利用logoup 3D绘图软件突破简单多面体外接球问题

林朝冰

【摘要】数学建模是数学学科六大核心素养之一，创设真实情境是素养导向下高考数学的重要考查方式，简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点。事实上，2019年高考数学全国卷已经充分体现了对核心素养和情境化的考查，2019年高考数学全国Ⅲ卷的第16题就设置了一个3D打印的情境。logoup 3D绘图软件可以简单形象地画出球及各种多面体的3D图形，能生动形象地再现球与简单多面体的空间位置，并能通过3D打印机将模型打印出来。利用logoup 3D绘图软件绘制简单多面体及其外接球并通过3D打印机将绘制的模型打印出来，能达到三个目的，一是培养了学生数学建模的核心素养;二是为学生创设了一个真实的情境，在情境学习过程中数学核心素养得到了培养;三是使简单多面体外接球问题这个学习难点得以突破。笔者在教学过程中做了一些尝试，意在抛砖引玉，供大家参考。

【关键词】核心素养;外接球;logoup 3D绘图;创设情境

简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点，此类问题的关键是确定球心的位置进而求出球的半径。这类问题之所以成为学生的难点，主要是因为学生在头脑中没有形成清晰的空间形象，无法想象出球与简单多面体的空间位置。logoup 3D绘图软件可以简单形象地画出球及各种多面体的3D图形，能生动形象地再现球与简单多面体的空间位置，并能通过3D打印机将模型打印出来。

著名的学习金字塔告诉我们“做中学”或“实际演练”是主动学习的一种，学习效率可达到75%，学生在信息技术课中已经学习了logoup 3D绘图软件的使用，动手绘出简单多面体及其外接球，能有效帮助学生形成清晰的球与简单多面体的空间位置的空间形象，从而突破本问题的难点。

一、简单多面体外接球相关结论的推导

二、绘制直棱柱及其外接球

1.绘制边长为100的正方体及其外接球

将学生分为6个小组，让每个学生独立自主绘制2分钟，然后小组交流3分钟。

教师：同学们在绘制过程中遇到了什么困难？后来又是怎么解决的？

学生：绘制正方体后，光标位于正方体下底面的中心处，绘制球时，球心位于光标处，也就是说球心位于正方体的下底面的中心，所以必须移动光标，光标的位置和球的半径是解决本问题的关键。

成果分享：

logouo 3D绘图代码：

1 color red

2 cube 100，100，100

3 up 50

4 t=50*sqrt（3）

5 color lime

6 ball t

设计意图：直观地感受了球心与正方体中心的空间位置，进一步巩固了正方体外接球的半径与正方体边长之间的关系。

2.绘制边长为100的正方体及其内切球

将1.1的问题改为绘制内切球，学生很快得出解决方案，只须将第6行改为ball 50即可，这时有學生提出绘制的图形不像！教师适时引导哪里不像？如何修改才会更像？经过小组讨论很快学生得出修改方案，先绘制球再绘制正方体。

成果分享：

logouo 3D绘图代码：

1 color red

2 cube 100，100，100

3 up 50

4 color lime

5 ball 50

设计意图：体会到了用logouo 3D绘图的次序。

3.绘制长、宽、高分别为100、80、60的长方体及其外接球

要求：小组合作绘图方案，并分享成果。

教师：绘图次序是怎样的？

学生：先画长方体，再定球心，后求半径。

教师：球心位置如何确定？

学生：将光标上移30。

教师：球的半径怎么求？能用数学式子表述出来吗？

学生：设长方体的长、宽、高分别为a、b、c则球的半径为：

成果分享：

logouo 3D绘图代码：

1 COLOR red

2 CUBE 100，80，60

3 up 30

4 COLOR lime

5 t=0.5*sqrt（pow（100，2）+pow（80，2）+pow（60，2））

6 BALL t

设计意图：直观地感受了球心与长方体中心的空间位置，进一步巩固了长方体外接球的半径与正方体边长之间的关系。

4.绘制底面边长为30、高为30的正六棱柱及其外接球

要求：小组合作绘图方案，并分享成果。

教师：请分享绘制过程中遇到的问题及解决方案。

学生：不能直接插入正六棱柱，只能先画好正六边形再拉伸，而且画正六边形时，软件设定的变量是边数和外接圆半径，需要将边长换算成半径。

教师：如何换算？

学生：正六边形的边长等于外接圆的半径。

教师：球心位置如何确定？

学生：将光标下移15。

教师：前面的例子都是光标上移，为什么这个例了是下称？

学生：画好正六棱柱后光标位于上底面中心。

教师：球的半径怎么求？能用数学式子表述出来吗？

学生：设正六棱柱的底面边长为a，高为h，则正六棱柱的底面外接圆半径r=a，所以球的半径为：R。

成果分享：

logouo 3D绘图代码：

教师：球心位置如何确定？

学生：底面中心向上拉伸到33处。

成果分享：

1 NGON 4，56.5685425

2 COLORRGB（255，0，0）

3 FILL

4 BODY

5 SCALE 0

6 UP 100

7 DONE

8 UP-66

9 COLOR gray

10 BALL 66

设计意图：体会如何确定正棱锥外接球心的位置及求外接球半径的方法。

四、拓展：绘制圆锥及其内切球

1.相关结论的推导

定理2 已知球O是底面半径为r，高为h的圆锥的内切球，则球O的半径为

2.绘制底面半径为30，高为40的圆锥及其内切球

教师：内切球的半径怎么求？

教师：球心位置如何确定？

學生：底面中心向上拉伸到15处。

成果分享：

1 COLOR red

2 CONE 30，40

3 UP 15

4 COLOR blue

5 BALL 15

设计意图：体会如何确定圆锥外接球心的位置及求外接球半径的方法。

《普通高中数学课程标准》（2017年版）明确指出：“学科核心素养是育人价值的集中体现.是学生通过学科学习而逐步形成的正确价值观念、必备品格和关键能力。数学学科核心素养是数学课程目标的集中休现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的。数学学科核心养素包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。”

教育部考试中心任子朝先生在《从能力立意到素养导向》一文中指出：“素养导向的高考命题注重情境化试题的考查。情境活动指能够表现出学生学科素养的情境活动，是学科素养的载体，情境包指现实的生活实践情境活动与学术探究情境活动。在考查过程要理论结合实践，特别是结合生产、生活实际设计试题，采用源于社会、源于生活的真实的情境，考查学生分析和解决具有实际意义的问題的能力。”

事实上，2019年高考数学全国卷已经充分体现了对核心素养和情境化的考查，2019年高考数学全国Ⅲ卷的第16题就设置了一个3D打印的情境。

利用logoup 3D绘图软件绘制简单多面体及其外接球并通过3D打印机将绘制的模型打印出来，能达到三个目的，一是培养了学生数学建模的核心素养;二是为学生创设了一个真实的情境，在情境学习过程中数学核心素养得到了培养;三是使简单多面体外接球问题这个学习难点得以突破。

当前，信息技术飞速发展，利用3D打印等先进的信息技术辅助数学教学，是数学教学改革的发展方向。

参考文献：

[1]教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）.

[2]任子朝.从能力立意到素养导向[J].中学数学教学参考，2018，13.