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分析集中趋势 把握波动程度

2020-11-06来小静邓泾河

关键词:平均数中位数方差

来小静 邓泾河

以前,我们学习过平均数,知道平均数可以反映一组数据的平均水平,现在,我们将结合实际问题,探讨用平均数、加权平均数、中位数、众数等分析数据的集中趋势.同时,我们还将研究方差这一统计量,了解数据的波动程度.

一、分析数据集中趋势)

1.平均数

(1)算术平均数

意义:把一组数据x1,x2,…,xn的总和除以这组数据的个数所得的商.

应用场景:当所给数据x1,x2,…,xn中各个数据的重要程度相同时,一般使用该公式计算平均数,

应用特点:

(i)可了解一组数据的大致集中程度;

(ii)当一组数据中最大的数据与最小的数据差距较大时,数据的集中程度可能受影响.

(2)加权平均数

应用场景:当所给数据x1,x2,…,xn中各个数据的重要程度(权)不同时,一般选用加权平均数计算平均数,

权的意义:权就是数据的重要程度,常见的权有数值、百分数、比值、频数等.

应用特点:

(i)可根据权把握一组数据的集中趋势.

(ii)可通过改变权的大小,改变一组数据的集中趋势.

(iii)组中值的意义:数据分组后,一个小组的组中值是指这个小组的两个端点的数的平均数.统计中常用各组的组中值代表各组的实际数据.

2.中位数和众数

(1)中位数

意义:将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列.如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数据就是这组数据的中位数;如果数据的个数是偶数,则中间位置两个数据的平均数是这组数据的中位数,

应用场景:

(i)在一组互不相等的数据中,小于和大于它们的中位数的数据各占一半:

(ii)因为中位数在一组数据的“中间”,所以通过中位数可大致了解一组数据的集中趋势.

(2)众数

意义:一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数.

应用场景:众数可以是一个,也可以是多个(或没有众数).

应用特点:

当一组数据中有较多的重复数据时,众数往往能更好地反映其集中趋势.

3.平均数、中位数、众数的区別

(1)平均数能充分利用所有数据,但容易受极端值的影响.

(2)加权平均数受权的影响较大,改变权的大小,可改变加权平均数.

(3)中位数计算简单,不易受极端值的影响,但不能充分利用所有数据.

(4)当数据中某些数据重复出现时,人们往往关心众数,但当各个数据的重复次数大致相等时,众数便没有意义了.

二、把握数据波动程度)

应用场景:要把握一组数据的波动情况时,应用方差分析比较好.

应用特点:

(1)方差越大,数据的波动越大;方差越小,数据的波动越小;

(2)当一组数据同时加上一个数a时,其平均数、中位数、众数也增加,但其方差不变:

(3)当一组数据扩大后倍时,其平均数、中位数和众数也扩大后倍,其方差扩大k2倍;

(4)方差的运用要根据实际情况具体分析.

练习

1.有19位同学参加歌咏比赛,所得的分数互不相同,取前10位同学进入决赛.某同学知道自己的分数后,要判断自己能否进入决赛,他只需知道这19位同学分数的( ).

A.平均数

B.中位数

C.众数

D.方差

2.高台跳水比赛有20位评委给选手打分.统计每位选手的得分时,会去掉一个最高分和一个最低分.这样做,肯定不会对所有评委打分的哪一个统计量产生影响:( ).

A.平均分

B.众数

C.中位数

D.方差

3.某商场对上月笔袋的销售情况进行了统计.如下表所示:

商场经理决定本月进笔袋时多进一些蓝色的.经理的这一决定应用了哪个统计量:( ).

A.平均数

B.方差

C.中位数

D.众数

4.体育课上,两名同学分别进行了5次立定跳远测试.要判断这5次测试中谁的成绩比较稳定,通常需要比较这两名同学成绩的( ).

A.平均数

B.中位数

C.众数

D.方差

5.阳光公司招聘面试后,参加面试的小明、小英议论他们所在小组的人的面试成绩.小明说:“我们组成绩是86分的人最多.”小英说:“我们组7位面试者成绩排在最中间的恰好也是86分,”上面两位面试者的话能反映出的统计量是( ).

A.众数和平均数

B.平均数和中位数

C.众数和方差

D.众数和中位数

6.某校要从甲、乙两名跳远运动员中挑选一人参加全市中学生运动会.在最近的10次选拔赛中,他们的成绩(单位:m)如下:

甲:5.85 5.96 6.10 5.98 6.12 5.97 6.04 6.00 6.13 6.01

乙:6.13 6.18 5.80 5.74 6.18 5.93 5.85 5.90 5.98 6.24

(1)甲、乙这10次比赛成绩的方差分别是多少?

(2)这两名运动员的运动成绩各有什么特点?

(3)历届比赛表明,成绩达到5.96 m就很可能夺冠.你认为为了夺冠应该选谁参加比赛?

(4)如果历届比赛成绩表明,成绩达到6.10m就能打破记录,那么你认为为了打破记录应选谁参加比赛?

(答案在本期找)

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