整体关联、局部突破，全面学好“有理数”

文浦叙德（特级教师）

初中数学共有代数、几何、统计、概率四大篇章，如果说第1章给我们展示的是初中数学学什么、怎么学、为什么这样学的基本面貌的话，那么第2章“有理数”就真的掀开了初中代数篇章的第一页。在学习本章内容的时候，我们要做到“整体关联、局部突破”。何为“整体关联”？小学数学学习的知识是散点状的，而初中数学学习的知识是连线状的，知识之间都是相互关联的。到了初中阶段，我们在学习的时候一定要把所学的知识联系起来，形成一个整体，这样才能见到初中数学的“森林”。何为“局部突破”？与小学数学相比，初中数学难点增多、内涵加深，要学好初中数学必须在这些难点处取得突破、深刻理解知识内涵，这样才能做到“广而深”。下面就结合有理数的相关内容给同学们做个具体介绍。

一、整体关联，形成知识主线

本章内容主要有三大块，一是“数的扩充”。在小学认识的正数、0 和负数的基础上全面深入学习负数，与正数构成对应的系列数。二是“与数有关的概念”。先学习研究数的工具——数轴，在此基础上研究相反数、绝对值、倒数（内涵扩充）。三是“数的运算”，包括有理数的加法、减法、乘法、除法、乘方及混合运算，无理数的运算在后面的学习中进一步展开。具体可以从以下3个方面去进行知识关联，进而提高对有理数的整体认识。

1.掌握研究数的基本路径。本章是代数中“数”研究的起始章，为今后数的研究提供了思路和方法，所以，非常有必要梳理本章研究的基本路径。从上面的三大板块内容可以看出，首先肯定要研究新扩充的数的定义，在此基础上认识这类数的性质，然后对扩充后的数进行分类，接着研究这类数的运算，最后利用数的知识解决生活中的问题。从中可以看出“数的定义—数的性质—数的分类—数的运算—数的应用”这一研究基本路径。

2.掌握数的分类。引进负数之后，那么数就有了正、负之分。所以对数的分类就产生了一种新的标准，那就是按数的性质进行分类。比如可以把数分成正数、0、负数三类，这样整数就可以分成正整数、0、负整数；分数就可以分成正分数、负分数；有理数可以分成正有理数、0、负有理数；无理数可以分为正无理数、负无理数。当然原来的分类标准还是适用的，比如可以把有理数分成整数、分数，整数再分成正整数、0、负整数，分数再分成正分数、负分数等。可以看出，有了两个对数的分类标准，可以对数进行两次分类。随着学习的深入，你会发现，有理数与无理数统称为实数，这样又可以对实数进行两次分类。

3.掌握数的运算。数学运算属于代数推理，是我们初中生必备的核心素养之一。有理数的运算共有加法、减法、乘法、除法和乘方5 种，每一种运算都有其运算法则。在具体计算时，都是先确定符号，再确定绝对值，分步计算这一点一定要引起我们的高度重视，否则很容易出错。当然，小学里学习的加法与减法互为逆运算，乘法与除法互为逆运算，这点是不变的，随着后面知识的学习，你们会发现乘方与开方互为逆运算。同时我们还可以发现，有理数的减法可以转化为加法进行，有理数的除法可以转化为乘法进行，这说明，数虽然推广了，但前面所研究的关于数的结论和方法，仍然适用，比如运算律。

二、局部突破，全面深化认识

在本章的学习过程中，我们会遇到的第一个难点是对“数”的全面认识，第二个难点是对“相反数、绝对值”的全面认识，第三个难点是对“运算法则”的全面认识。对于上述三个难点，我们需要局部突破，可以利用数学的思想方法来全面认识和加深理解。

1.利用特殊与一般的思想方法理解“数的扩充”。对于具体的数而言，我们可以根据定义很快区分它属于什么数。比如，-3 是负数，是负整数，是负有理数，是有理数，是负数，是负分数，是负有理数，是有理数。对于一个一般的数而言，我们通常用一个字母a 来表示，这时我们就要根据具体问题来对a 进行判定。当a代表一个一般的数时，a=0、a=1、a=-1 是其三种特殊情形，解决相关问题时，我们可以采用“特殊元素、优先考虑”的原则进行验证。比如，相反数等于本身的数是什么？绝对值等于本身的数是什么？倒数等于本身的数是什么？平方等于本身的数是什么？立方等于本身的数是什么？当把a=0、a=1、a=-1分别代入进行验证就可以得出：相反数等于本身的数是0，绝对值等于本身的数是非负数，倒数等于本身的数是±1，平方等于本身的数是0、1，立方等于本身的数是0、±1。当然，我们也可以通过列出方程（-a=a，|a|=a，用特殊值法求出结论。

2.利用数形结合的思想方法理解“相反数与绝对值”。相反数与绝对值都可以从代数与几何两个视角来认识，从代数角度看相反数，就是这两个数只有符号不同，特殊时为0，从几何角度看就是数轴上左右两个点到原点的距离相等。从代数角度看绝对值，正数的绝对值就是本身，0 的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数，从几何角度看就是这个数对应的点到原点的距离，可见绝对值具有非负性。在这其中，数轴充当了数形结合的工具，借助数轴，可以直观地研究相关问题，还可以预防分类讨论问题的漏解，所以建议同学们研究有理数相关问题的时候，不妨画一根数轴，充分利用数形结合的思想方法来分析解决问题。

3.利用分类讨论和转化的思想方法理解“数的运算”。随着负号的引入，涉及数的运算问题就变得稍微复杂一点，既要考虑符号，又要考虑绝对值。先说分类讨论，比如一般在研究数的加法的时候，两个数相加分几种情况呢？应该有“正正、正零、正负；零正、零零、零负；负正、负零、负负”9种情况，在具体归纳加法法则的时候，合并成“同号两数、异号两数、一数一0”三种情形，这是为了让运算法则更加方便记忆和运用。再来说说转化，有理数的运算与小学的数的运算有联系吗？答案是肯定的。看看每个法则就知道了，都是把有理数的运算分成两步，第一是确定符号，第二步就是小学里的运算。这样实际上就把有理数的运算转化成了小学里的算术运算，由此可见转化思想功能的强大，化繁为简，化难为易，化未知为已知，化腐朽为神奇。

有理数是初中数学学习的开端，希望同学们一要保持数学学习的高度热情，二要养成良好的数学学习习惯，三要对数学学习做坚持不懈的努力，四要重视数学知识及关联，同时认识和重视思想方法，只有这样，才能真正把初中数学学好、学深、学透。