【文献标识码】A【文献标识码】A

对于方程log_ax=a^x，由于函数y=log_ax与函数y=a^x互为反函数，它们的图像关于直线y=x对称，往往使人们容易根据直观断言，当a>1时，方程log_ax=a^x无解，当0ax=a^x只有一个解，但遗憾的是，直观现象与本质并不相同，上述断言的第一部分和第二部分都不准确。

对于指数函数与对数函数交点的个数问题，在中学数学教材上的观点是：它们可能没有交点，可能只有一個交点，可能有两个交点，这从图像上很容易验证其正确性，但事实上，对于这个问题，有一个让我们始料不及的结果：那就是当a属于某一个范围时，指数函数与对数函数有可能出现三个交点。而这在中学数学教材上完全没有提及。对于这个问题，也有个外国学者做个一些讨论，参考文献给出了Waksman在1990年所作的结果：1：当0ax=a^x有三个解;2：当;ax=a^x有一个解;3：当a=e^-e，则曲线y=a^x与曲线y=log_ax仅有一个交点（e^-e，e^-e），并且也是两曲线的公切点。

本文并不局限于讨论a<1的情况，而是针对满足a>0且a≠1的所有实参数a进行分类讨论，讨论每一类方程log_ax=a^x解的情形，并最终得出包含上述三个结论的更全面的五个结论。

考察下面两个例子：

例1：当a=  2  时，y=（ 2 ）^x与y=log ₂ x 有两个交点（2，2），（4，4）

例2：当a=  ;时，y=（ ;）^x与y=log  x 显然有以下两个交点p₁（;，;），p₂（;，;），而p₁、p₂均不在直线y=x上，所以我们可以断定，当a=  ;时，y=（ ;）^x与y=log  x有三个交点，而第三个交点必在直线y=x上。（见引理，本文第7页）

使用几何画板，我们可以做出指数函数y=a^x与其反函数y=log_ax（a>0，a≠1）的图像的交点情况，观察图像，我们会发现，随着a值的变化，方程log_ax=a^x可能无解，可能仅有一解，也可能有两解，甚至可能有三解！当然这仅仅是用作图软件作出的结果，并没有严格的理论证明。

现在我们将问题一般化，对于满足a>0且a≠1的实参数进行分类讨论，讨论每一类方程log_ax=a^x解的情形。

3.1 当a>1时，方程log_ax=a^x解的情形

由于函数y=log_ax与函数y=a^x互为反函数，故它们的图像关于直线y=x对称，所以在讨论二者之间的交点时，我们可以先仅讨论函数y=a^x与直线y=x的交点情况，并由此来判断函数y=log_ax与函数y=a^x的交点情况。

在使用几何画板作图时，根据图象的动态启发，我们不妨先处理临界状态，即先求出函数y=a^x与直线y=x相切时a的值。但曲线y=a^x与直线y=x相切的条件是：

;a^x=x   a=x

→   → xlnx  =1→lnx=1

（a^x）'=1  ;a^xlna=1

解得x=e 得a=e      （1）

现考虑f（x）= a^x-x的最小值，由f'（x）=a^xlna-1知，当a^xlna-1=0时，得到f'（x）的唯一零点，

x₀=loga =-log_alna     （2）

使得f'（-log_alna）=0

当x <-log_alna时，由a>1时，指数函数的单调性，有a^x< 则f'（x）=a^xlna-1<0 所以f（x）单调递减。 （3）  ;

当x >-log_alna时，由a>1时，指数函数的单调性，有a^x> ，则f'（x）=a^xlna-1>0;所以单调递增。 （4）

所以当x=-log_alna时，f（x）=a^x-x取得最小值，最小值为f（-log_alna）= ;，又因为lna>0，所以只需讨论1+lnlna的正负，就可以判断f（x）最小值的正负（此时f（x）的最小值为a的函数）

由（1）知，只需讨论a与e;的关系。

①：当a>e;时，lna>lne  =

→lnlna>ln;=-1→1+lnlna>0

→f（-log_alna）=  ;>0

得a^x-x≥  >0，有a^x>x，即函数y=a^x的图像始终在直线y=x的上方，故函数y=log_ax的图像则始终在直线y=x的下方，所以方程log_ax=a^x无解。

②：当a=e;时，lna=lne  =

→lnlna=ln;=-1→1+lnlna=0

→f（-log_alna）=  ;=0

由（2）（3）（4）对函数f（x）=a^x-x单调性的讨论可知：除x=-log_alna外，f（x）=a^x-x> 0，即当a=e 时，函数y=a^x的图像在x=-log_alna处与直线y=x相切，与之相对应，函数y=log_ax的图像在x=-log_alna也与直线y=x相切。所在此时，方程log_ax=a^x仅有一解。

③：当1

→lnlna

→f（-log_alna）=  ;<0     （5）

又由1

→log_alna<0

→-log_alna>0

因为 f（0）= a⁰-0=1>0      （6）

由（5）（6）并依据连续函数的介值定理可知，在（0，-log_alna）上，存在x₁，使得f（x₁）=0，即是a^x1=x₁，得到曲线y=a^x与直线y=x在0alna有交点，又因为f（x）在x <-log_alna时单调递减（由（3）的讨论），所以交点是唯一的。

再由lim =0，而lna>0，所以存在x₂'>0，

使得lna>

→a^x2- x₂'>0  → f（x₂'）>0      （7）

由（5）（7）并依据连续函数的介值定理可知，在-log_alna2'上，存在x₂，使得 f（x₂）=0，即是：a^x2=x₂，所以函数y=a^x与直线y=x在-log_alna2'上有交点，又因为函数 f（x）在x >-log_alna单调递增（由（4）的讨论），所以交点也是唯一的。

所以，当1ax=a^x有兩个解，分别在区间（0，-log_alna）和区间（-log_alna，+∞）上。

综合以上讨论，我们得到如下结论：

定理1：当a>e;时，方程log_ax=a^x无解。

定理2：当a=e  时，方程log_ax=a^x有一解，此时曲线y=a^x与曲线y=log_ax 均与直线y=x相切。

定理3：当1ax =a^x有两个解，分别在区间（0，-log_alna）和区间（-log_alna，+∞）上。

3.2：当0ax=a^x解的情形

为了更好的讨论当0ax=a^x解的情形，我们不妨先证明以下一个引理：

引理：对每一个a∈（0，1），曲线y=a^x与曲线y=log_ax这两条曲线恰有一个交点在直线y=x上。

证明：从交点（x，x）出发，将底数a看作x的函数，即对每一x∈（0，1）

x=a^x→lnx=x·lna

→a=e

→  ;=e;· ;>0

因此，a是x的在（0，1）上的递增函数，而

lim a=lim e;=0

lim a=lim e;=1

这样，函数a=e;表示了从0x与曲线y=log_ax这两条曲线恰有一个交点在直线y=x上。

有了以上的准备，我们再来详细讨论当0ax=a^x解的情形。

如左图，设函数函数y=log_ax与函数y=a^x在直线y=x上交点的横坐标为x₀其中 x₀<ζ0+△x（易知x₀一定存在，在x轴上x₀右侧取一点x₀+△x（△x→0⁺）因为△x→0⁺时，即是：

f（x₀+△x）=f'（ζ）△x+f（x₀）

a^x0+△x=a^ζlna·△x+a^x0 （8）

log_a（x₀+△x）=  ;·△x+log_ax_{0   （}9）

又因为a^x0=log_ax₀

（8）-（9），得：

a^x0+△x-log_a（x₀+△x）=△x（a^ζlna- ;）（10）

由（10）得：当a^x0lna- ;<0时，以及由连续函数的保号性，使得： ;

a^x0+△x-log_a（x₀+△x）<0

即是：在x=x₀的右侧，存在一点x=x₀+△x，使得函数y=a^x的图像在函数y=log_ax图像的下方。      （11）

又因为：a^ax-logax=

当x≥1且0a^x<1，

∴ <1

→a^a  -logax<1→a^x-log_ax>0

即是当x≥1时，函数y=a^x的图像在函数y=log_ax图像的上方  （12）

由（11）（12）以及函数y=a^x、函数y=log_ax的連续性可知，在区间（x₀，1）内，函数y=a^x与函数y=log_ax定有一交点，对称地在内（0，x₀），两函数也存在一交点。且两交点并不在直线y=x上。再由已证的引理可知，此时两函数必有三不同交点

综上所述：当

a^x0lna- ;<0  ;………………….…… （13）

函数y=a^x与函数y=log_ax（0

又a^x0=x₀，…………………………… ……….. （14）

（14）代入（13）得：

x₀lna-  ;<0…………………………………  （15）

即是（x₀lna）²>1  →x₀lna<-1…………………  （16）

由（14）得，lna= ;<0……………………  （17）

（17）代入（16）得：lnx₀<-1→ x₀-1………  （18）

（18）代入（16）得：lna<-e→a<

所以當0ax=a^x有三个解。

同时由以上讨论可知：当 ;≤a<1时，方程log_ax=a^x仅有一个根，且这个根恰好在直线y=x上。

综合以上讨论，我们可以得到以下结论：

定理4：当0ax=a^x有三个解

定理5：当 ;≤a<1时，方程log_ax=a^x仅有一个根，且这个根恰好在直线y=x上。

数学学习的一个重要环节是要了解数学背景，获得数学经验，而数学经验的获得离不开实际操作，本文作者在使用几何画板作图过程中，将指、对函数的底数同取a，逐步使指、对函数的底数发生变化，最后影响两个函数图象的变化，当a由a>1逐渐缩小到a<1时，我们可以观察到指、对函数没有交点，一个交点，两个交点，再到一个交点的过程，让a继续缩小。大约a=0.01时。“奇迹”出现了。指、对函数的图象居然很清楚地出现了三个交点，故指数函数与对数函数是可以有三个交点的.然后作者从理论上给出了这个问题较完整的证明，并给出了以下几个定理：

定理1：当a>e;时，方程log_ax=a^x无解。

定理2：当a=e  时，方程log_ax=a^x有一解，此时曲线y=a^x与曲线y=log_ax均与直线y=x相切。

定理3：当1ax=a^x有两个解，分别在区间（0，-log_alna）和区间（-log_alna，+∞）上。

定理4：当0ax=a^x有三个解

定理5：当 ;≤a<1时，方程log_ax=a^x仅有一个根，且这个根恰好在直线y=x上。

从整个过程来看，充分利用现代教育技术，可以在运动过程中了解图像之间的关系和变化规律，可以使人更直观的看到原先想像不到的结果，并以此指导正确的数学思维。这对数学学习大有裨益。

同时，对于方程log_ax=a^x的解的个数，是否还有多于三个解的情况呢？从图像上看，似乎这并不成立，但本文并没有给出好的证明。

【参考文献】

[1]EISENBERG T. ，On Torpedoes and NonIntuitive Problems， [J].Teaching Mathematics and its Applications ，2000 ，19（2） ：98 - 100.

[2] 数学手册编写组，数学手册[M] . 北京：人民教育社，1979.

[3]余炯沛.函数y=a^x与函数y=log_ax图象的交点[J]. 数学通报，1998，8.

[4]张圣官，纠正一种错误认识[J]. 数学通报，1998，1.

[5]杨德兵，余咏梅.《关于方程log_ax=a^x解的范围》的质疑[J]. 中学数学教学参考，2005 ，7.