弹塑性弯曲直梁的回弹变分原理及应用

陈英杰， 郭清超， 周梦飞， 张 华

(燕山大学河北省土木工程绿色建造与智能运维重点实验室, 秦皇岛 066004； 燕山大学建筑工程与力学学院, 秦皇岛 066004)

关于物体变形问题的研究由来已久，而应用变分原理研究物体的变形经过了漫长的时间，经研究发现，理想弹塑性材料的耦联系统塑性成形过程可以视为实际系统的变形，对应的反耦联系统的变形可以作为实际系统的回弹变形。因此，可以应用反耦联系统求解出弹塑性梁对应的回弹挠曲线方程。当前工程中涉及梁的变形及回弹问题还有很多是根据弹性理论或经验公式解决的，存在一定的误差，也在一定程度上造成材料浪费，为了限制弹塑性梁的变形，需要建立能够指导实际生产应用的理论。弹塑性梁的振动问题[1-2]和弯曲问题[3-4]一直被广大学者所关注，由于材料本构关系的原因，荷载作用下的梁会产生弯曲变形，从而截面会产生弹性区和塑性区，如何划分弹塑性区和弹塑性梁的变形是研究热点之一。受力构件卸载后，结构产生了反向变形，由于材料的回弹值很小，因此需要研究出有效、精确的方法解决回弹问题。中国学者对回弹问题开展了大量研究。吴斌等[5]基于U形板热冲压构件的残余应力与回弹影响之间的关系进行了研究；罗之军[6]建立了电子设备罩壳弹塑性材料有限元模型，对结构的回弹现象进行了研究；钱伟长研究发现，由于材料本构关系的原因，荷载作用下的梁会发生弯曲变形，从而会产生弹性区和塑性区，而弹性区和塑性区的分界面并不能事先给定，需要找出划分弹塑性区的分界线；前人采用边界待定的变分法[8-10]解决了塑性力学中理想弹塑性材料变形体弹性区和塑性区的划分问题，以及理想弹塑性材料的梁在不同条件下的变形及回弹问题，通过求解可以得到该类问题的精确解。对弹塑性直梁弯曲变形和回弹变形的研究具有重要的理论意义和工程应用价值。为了方便叙述，弯曲直梁变形均为有限变形。

1 弯曲直梁的反耦联系统和反耦联方程

首先引入弯曲直梁的反耦联系统和反耦联方程的概念，考虑材料、形状和尺寸相同，位移边界条件相同，但体力及边界力相反的两直梁系统。其中之一为成形直梁，该直梁在加载时发生弹塑性变形。另一直梁成为回弹直梁，该直梁在加载时只发生弹性变形。成形直梁和回弹直梁构成弯曲直梁-反耦联系统。成形直梁如图1所示。

成形直梁的平衡方程、静力边界条件和位移边界条件分别表示为

(1)

(2)

式中：M为成形直梁弯矩；Mx=0、Mx=l分别为成形直梁的梁左、右端弯矩；Wx=0、Wx=l分别为成形直梁的梁左、右端挠度。

(3)

回弹直梁和相应的力学方程分别表示为

x为成形直梁从原点o到直梁上任意一点的距离；为梁左、右端弯矩；表示梁左、右端挠度；q为均布外荷载；l为跨度图1 成形直梁Fig 1 Straight beam forming

(4)

(5)

(6)

式中：M′为回弹直梁弯矩；M′x=0、M′x=l分别为回弹直梁的梁左、右端弯矩；W′x=0、W′x=l分别为回弹直梁的梁左、右端挠度。

式(1)～式(3)分别与式(4)～式(6)合并，则得方程为

(7)

(8)

(9)

式中：式(7)为成形体与回弹体构成的反耦联系统的反耦联平衡方程；式(8)为反耦联静力边界条件；式(9)为反耦联位移边界条件。

2 弯曲直梁的回弹变分原理

2.1 弯曲直梁的回弹最小势能原理

采用加权余量法对式(7)、式(8)进行计算，则有：

(10)

对式进行相应的变分运算。

(11)

则得

(12)

式中：Π′sp为回弹直梁的弹性势能；A(K′)为回弹势能密度；式中：δ为变分极值；w′为回弹直梁的容许挠度；Me为梁水平方向弯矩κe为弹塑性区与弹性区交界处的转角；κ1为弹塑性区的转角；ξ为梁跨内弹塑性区长度；E为杨氏模量；J为惯性矩；A(K′)为回弹势能密度；K′为回弹直梁弯曲曲率。

对式(13)进行变分运算。

(13)

则得

(14)

根据变分法基本预备定理，则得欧拉方程为

(15)

(16)

(17)

2.2 弯曲直梁的回弹最小余能原理

应用加权余量法，可得回弹总余能Π′sc为

(18)

因

(19)

即

(20)

式中：B(M′)为回弹余能密度；K为成形直梁弯曲曲率；w为成形直梁的容许挠度。

(21)

由于内力是容许的，故应满足平衡方程和静力边界条件：

(22)

δM′x=0=δM′x=l=0

(23)

于是式(21)变为

(24)

据变分法基本预备定理，则得欧拉方程为

(25)

w′x=0-wx=0=0

(26)

w′x=l-wx=l=0

(27)

式中：wx=0、wx=l分别为成形直梁的梁左、右端容许挠度；w′x=0、w′x=l分别为回弹直梁的梁左、右端容许挠度。

3 弯曲直梁的广义回弹变分原理

3.1 弯曲直梁的广义回弹势能原理

应用拉格朗日乘数法，可得广义回弹势能泛函数为

(w′-w)x=l(Q′+Q)x=l

(28)

式(28)中：Π′gsp为回弹直梁的广义弹性势能；Q、Q′分别为成形、回弹直梁剪力。

对式(28)取w′、K′和M′的变分驻值，则得:

(w′-w)x=lδQ′x=l+(Q′+Q)x=0δw′x=0-

(Q′+Q)x=lδw′x=l=

(w′-w)x=0δQ′x=0-(w′-w)x=lδQ′x=l+

(Q′+Q)x=0δw′x=0-(Q′+Q)x=lδw′x=l=0

(29)

(30)

式(29)右端后两项和式(30)右端后两项相抵消，则式(28)变为

(w′-w)x=0δQ′x=0-(w′-w)x=lδQ′x=l-

(31)

根据变分法基本预备定理，则欧拉方程为

(32)

(33)

(34)

(w′-w)x=0=0

(35)

(w′-w)x=l=0

(36)

(M′+M)x=0=0

(37)

(M′+M)x=l=0

(38)

3.2 弯曲直梁的广义回弹余能原理

应用拉格朗日乘数法，则得广义余能泛函数为

(39)

式(39)中：Π′gsc为回弹直梁的广义弹性余能。

对式(39)M′、K′和w′取驻值变分，则得

(40)

则式(40)变为

(41)

根据变分法基本预备定理，则得欧拉方程为

(42)

(43)

(M′+M)x=0=0

(44)

(M′+M)x=l=0

(45)

(w′-w)x=0=0

(46)

(w′-w)x=l=0

(47)

4 集中荷载作用下弹塑性悬臂梁回弹变分原理的应用

4.1 回弹变分最小势能原理的应用

应用最小势能原理计算想弹塑性材料悬臂梁的回弹变形。成形悬臂梁的任意截面弯矩为

M(x)=-P(l-x)

(48)

(49)

式中：P为成形直梁所受集中力。

于是有:

(50)

使回弹悬臂梁的容许位移为

(51)

于是有：

(52)

(53)

对式(53)中的Π′sp取A、B极值，得

(54)

将式(54)代入式(51)得回弹挠曲线方程为

(55)

4.2 回弹变分最小余能原理的应用

应用最小余能原理计算理想弹塑性材料悬臂梁的回弹变形。假设悬臂梁的任意截面弯矩为

M′(x)=-P′(Al-Bx)

(56)

(57)

式中：M′(x)为回弹直梁在梁上一点出弯矩；P′为回弹直梁所受集中力。

于是有：

(58)

悬臂梁的容许位移为

(59)

(60)

(61)

对Π′sc取A、B极值，得

(62)

将式(62)代入式(58)，得到回弹挠曲轴方程为

(63)

(64)

(65)

C1x+C2

(66)

式中：C1、C2为常量。

满足的位移边界条件：当x=0时

(67)

最后得回弹挠曲线方程为

(68)

4.3 有限元模拟以及数值计算

4.4 结果分析

从图2可知，通过本文方法计算的悬臂梁回弹值与ANSYS模拟计算得出的悬臂梁回弹值基本吻合，其中最大相对误差在允许范围内。证明了应用回弹变分原理计算弹塑性悬臂梁的回弹挠曲线方程是正确的。

表1 当ηx=0(x)=0时本文方法与模拟的回弹数值Table 1 The proposed method and numerical simulation of spring back when ηx=0(x)=0

图2 固定端截面弹性区高度不同时梁的回弹变形Fig.2 Springback deformation of beams with different height of elastic zone of fixed end section

5 集中荷载作用下弹塑性简支梁回弹变分原理应用

5.1 回弹变分最小势能原理的应用

应用最小势能原理计算想弹塑性材料简支梁的回弹变形。简支梁的任意截面弯矩为

(69)

(70)

于是有：

(71)

假使简支梁的容许位移为

(72)

于是有：

(73)

(74)

对Π′sp取A、B极值，得

(75)

将式(75)代入(72)得到回弹挠曲线方程为

(76)

(77)

(78)

(79)

5.2 回弹变分最小余能原理的应用

应用最小余能原理计算理想弹塑性材料简支梁的回弹变形。假设简支梁的任意截面弯矩为

(80)

(81)

于是有：

(82)

梁的容许位移为

(83)

(84)

(85)

对Π′sc取A、B极值，得

(86)

最后得回弹挠曲轴方程为

(87)

(88)

(89)

(90)

为满足位移边界条件，当x=0时

(91)

(92)

最后得回弹挠曲线方程为

(93)

5.3 有限元模拟以及数值计算

表2 当ηx=0(x)=0时本文方法与模拟的回弹数值

图3 跨中截面弹性区高度不同时梁的回弹变形Fig.3 Springback deformation of beams with different height in elastic zone of mid-span section

5.4 结果分析

从图3可知，通过本文方法计算的悬臂梁回弹值与ANSYS模拟计算得出的悬臂梁回弹值基本吻合，其中最大相对误差在允许范围内。从而证明，应用本文研究的回弹变分原理计算弹塑性悬臂梁的回弹挠曲线方程是正确的。

6 结论

主要阐述了弹塑性弯曲直梁回弹变分原理在理想弹塑性悬臂梁和理想弹塑性简支梁中的应用。建立了弹塑性弯曲直梁的耦联系统和反耦联系统，由反耦联系统推导出反耦联方程，并应用加权余量法得到了回弹变分原理，并通过最小势能原理和最小余能原理推导出弹塑性弯曲直梁变形后的回弹挠曲线方程。根据梁上的荷载条件，联立不同的边界条件进行求解，最终得到回弹挠度值。然后应用ANSYS进行实体建模分析，得到具体计算结果。最后将两种计算结果分别进行对比，证明了所推导弹塑性弯曲直梁回弹变分原理的正确性，因此本文方法在工程应用计算中具有一定的参考价值和科学理论意义。