用好数轴不言“愁”

文江苏省无锡市梅里中学七年级（13）班 甄 玺

进入初中后，我们学习了有理数这一章。有理数这个名字听起来比小学里学的内容高大上了许多，它是整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）的统称，是整数和分数的集合。在这章里，我们还认识了有理数的好朋友——数轴，它帮助我们解决了很多困扰，让我们一起来看一看吧！

例1数轴上表示数m与n的点之间的距离可以表示为|m-n|。

（1）若|x- 5|=3，求x的值。

（2）A、B为数轴上的两个动点，点A表示的数是a，点B表示的数是b，且|a-b|=6（b＞a）。点C表示的数是-2。若A、B、C三点中的某一个点到另外两个点的距离相等，求a、b的值。

【解答】第（1）题很简单。|x- 5|=3表示代表x的点到代表5 的点之间的距离为3，所以x=2或8。

第（2）题因为|a-b| =6（b＞a），所以点A和点B之间的距离为6，点B在点A的右侧。题目中并没有说A、B、C哪个点在中间，所以要分类讨论。

如图1，若点C到点A与到点B的距离相等，因为点C表示的数为-2，|a-b| =6，所以点A与点B到点C的距离都是3。则a=-2-3=-5，b=-2+3=1。

图1

如图2，若点A到点C与到点B的距离相等，因为点C表示的数为-2，AB之间距离为6，所以a=-2+6=4，b=a+6=10。

图2

如图3，若点B到点C与到点A的距离相等，因为点C表示的数为-2，所以b=-2-6=-8，a=b-6=-14。

图3

综上所述，a=-5，b=1 或a=4，b=10 或a=-14，b=-8。

由此看来，做有关数轴的题目时，一定要细心。别看数轴表面平淡无奇，也许暗藏玄机，不止一解呢。

例2在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a、c满足|a+ 2|+（c-7）2=0。

（1）a=______，b=______，c=______；

（2）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数______表示的点重合；

（3）点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1 个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2 个单位长度和4 个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为AB，点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC。则AB=______，AC=______，BC=______。（用含t的代数式表示）

（4）在（3）的前提下，请问：3BC-2AB的值是否随着时间t的变化而改变?若变化，请说明理由；若不变，请求出它的值。

【解答】（1）b是最小的正整数，所以b=1。|a+2|+（c-7）2=0 是一个典型的“0+0”模型，因为|a+2 |≥0，（c-7）2≥0，所以a+2=0，c-7=0，则a=-2，c=7。

（2）折叠后点A和点C重合，则折痕表示的数到A和C的距离相等，所以折痕处表示的数是2.5，而B表示1，则与点B重合的点到2.5的距离也就等于1到2.5的距离，则与点B重合的点表示的数为4。画出数轴则能一目了然，同学们不妨自己动手试一下。

（3）这一问条件比较多，画一个数轴把条件标一下，如图4，这样可以很轻松地得出AB=3t+3，AC=5t+9，BC=2t+6。

图4

（4）这一问有两种做法，可以分别是从数的角度和形的角度出发。

从数的角度：由题可得，开始移动后，A表示-2-t，B=1+2t，C=7+4t。

所以3BC-2AB=3［（7+4t）-（1+2t）］-2［（1+2t）-（-2-t）］=12。因此值不变，为12。

从形的角度：由（3）可得，BC=2t+6，AB=3t+3。

所以3BC-2AB=3（2t+6）-2（3t+3）=12。因此值不变，为12。

在做一些信息量大，条件繁多的题目时，把条件标注在图上，会简单很多哦。有的题目不止一种解法，我们要善于选择最简单的解法。

怎么样？看了这两题后，是不是觉得借助数轴，题目会简单了许多？快去找以前难倒你的题目试试看吧！

教 师 点 评

进入初中代数的开篇，同学们走进了有理数的世界，为了更好地探究有理数的相关知识，我们引进了一个新的数学工具——数轴。在数轴上我们进行了数的分类，数的大小比较；认识了相反数，绝对值；我们还研究了有理数的加、减、乘、除、乘方……然而，数轴上两点间的距离问题与动点问题，却是本章中最有难度和最为经典的题目。小作者从两个点的距离，到三个点之间的距离，再到动点间的距离，逐步推进，由易到难，分别从数与形两个角度对此类题进行分类解剖，可谓循序渐进，娓娓道来。只要大家细细揣摩，定能理清思路，掌握打开此类题的正确方式，也定能将有理数这一章学好学会！